高等數(shù)學中易錯知識點總結(jié)

高等數(shù)學中易錯知識點總結(jié)

1．在一元函數(shù)中，若函數(shù)在某點連續(xù)，則該函數(shù)在該點必有極限。若函數(shù)在某點不連續(xù)，則該函數(shù)在該點必無極限。

2,在一元函數(shù)中，若函數(shù)在某點可導，則函數(shù)在該點一定連續(xù)。

但是如果函數(shù)不可導，不能推出函數(shù)在該點一定不連續(xù)。3.基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，而初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。

4．若函數(shù)在某一區(qū)間上連續(xù)，則在這個區(qū)間上，該函數(shù)存在原函數(shù)。

若函數(shù)在某一區(qū)間上不連續(xù)，則在這個區(qū)間上，該函數(shù)也可能存在原函數(shù)，不能說該函數(shù)在區(qū)間上必無原函數(shù)。

5.在二元函數(shù)中，兩個偏導數(shù)存在與該函數(shù)的連續(xù)性沒有關(guān)系。但是若果二元函數(shù)可微，則該函數(shù)必然連續(xù)。

6．在一元函數(shù)中，駐點可能是極值點，也可能不是極值點。函數(shù)的極值點必是函數(shù)的駐點或?qū)��?shù)不存在的點。在多元函數(shù)中，若偏導數(shù)存在，則極值點必為駐點，但駐點不一定是極值點。7.函數(shù)f(x)的周期性和奇偶性與它的導數(shù)的周期性和奇偶性有什么關(guān)系？

a.函數(shù)f(x)與它的導數(shù)的周期一樣：可導的周期函數(shù)，其導數(shù)必定是周期函數(shù)證明如下：設(shè)可導函數(shù)為f(x),

因為它是周期函數(shù),所以f(x+T)=f(x),--->f"(x)=(x+T)"*f"(x+T)=1*f"(x+T)

所以f"(x+T)=f"(x),就是說它的導函數(shù)也是周期函數(shù).

b.函數(shù)f(x)與它的導數(shù)的奇偶性相反：可導的偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)

證明如下:一、根指導數(shù)定義和偶函數(shù)定義,有f′(-x)=lim{[f(-x+h)-f(-x)]/h}=lim{[f(x-h)-f(x)]/(-h)}=-f′(x)二、根據(jù)復合函數(shù)的求導法則,設(shè)f(x)為偶函數(shù),則有f(-x)=f(x)對上式兩邊關(guān)于x求導數(shù),則有

8.設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=a處可導,則函數(shù)y=f(x)的絕對值在x=a處不可導的充分條件是:f(a)=0,f"(a)≠0證明如下：f(a)=0,f"(a)>0或f"(a)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必可積。

閉區(qū)間上有界且僅有有限個間斷點的函數(shù)可積

10.有限個無窮小量的和仍是無窮小量。無限個無窮小量的和不一定是無窮小量有限個無窮小量之積是無窮小量。無限個無窮小量的積不一定是無窮小量。

無窮小量與有界變量之積仍是無窮小量。無窮小量與常數(shù)的乘積不一定全是無窮小量。11.兩個無窮大量之和不一定為無窮大量，兩個無窮大量之積必為無窮大量。無窮大量與常數(shù)的乘積不一定全是無窮大量。

針對第10與11給出具體解析：

(1)無窮大量與常數(shù)的乘積可以分為兩種情況，一種是與0的乘積，一種是與除0以外的常數(shù)，當與0相乘時，得到的是0，而不是無窮大量，可以這樣說，無窮大量與除0以外的常數(shù)的乘積為無窮大量。同理，無窮小量與常數(shù)的乘積也可以分為類似的情況。

(2)無窮大量可以分為正無窮大量和負無窮大量，當正無窮大量與正無窮大量相乘時，得到的結(jié)果是無窮大量。當正無窮大量與負無窮大量相乘時，得到的是負無窮大量，因為負無窮大量也是無窮大量，所以無窮大量與無窮大量相乘時，得到一定是無窮大量。

(3)無窮大量與無窮大量之和不一定是無窮大量，因為如果是正無窮大量與負無窮大量之和，得到的結(jié)果可能是0，可能是常數(shù)，等等

思考一下：既然兩個無窮大量之積必為無窮大量，則能否擴展到有限個無窮大量之積必為無窮大量，進一步擴展到無限個無窮大量之積必為無窮大量。

12可導與導函數(shù)的關(guān)系

可導是對定義域內(nèi)的點而言的，處處可導則存在導函數(shù)，只要一個函數(shù)在定義域內(nèi)某一點不可導，那么就不存在導函數(shù)，即使該函數(shù)在其它各處均可導。

13,連續(xù)與可積的關(guān)系

如果函數(shù)在某區(qū)域連續(xù)，那么函數(shù)在該區(qū)域可積，反之，函數(shù)在某區(qū)域可積，不能保證函數(shù)在該區(qū)域連續(xù)，比如存在第一類間斷點的函數(shù)不連續(xù)，但可積。

14,切線與可導之間的關(guān)系

有切線不一定可導，是因為垂直于X軸的切線，它的斜率是無窮大，所以不可導�？梢缘贸鼋Y(jié)論：可導必有切線，有切線不一定可導（豎直切線）

以上知識點在判斷題中非常實用

大題解題指導

高等數(shù)學考試中大題包括以下幾種類型：1.求極限2.求最值3.求不定積分或定積分4求隱函數(shù)的偏導數(shù)5求二階連續(xù)偏導數(shù)6.二重積分7.微分方程8.求旋轉(zhuǎn)體積或面積9.證明題

1.求極限：在求極限的問題中，極限包括函數(shù)的極限和數(shù)列的極限，但在考試中一般出的都

是函數(shù)的極限，求函數(shù)的極限中，主要是掌握公式，有些不常見的公式一定要記熟，詳細的公式看高等數(shù)學學習指導與習題指南一書第8頁。這種類型的題一般屬于簡單題，但往更難一點的方向出題的話，它會和變上限的定積分聯(lián)系在一起出題

2.求最值：這類題一般求導之后便可解出，不在過多敘述。

3.求不定積分和定積分，在這類題中，一般會用到換元積分法和分部積分法，還有牛頓萊布

尼茨公式。一般情況下，多做些題就沒什么大問題。4.求偏導數(shù)：偏導數(shù)包括一階偏導數(shù)和二階偏導數(shù)。重點談二階偏導數(shù)，尤其是二階混合偏

導，在二階以上的混合偏導中，用到的一個最重要的法則是鏈式法則，鏈式法則在很多時

候，我們會迷，算到一半，不知道那到底是什么玩意，甚至看著自己算出的一個式子，自己都不明白，關(guān)于鏈式法則，我很想舉例來說明，但是一般的電腦沒有數(shù)學軟件，那些符號根本無法顯示，故建議看高等數(shù)學學習指導與習題指南一書第172頁，它詳細的論述了多元函數(shù)微分學中的一些重要知識點，當看完解題指導，自己獨立的把教材194頁例2做一下，做的時候，最好不要看例題的解題部驟，因為看例題的解題步驟會迷，當獨立的把結(jié)果推算出來的時候，多元函數(shù)微分學的大概你掌握的已經(jīng)差不多了。

5.微分方程：這個類型的題，只需要把那一個解題的公式記住，然后往里面套公式即可，這

是最簡單也最枯燥的題，沒什么新意，但是考試的時候，這類題還從未少過，每年都有。需要注意的是有時候求的是通解，有時候求的是特解。6.證明題：這種題還是離不開公式定理。一般情況下，用洛爾定理和微分中值定理即可，若

再復雜的話，有時候就需要微分中值定理和積分中值定理連用，對于這類題，有時間則做，沒時間就不做�？偟膩碚f，高數(shù)其實不算太難，當你對它產(chǎn)生一種畏懼的時候，你就很難把它學好了。要喜歡這門課，就要先喜歡這門課的老師，考試要的也是心態(tài)，有些題，本來就不屬于自己的能力范圍的，就直接放棄，一直纏著只會是浪費時間，其它題沒時間做，這道題又沒做出來。現(xiàn)在復習高數(shù)的時候別怕浪費時間，因為補考前的一個月就是讓你浪費的，正如高四的復習，那一年確確實實是讓我們好好浪費的，所以一定要多花時間浪費在復習中，數(shù)學講究的就是熟練，當你看到一道題的時候，自己首先要有一個感性的認識，對它有一個大體的把握，復習就要做到多看教材，復習的最高境界就是把教材習題化，也就是說，當你看到課本上的知識點的時候，腦中立刻會想起你曾經(jīng)做過的那道題用過這個知識點，如果這個知識點要考試的話，它最有可能以什么方式呈現(xiàn)出來。

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高等數(shù)學中易錯知識點總結(jié)

1．在一元函數(shù)中，若函數(shù)在某點連續(xù)，則該函數(shù)在該點必有極限。若函數(shù)在某點不連續(xù)，則該函數(shù)在該點必無極限。

2,在一元函數(shù)中，若函數(shù)在某點可導，則函數(shù)在該點一定連續(xù)。

但是如果函數(shù)不可導，不能推出函數(shù)在該點一定不連續(xù)。3.基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，而初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。

4．若函數(shù)在某一區(qū)間上連續(xù)，則在這個區(qū)間上，該函數(shù)存在原函數(shù)。

若函數(shù)在某一區(qū)間上不連續(xù)，則在這個區(qū)間上，該函數(shù)也可能存在原函數(shù)，不能說該函數(shù)在區(qū)間上必無原函數(shù)。

5.在二元函數(shù)中，兩個偏導數(shù)存在與該函數(shù)的連續(xù)性沒有關(guān)系。但是若果二元函數(shù)可微，則該函數(shù)必然連續(xù)。

6．在一元函數(shù)中，駐點可能是極值點，也可能不是極值點。函數(shù)的極值點必是函數(shù)的駐點或?qū)��?shù)不存在的點。

在多元函數(shù)中，若偏導數(shù)存在，則極值點必為駐點，但駐點不一定是極值點。7.函數(shù)f(x)的周期性和奇偶性與它的導數(shù)的周期性和奇偶性有什么關(guān)系？

a.函數(shù)f(x)與它的導數(shù)的周期一樣：可導的周期函數(shù)，其導數(shù)必定是周期函數(shù)證明如下：設(shè)可導函數(shù)為f(x),

因為它是周期函數(shù),所以f(x+T)=f(x),--->f"(x)=(x+T)"*f"(x+T)=1*f"(x+T)

所以f"(x+T)=f"(x),就是說它的導函數(shù)也是周期函數(shù).

b.函數(shù)f(x)與它的導數(shù)的奇偶性相反：可導的偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)

證明如下:一、根指導數(shù)定義和偶函數(shù)定義,有f′(-x)=lim{[f(-x+h)-f(-x)]/h}=lim{[f(x-h)-f(x)]/(-h)}=-f′(x)二、根據(jù)復合函數(shù)的求導法則,設(shè)f(x)為偶函數(shù),則有f(-x)=f(x)對上式兩邊關(guān)于x求導數(shù),則有

8.設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=a處可導,則函數(shù)y=f(x)的絕對值在x=a處不可導的充分條件是:f(a)=0,f"(a)≠0證明如下：f(a)=0,f"(a)>0或f"(a)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必可積。

閉區(qū)間上有界且僅有有限個間斷點的函數(shù)可積

10.有限個無窮小量的和仍是無窮小量。無限個無窮小量的和不一定是無窮小量有限個無窮小量之積是無窮小量。無限個無窮小量的積不一定是無窮小量。

無窮小量與有界變量之積仍是無窮小量。無窮小量與常數(shù)的乘積不一定全是無窮小量。11.兩個無窮大量之和不一定為無窮大量，兩個無窮大量之積必為無窮大量。無窮大量與常數(shù)的乘積不一定全是無窮大量。

針對第10與11給出具體解析：

(1)無窮大量與常數(shù)的乘積可以分為兩種情況，一種是與0的乘積，一種是與除0以外的常數(shù)，當與0相乘時，得到的是0，而不是無窮大量，可以這樣說，無窮大量與除0以外的常數(shù)的乘積為無窮大量。同理，無窮小量與常數(shù)的乘積也可以分為類似的情況。

(2)無窮大量可以分為正無窮大量和負無窮大量，當正無窮大量與正無窮大量相乘時，得到的結(jié)果是無窮大量。當正無窮大量與負無窮大量相乘時，得到的是負無窮大量，因為負無窮大量也是無窮大量，所以無窮大量與無窮大量相乘時，得到一定是無窮大量。

(3)無窮大量與無窮大量之和不一定是無窮大量，因為如果是正無窮大量與負無窮大量之和，得到的結(jié)果可能是0，可能是常數(shù)，等等

思考一下：既然兩個無窮大量之積必為無窮大量，則能否擴展到有限個無窮大量之積必為無窮大量，進一步擴展到無限個無窮大量之積必為無窮大量。

12可導與導函數(shù)的關(guān)系

可導是對定義域內(nèi)的點而言的，處處可導則存在導函數(shù)，只要一個函數(shù)在定義域內(nèi)某一點不可導，那么就不存在導函數(shù)，即使該函數(shù)在其它各處均可導。13,連續(xù)與可積的關(guān)系

如果函數(shù)在某區(qū)域連續(xù)，那么函數(shù)在該區(qū)域可積，反之，函數(shù)在某區(qū)域可積，不能保證函數(shù)在該區(qū)域連續(xù)，比如存在第一類間斷點的函數(shù)不連續(xù)，但可積。14,切線與可導之間的關(guān)系

有切線不一定可導，是因為垂直于X軸的切線，它的斜率是無窮大，所以不可導�？梢缘贸鼋Y(jié)論：可導必有切線，有切線不一定可導（豎直切線）

以上知識點在判斷題中非常實用

大題解題指導

高等數(shù)學考試中大題包括以下幾種類型：1.求極限2.求最值3.求不定積分或定積分4求隱函數(shù)的偏導數(shù)5求二階連續(xù)偏導數(shù)6.二重積分7.微分方程8.求旋轉(zhuǎn)體積或面積9.證明題

1.求極限：在求極限的問題中，極限包括函數(shù)的極限和數(shù)列的極限，但在考試中一般出的都

是函數(shù)的極限，求函數(shù)的極限中，主要是掌握公式，有些不常見的公式一定要記熟，詳細的公式看高等數(shù)學學習指導與習題指南一書第8頁。這種類型的題一般屬于簡單題，但往更難一點的方向出題的話，它會和變上限的定積分聯(lián)系在一起出題2.求最值：這類題一般求導之后便可解出，不在過多敘述。

3.求不定積分和定積分，在這類題中，一般會用到換元積分法和分部積分法，還有牛頓萊布

尼茨公式。一般情況下，多做些題就沒什么大問題。

4.求偏導數(shù)：偏導數(shù)包括一階偏導數(shù)和二階偏導數(shù)。重點談二階偏導數(shù)，尤其是二階混合偏

導，在二階以上的混合偏導中，用到的一個最重要的法則是鏈式法則，鏈式法則在很多時候，我們會迷，算到一半，不知道那到底是什么玩意，甚至看著自己算出的一個式子，自己都不明白，關(guān)于鏈式法則，我很想舉例來說明，但是一般的電腦沒有數(shù)學軟件，那些符號根本無法顯示，故建議看高等數(shù)學學習指導與習題指南一書第172頁，它詳細的論述了多元函數(shù)微分學中的一些重要知識點，當看完解題指導，自己獨立的把教材194頁例2做一下，做的時候，最好不要看例題的解題部驟，因為看例題的解題步驟會迷，當獨立的把結(jié)果推算出來的時候，多元函數(shù)微分學的大概你掌握的已經(jīng)差不多了。

5.微分方程：這個類型的題，只需要把那一個解題的公式記住，然后往里面套公式即可，這

是最簡單也最枯燥的題，沒什么新意，但是考試的時候，這類題還從未少過，每年都有。需要注意的是有時候求的是通解，有時候求的是特解。

6.證明題：這種題還是離不開公式定理。一般情況下，用洛爾定理和微分中值定理即可，若

再復雜的話，有時候就需要微分中值定理和積分中值定理連用，對于這類題，有時間則做，沒時間就不做。

總的來說，高數(shù)其實不算太難，當你對它產(chǎn)生一種畏懼的時候，你就很難把它學好了。要喜歡這門課，就要先喜歡這門課的老師，考試要的也是心態(tài)，有些題，本來就不屬于自己的能力范圍的，就直接放棄，一直纏著只會是浪費時間，其它題沒時間做，這道題又沒做出來。現(xiàn)在復習高數(shù)的時候別怕浪費時間，因為補考前的一個月就是讓你浪費的，正如高四的復習，那一年確確實實是讓我們好好浪費的，所以一定要多花時間浪費在復習中，數(shù)學講究的就是熟練，當你看到一道題的時候，自己首先要有一個感性的認識，對它有一個大體的把握，復習就要做到多看教材，復習的最高境界就是把教材習題化，也就是說，當你看到課本上的知識點的時候，腦中立刻會想起你曾經(jīng)做過的那道題用過這個知識點，如果這個知識點要考試的話，它最有可能以什么方式呈現(xiàn)出來。

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