大一高數(shù)第一章復(fù)習(xí)總結(jié)及相關(guān)習(xí)題

第一章函數(shù)與極限習(xí)題課

一、主要內(nèi)容

（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念一）函數(shù)

1.函數(shù)的定義函數(shù)的分類(lèi)

2.函數(shù)的性質(zhì)有界、單調(diào)、奇偶、周期3.反函數(shù)4.隱函數(shù)

5.基本初等函數(shù)6.復(fù)合函數(shù)7.初等函數(shù)

8.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)（二）極限

1、極限的定義：\"N\"定義\"\"定義\"X\"定義單側(cè)極限極限存在的條件2、無(wú)窮小與無(wú)窮大

無(wú)窮��；無(wú)窮大；無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)3、極限的性質(zhì)四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的極限4、求極限的常用方法

a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限；f.利用等價(jià)無(wú)窮��；g.利用重要極限

5、判定極限存在的準(zhǔn)則夾逼定理、單調(diào)有界原理6、兩個(gè)重要極限

(1)limsinx1x0x某過(guò)程limsin1;

1x(2)1xlim(1)exx1lim(1x)x0e

某過(guò)程

7、無(wú)窮小的比較

8、等價(jià)無(wú)窮小的替換性質(zhì)

9、極限的唯一性、局部有界性、保號(hào)性（三）連續(xù)

1、連續(xù)的定義單側(cè)連續(xù)連續(xù)的充要條件閉區(qū)間的連續(xù)性

lim(1)e.2、間斷點(diǎn)的定義間斷點(diǎn)的分類(lèi)第一類(lèi)、第二類(lèi)

3、初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

4、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最值定理、有界性定理、介值定理、零點(diǎn)定理二、例題例當(dāng)x1時(shí),

242n求lim(1x)(1x)(1x)(1x).n解將分子、分母同乘以因子(1-x),則

n(1x)(1x)(1x2)(1x4)(1x2)原式limn1x

2242n(1x)(1x)(1x)(1x)limn1x

n22n2n11(1x)(1x)1xn1.(當(dāng)x1時(shí),limx20.)limlimnn1xn1x1x1例1tanxx3求lim().x01sinx111tanxtanxsinx33xx解原式lim[1(1)]lim[1]x0x01sinx1sinx

1tanxsinx1limsinx(1cosx)1limsinx1cosx1lim3x0x0xx2(1sinx)cosx211sinxx3x0(1sinx)cosxx

原式e2.p(x)x3例xx2p(x)lim1,求p(x).x0x

p(x)x32,解limxx2

可設(shè)p(x)x32x2axb(其中a,b為待定系數(shù))

p(x)又lim1,

x0x32p(x)x2xaxb~x(x0)

從而得b0,a1.故p(x)x32x2x

x1,x1例6討論f(x)的連續(xù)性.x

cos,x12將f(x)改寫(xiě)成解1x,x1xf(x)cos,1x12x1,x1

設(shè)p(x)是多項(xiàng)式,且lim2,顯然f(x)在(,1),(1,1),(1,)內(nèi)連續(xù).當(dāng)x1時(shí),

x1limf(x)lim(1x)2.x1x1x1x1limf(x)limf(x)coslimf(x)xlim1x20.故f(x)在x1間斷.當(dāng)x1時(shí),x1limf(x)limcosx1x20.f(x)limf(x)limf(x)lim(x1)limx1x1x1x1

故f(x)在x1連續(xù).f(x)在(,1)(1,)連續(xù).

[0,1]上連續(xù),且f(0)f(1),例設(shè)f(x)在閉區(qū)間1證明必有一點(diǎn)[0,1]使得f()f().211令F(x)f(x)f(x),則F(x)在[0,]上連續(xù).證明22111F(0)f()f(0),F()f(1)f(),222討論:1f(0)f(0);若F(0)0,則0,211111若F()0,則,f()f();222221若F(0)0,F()0,則2例證

即xn單調(diào)減，有下界

xn存在故由單調(diào)有界原理得limn1a設(shè)x10,證明xn1(xn)有極限(a0)2xn1ax(x)an1n顯然xn02xn21aax1nxn1xn(xn)02xn2xn1a1aA(A)設(shè)limxnA，則A0在xn1(xn)兩邊取極限得n2A2xn解得Aa,Aa（舍去）12sinxxcos例求xlimx0(1cosx)ln(1x)

解sinx1xcos101xx原式limx0ln(1x)212(1cosx)x例求

令ux1則x1u解3n(1u1)(1u1)(1u1)由(1u)1~u得Ilimu0un1111uuu1

lim23n1nu0n!u

(x1)(3x1)(nx1)limx1(x1)n1xxxcoscos,(x0)例.求極限2nn222

xxxxcoscos2cosn2sinn

2222解原式limnx2sin

2n

xxxxcoscoscos2sinn1n12422limnx22sin2nx

nsinxsinx2limlimnnxxnsinx2sinnn22

limcossinxxxxc設(shè)lim例4，求cxxcxc2ccxx2c2c2c2climxc11limlim1xxcxc解一xxcxxc

e2c42c2ln2得cln2

x解二c1xxxceclime2climxcxxcexc1x

limnn1例證明n

n(n1)2n(n1)22nhn1hn證首先nn1記nn1hnn(1hn)1nhn2!2!

220hn

nlimhn0limnn1由夾逼定理知nn

xb例確定a,b的值，使f(x)有無(wú)窮(xa)(x1)

間斷點(diǎn)x0,，有可去間斷點(diǎn)x解因f(x)在x=0處為無(wú)窮間斷，即limf(x)x0

xa1(xa)(x1)lim0limlimx0xbx0f(x)x0xb

又x=1為可去間斷，故limf(x)存在例解

x1a0,b01blim(xb)lim[f(x)(xa)(x1)]limf(x)lim(xa)(x1)0x1x1x1x1b11f(x)sin2x12,求limf(x)x0x0e3x11f(x)sin2x1由lim23xx0e1而lim(e3x1)0lim(1f(x)sin2x1)已知limx0x0limx0x01f(x)sin2x13x(e1)201*xe1f(x)sin2x0lim1f(x)sin2x1limx0從而由等價(jià)無(wú)窮小的代換性質(zhì)得

1f(x)sin2x1sin2x1f(x)sin2x12limf(x)2limlim3x3x02xx0x0e13xsin2xf(x)存在，且limf(x)6由lim1limx0x0x02xnn1例利用介值定理證明，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，方程a0xa1x至少有一實(shí)根

證令f(x)axnaxn1axa0,01n1n

an1anf(x)a1limlim(a)a000xxnxxxn1xn

故由函數(shù)極限的保號(hào)性質(zhì)可知

an1xan0,(a00)又n是奇數(shù)，所以

x)nX00,使當(dāng)|x|X0時(shí)f(n與a0同號(hào)，亦即，當(dāng)|x|X0時(shí)，f(x)與a0x同號(hào)xf(2X0)f(2X0)0a(2X)n與a(2X)n異號(hào)0000

即a0xna1xn1an1xan0至少有一實(shí)根

和差化積積化和差

sinθ+sinφ=2sin*(θ+φ)\/2+cos*(θ-φ)\/2+sinαsinβ=*cos(α+β)-cos(α-β)+\/2sinθ-sinφ=2cos*(θ+φ)\/2+sin*(θ-φ)\/2+cosαcosβ=*cos(α+β)+cos(α-β)+\/2cosθ+cosφ=2cos*(θ+φ)\/2+cos*(θ-φ)\/2+sinαcosβ=*sin(α+β)+sin(α-β)+\/2cosθ-cosφ=-2sin*(θ+φ)\/2+sin*(θ-φ)\/2+cosαsinβ=*sin(α+β)-sin(α-β)+\/2

而f(x)在[2X0,2X0]上連續(xù)故由零點(diǎn)定理知(2X0,2X0)，使f()

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