初中三角形總結(jié)

初中三角形的有關(guān)總結(jié)

⑴內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°；三角形的面積=外角等于和它不相鄰的來(lái)兩個(gè)內(nèi)角的和。

⑵三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。

⑶三角形中的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。（區(qū)別三角形中線與中位線）；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：

結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。

結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等。⑷角的平分線及其性質(zhì)：一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。角的平分線有下面的性質(zhì)定理：

①角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。②到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。⑸三角形

1×底×高；三角形的一個(gè)2銳角三角形：三個(gè)角都是銳角一般三角形：斜三角形鈍角三角形：有一個(gè)角為鈍角等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊一般等腰三角形三線合一：頂角的角平分線、底邊的中線和高亦可反之用來(lái)等腰三角形等腰直角三角形兩腰上的中線和高、兩底角的角平分線分別相判定等腰三角等，且它們的各自交點(diǎn)到底邊兩端的距離相等如有一個(gè)角為30，則其所對(duì)應(yīng)的直角邊的長(zhǎng)度為斜邊的一半斜邊上的中線等于斜邊的一半三角形222特殊三角形直角三角形勾股定理：abc(a、b為直角邊，c為斜邊)射影定理：斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)，每條直角邊是CD2ADBD2ACB90它們?cè)谛边吷系纳溆昂托边叺谋壤�中�?xiàng)：ACADABCDAB2BCBDAB等邊三角形：三邊相等，三角相等且為

擴(kuò)展閱讀：初中數(shù)學(xué) 三角形專(zhuān)題知識(shí)總結(jié)與練習(xí)答案

專(zhuān)題八三角形一目標(biāo)：

（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有關(guān)概念。

（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算、解答有關(guān)綜合題。（3）培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想的能力二重點(diǎn)、難點(diǎn)：

三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能是本節(jié)的重點(diǎn)。難點(diǎn)是綜合應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題的能力。三知識(shí)要點(diǎn)：

知識(shí)點(diǎn)1三角形的邊、角關(guān)系

①三角形任何兩邊之和大于第三邊；②三角形任何兩邊之差小于第三邊；③三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°；④三角形三個(gè)外角的和等于360°；

⑤三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；⑥三角形一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。知識(shí)點(diǎn)2三角形的主要線段和外心、內(nèi)心①三角形的角平分線、中線、高；

②三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點(diǎn)的距離相等；③三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等；

④連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。知識(shí)點(diǎn)3等腰三角形等腰三角形的識(shí)別：

①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；

②有兩角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）；③三邊相等的三角形是等邊三角形；④三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

⑤有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。等腰三角形的性質(zhì)：①等邊對(duì)等角；

②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；③等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，底邊的中垂線是它的對(duì)稱(chēng)軸；④等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°。知識(shí)點(diǎn)4直角三角形直角三角形的識(shí)別：

①有一個(gè)角等于90°的三角形是直角三角形；②有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；

③勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。直角三角形的性質(zhì)：

①直角三角形的兩個(gè)銳角互余；

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

③勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。知識(shí)點(diǎn)5全等三角形定義、判定、性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)6相似三角形

定義,夾角相等兩對(duì)應(yīng)邊的比相等相似三角形判定方法兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等三條對(duì)應(yīng)邊的比相等對(duì)應(yīng)邊的比對(duì)應(yīng)高的比等于相似比相似三角形的性質(zhì)周長(zhǎng)比面積比相似比平方知識(shí)點(diǎn)7銳角三角函數(shù)

三角函數(shù)sinα

0°0

30°

45°

60°

90°1

12

cosα1

tanα0

323322221

32120

3

33不存在

cotα不存在

310

例題精講

例1.（1）已知：等腰三角形的一邊長(zhǎng)為12，另一邊長(zhǎng)為5，求第三邊長(zhǎng)。（2）已知：等腰三角形中一內(nèi)角為80°，求這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。分析：利用等腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。解：（1）分兩種情況：

①若腰長(zhǎng)為12，底邊長(zhǎng)為5，則第三邊長(zhǎng)為12。

②若腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為12，則第三邊長(zhǎng)為5。但此時(shí)兩邊之和小于第三邊，故不合題意。因此第三邊長(zhǎng)為12。（2）分兩種情況：

①若頂角為80°，則另兩個(gè)內(nèi)角均為底角分別是50°、50°。②若底角為80°，則另兩個(gè)內(nèi)角分別是80°、20°。

因此這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角分別是50°、50°或80°、20°。

說(shuō)明：此題運(yùn)用“分類(lèi)討論”的數(shù)學(xué)思想，本題著重考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系。例2.已知：如圖，ABC和ECD都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，ADEBD為AB邊上的一點(diǎn)，求證：（1）ACE≌BCD，（2）AD＋AE＝DE。

分析：要證ACE≌BCD，已具備AC＝BC，CE＝CD兩個(gè)條件，還需AE＝BD或∠ACE＝∠BCD，而∠ACE＝∠BCD顯然能證;要證AD＋AE＝DE，

222222C需條件∠DAE＝90°，因?yàn)椤螧AC＝45°，所以只需證∠CAE＝∠B＝45°，由ACE≌BCD能得證。

證明：（1）∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCE－∠ACD＝∠ACB－∠ACD，

即∠ACE＝∠BCD，∵AC＝BC，CE＝CD，∴ACE≌BCD。

（2）∵ACE≌BCD，∴∠CAE＝∠B＝45°，∵∠BAC＝∠B＝45°，∴∠DAE＝90°，∴AD＋AE＝DE。

例3.已知：點(diǎn)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BPC＝150°，PB＝2，PC＝3，求PA的長(zhǎng)。

分析：將BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°至BCD，即可證得BPD為等邊三角形，PCD為直角三角形。

解：∵BC＝BA，

∴將BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，使BA與BC重合，得BCD，連結(jié)PD。

∴BD＝BP＝2，PA＝DC�！郆PD是等邊三角形�！唷螧PD＝60°�！唷螪PC＝∠BPC－∠BPD＝150°－60°＝90°。

∴DC＝PD2PC2223213．∴PA＝DC＝13。

【變式】若已知點(diǎn)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA＝13，PB＝2，PC＝3。能求出∠BPC的度數(shù)嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉嚒?/p>

例4.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，連結(jié)CQ．

（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷△PQC的形狀，并說(shuō)明理由．

解：（1）把△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°即可得到△CBQ．利用等邊三角形的性質(zhì)證△ABP≌△CBQ，得到AP＝CQ．

（2）連接PQ，則△PBQ是等邊三角形．PQ＝PB，AP＝CQ故CQ：PQ：PC＝PA：PB：PC＝3：4：5，∴△PQC是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)完成此題的證明．例5.如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯（即BC＝EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等，則∠ABC＋∠DFE＝______．

分析：∠ABC與∠DFE分布在兩個(gè)直角三角形中，若說(shuō)明這兩個(gè)直角三角形全等則問(wèn)題便會(huì)迎刃而解．

解答：在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC＝EF，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∴∠ABC＋∠DFE＝90°，因此填90°．

點(diǎn)評(píng)：此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來(lái)識(shí)別兩個(gè)直角三角形全等，并運(yùn)用與它相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行解題．

DBPCA2

例6.《中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例》規(guī)定：“小汽車(chē)在城市街道上的行駛速度不得超過(guò)70千米/時(shí)”．一輛小汽車(chē)在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示），在距離路邊25米處有“車(chē)速檢測(cè)儀O”，測(cè)得該車(chē)從北偏西60°的A點(diǎn)行駛到北偏西30°的B點(diǎn)，所用時(shí)間為1.5秒．

（1）試求該車(chē)從A點(diǎn)到B的平均速度；（2）試說(shuō)明該車(chē)是否超過(guò)限速．解析：（1）要求該車(chē)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的速度．只需求出AB的距離，

在△OAC中，OC＝25米．∵∠OAC＝90°－60°＝30°，∴OA＝2CO＝50米

由勾股定理得CA＝OA2OC2502252＝253（米）在△OBC中，∠BOC＝30°∴BC＝

125OB�！啵�2BC）2＝BC2＋252∴BC＝232533（米）

503∴AB＝AC－BC＝253－（2）

3＝5033（米）∴從A到B的速度為3÷1.5＝

10093（米/秒）

10093米/秒≈69.3千米/時(shí)

∵69.3千米/時(shí)

又∠DAE＝105°，∴∠DAB＋∠CAE＝75°．又∠DAB＋∠ADB＝∠ABC＝75°，∴∠CAE＝∠ADB，∴△ADB∽△EAC，∴

1ABBD1x,即，∴y＝．

xECACy1（2）當(dāng)α、β滿足β－

1＝90°，y＝仍成立．

x2此時(shí)∠DAB＋∠CAE＝β－α，∴∠DAB＋∠ADB＝β－α，∴∠CAE＝∠ADB．

又∵∠ABD＝∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y＝

1．x點(diǎn)評(píng)：確定兩線段間的函數(shù)關(guān)系，可利用線段成比例、找相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系．

例9.如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，EF與BD相交于點(diǎn)M．

（1）求證：△EDM∽△FBM；（2）若DB＝9，求BM．

（1）證明：∵E是AB中點(diǎn)，∴AB＝2BE，AB＝2CD，∴CD＝EB，又AB∥CD，∴四邊形CBED是平行四邊形，∴CB∥DE，∴DEMBFM，∴△EDM∽△FBM．

EDMFBMDMDE，BMBF1DB＝33（2）解：△EDM∽△FBM，∴

∴F是BC中點(diǎn)，DE＝2FB，∴DM＝2BM，∴BM＝

例10.已知△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3且CD＝6。求（1）AB；（2）AC。

分析：設(shè)AD＝2k，BD＝3k。根據(jù)直角三角形和它斜邊上的高，可知△ABC∽△ACD∽△CBD。通過(guò)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出其中k的大��；但是如果根據(jù)射影定理，那么就可以直接計(jì)算出k的大小。

解：設(shè)AD＝2k，BD＝3k（k>0）。

∵∠ACB＝90，CD⊥AB�！郈D2＝ADBD，

∴62＝2k3k，∴k＝6�！郃B＝56。又∵AC2＝ADAB，∴AC＝215。

例11.已知△ABC中，∠ACB＝90，CH⊥AB，HE⊥BC，HF⊥AC。求證：（1）△HEF≌△EHC；（2）△HEF∽△HBC。

分析：從已知條件中可以獲得四邊形CEHF是矩形，要證明三角形全等要收集到三個(gè)條件，有公共邊EH，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知EF＝CH，HF

＝EC。

要證明三角形相似，從條件中得∠FHE＝∠CHB＝90，由全等三角形可知，∠HEF＝∠HCB，這樣就可以證明兩個(gè)三角形相似。

證明：∵HE⊥BC，HF⊥AC，

∴∠CEH＝∠CFH＝90。又∵∠ACB＝90，∴四邊形CEHF是矩形。∴EF＝CH，HF＝EC，∠FHE＝90。又∵HE＝EH，

∴△HFE≌△EHC�！唷螲EF＝∠HCB�！摺螰HE＝∠CHB＝90，∴△HEF∽△HBC。

說(shuō)明：在這一題的分析過(guò)程中，走“兩頭湊”比較快捷，從已知出發(fā)，發(fā)現(xiàn)有用的信息，從結(jié)論出發(fā)，尋找解決問(wèn)題需要的條件。解題中還要注意上下兩小題的“臺(tái)階”關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。

例12.兩個(gè)全等的含30，60角的三角板ADE和ABC如圖所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MC。試判斷△EMC是什么樣的三角形，并說(shuō)明理由。

分析：判斷一個(gè)三角形的形狀，可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè)，或許是等腰

三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問(wèn)題：嘗試去證明EM＝MC，要證線段相等可以尋找全等三角形來(lái)解決，然而圖中沒(méi)有形狀大小一樣的兩個(gè)三角形。這時(shí)思考的問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個(gè)新問(wèn)題：如何構(gòu)造一對(duì)全等三角形？根據(jù)已知點(diǎn)M是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點(diǎn)是斜邊的一半，得：MD＝MB＝MA。連結(jié)MA后，可以證明△MDE≌△MAC。

答：△EMC是等腰直角三角形。證明：連接AM，由題意得，

DE＝AC，AD＝AB，∠DAE＋∠BAC＝90�！唷螪AB＝90�！唷鱀AB為等腰直角三角形。又∵M(jìn)D＝MB，

∴MA＝MD＝MB，AM⊥DB，∠MAD＝∠MAB＝45�！唷螹DE＝∠MAC＝105，∠DMA＝90�！唷鱉DE≌△MAC。

∴∠DME＝∠AMC，ME＝MC。又∠DME＋∠EMA＝90，∴∠AMC＋∠EMA＝90�！郙C⊥EM。

∴△EMC是等腰直角三角形。

說(shuō)明：構(gòu)造全等三角形是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進(jìn)行的呢？對(duì)條件的充分認(rèn)識(shí)和對(duì)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑。構(gòu)造過(guò)程中要不斷地轉(zhuǎn)化問(wèn)題或轉(zhuǎn)化思維的角度。會(huì)轉(zhuǎn)化，善于轉(zhuǎn)化，更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問(wèn)題中創(chuàng)設(shè)以三角板為情境也是考題的一個(gè)熱點(diǎn)。

MD┐E┌CBA

課后練習(xí)

1.如圖，△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O，給出下列三個(gè)條件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD．

（1）上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定△ABC是等腰三角形（用序號(hào)寫(xiě)出所有情形）；（2）選擇第（1）小題中的一種情況，證明△ABC是等腰三角形．

2.（1）已知如圖①，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝60。求證：①AC＝BD，②∠APB＝60。

（2）如圖②，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，則AC與BD間的等量關(guān)系式為_(kāi)_____________；∠APB的大小為_(kāi)____________。

（3）如圖③，在△AOB和△COD中，OA＝kOB，OC＝kOD（k>1），∠AOB＝∠COD＝α，則AC與BD間的等量關(guān)系式為_(kāi)________________；∠APB的大小為_(kāi)____________。

ODODODCAPB①CAB②PCABP③

3.一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長(zhǎng)為1.5m，面積為1.5m2，工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形，請(qǐng)兩位同學(xué)設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖（1），乙設(shè)計(jì)的方案如圖（2）。你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好？試說(shuō)明理由。（加工損耗忽略，計(jì)算結(jié)果可保留分?jǐn)?shù)）

CBDBEAADEPC

4.一般的室外放映的電影膠片上每一個(gè)圖片的規(guī)格為：3.5cm×3.5cm，放映的熒屏的規(guī)格為2m×2m，若放映機(jī)的光源距膠片20cm時(shí)，問(wèn)熒屏應(yīng)拉在離鏡頭多遠(yuǎn)的地方，放映的圖象剛好布滿整個(gè)熒屏？

F(1)GHF(2)

5.如圖，已知∠MON＝90，等邊三角形ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A是射線OM上的一定點(diǎn)，頂點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)C在∠MON內(nèi)部。

（1）當(dāng)頂點(diǎn)B在射線ON上移動(dòng)到B1時(shí)，連結(jié)AB1為一邊的等邊三角形AB1C1（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）；

（2）設(shè)AB1與OC交于點(diǎn)Q，AC的延長(zhǎng)線與B1C1交于點(diǎn)D。求證：ACADAB1AQ；（3）連結(jié)CC1，試猜想∠ACC1為多少度？并證明你的猜想。

6.如圖所示，設(shè)A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向600km的B處，正以每小時(shí)200km的速度沿北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心500km的范圍是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域．

（1）A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？

（2）若A城受到這次臺(tái)風(fēng)的影響，那么A城遭受這次臺(tái)風(fēng)的影響有多長(zhǎng)時(shí)間？

7.（1）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，∠CAB＝60°，CD＝3，BD＝23，求AC，AB的長(zhǎng)．

（2）“實(shí)驗(yàn)中學(xué)”有一塊三角形狀的花園ABC，有人已經(jīng)測(cè)出∠A＝30°，AC＝40米，BC＝25米，你能求出這塊花園的面積嗎？

（3）某片綠地形狀如圖所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A＝60°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的長(zhǎng)．

8.高為12米的教學(xué)樓ED前有一棵大樹(shù)AB，如圖所示．

（1）某一時(shí)刻測(cè)得大樹(shù)AB，教學(xué)樓ED在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)分別是BC＝2.5米，DF＝7.5米，求大樹(shù)AB的高度；

（2）現(xiàn)有皮尺和高為h米的測(cè)角儀，請(qǐng)你設(shè)計(jì)另一種測(cè)量大樹(shù)AB高度的方案，要求：①在圖中，畫(huà)出你設(shè)計(jì)的圖形（長(zhǎng)度用字母m，n表示，角度用希臘字母α，β表示）；②根據(jù)你所畫(huà)出的示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù)，求出大樹(shù)的高度并用字母表示．

9.如圖所示，某居民小區(qū)有一朝向?yàn)檎�南方向的居民樓，該居民樓的一樓是�?米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓．當(dāng)冬季正午的陽(yáng)光與水平線的夾角為32°時(shí)．

（1）問(wèn)超市以上的居民住房采光是否受影響，為什么？

（2）若要使超市采光不受影響，兩樓至少應(yīng)相距多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin32°≈cos32°≈

．）

53，1

練習(xí)答案

1.解：（1）①③或②③

（2）已知①③求證△ABC是等腰三角形．

證：先證△EBO≌△DCO．得OB＝OC，得∠DBC＝∠ECB．∴∠ABC＝∠ACB．即△ABC是等腰三角形2.證明：∵△AOB和△COD為正三角形，

∴OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝60，∠COD＝60。

∵∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD�！唷鰽OC≌△BOD，∴AC＝BD�！唷螼AC＝∠OBD，∴∠APB＝∠AOB＝60。

（2）AC與BD間的等量關(guān)系式為AC＝BD；∠APB的大小為α。

（3）AC與BD間的等量關(guān)系式為AC＝kBD；∠APB的大小為180－α。3.解：方案（1）：有題意可知，DE∥BA，得△CDE∽△CBA�！�

x2x6,x.；1.527方案（2）：作BH⊥AC于H。DE∥AC，得△BDE∽△BAC�！�

x1.2x30630,x,∴圖（1）加工出的正方形面積大。。∵2.51.237737綜上所得，甲同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好。4.解：膠片上的圖象和熒屏上的圖象是位似的，鏡頭就相當(dāng)于位似中心，因此本題可以轉(zhuǎn)化為位似問(wèn)題解答．：

80m75.解：（1）如圖所示；

證明：（2）∵△AOC與△AB1C1是等邊三角形，∴∠ACB＝∠AB1D＝60。

又∵∠CAQ＝∠B1AD，∴△ACQ∽△AB1D；

ACAQ,AB1AD

即ACADAQAB1.（3）猜想∠ACC1＝90。

證明：∵△AOC和△AB1C1為正三角形，AO＝AC，AB1＝AC1，∴∠OAC＝∠C1AB1，

∴∠OAC－∠CAQ＝∠C1AB1－∠CAQ，∴∠OAB1＝∠CAC1�！唷鰽OB1≌△ACC1�！唷螦CC1＝∠AOB1＝90。

6.（1）作AM⊥BF可計(jì)算AM＝300km

（2）受影響時(shí)間為

40024小時(shí)201*.解：（1）AC＝3，AB＝6

（2）能，分兩種情況，S△ABC＝201*－150和S△ABC＝201*＋150

C3030CA

ADBDB

（3）延長(zhǎng)BC，AD交于E，AD＝400－1003，BC＝201*－200．

8.解：連結(jié)AC，EF，

（1）∵太陽(yáng)光線是平行的，∴AC∥EF，∠ACB＝∠EFD，∵∠ABC＝∠EDF＝90°，∴△ABC∽△EDF，∴∴AB＝4米

（2）①如圖所示：

ABBCAB2.5,，EDDF127.5

②AB＝（mtanα＋h）米．

9.解：（1）超市以上居民住房采光受影響，由計(jì)算知新樓在居民樓上的投影高約11米，故受影響

（2）若要使超市采光不受影響，兩樓至少相距：

208＝20×＝32（米）

tan3

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