選修4-4知識(shí)點(diǎn)及題型總結(jié)

一、選考內(nèi)容《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》高考考試大綱要求：

“參數(shù)方程與極坐標(biāo)”主要內(nèi)容是參數(shù)方程和普通方程的互化，極坐標(biāo)系與普通坐標(biāo)系的互化，參數(shù)方程和極坐標(biāo)的簡(jiǎn)單應(yīng)用三塊

1．坐標(biāo)系:①理解坐標(biāo)系作用.②了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形變化情況.③在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)位置區(qū)別，進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化.④在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形（如過極點(diǎn)直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)圓）方程.通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中方程，理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系2．參數(shù)方程：①了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.②能選擇適當(dāng)?shù)膮��?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.

xx,(0),1．伸縮變換：設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，在變換:yy,(0).作用下，點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P(x,y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸

縮變換。

2.極坐標(biāo)系的概念：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。

3．點(diǎn)M的極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為。有序數(shù)對(duì)(,)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(,).

極坐標(biāo)(,)與(,2k)(kZ)表示同一個(gè)點(diǎn)。極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,)(R).4.若0,則0,規(guī)定點(diǎn)(,)與點(diǎn)(,)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱，即(,)與(,)表示同一點(diǎn)。如果規(guī)定0,02，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(,)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)(,)表示的點(diǎn)也是唯一確定的。

222xcos,5．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化：xy,yysin,tan(x0)x6。圓的極坐標(biāo)方程：

在極坐標(biāo)系中，以極點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是r；

在極坐標(biāo)系中，以C(a,0)(a0)為圓心，a為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是2acos；在極坐標(biāo)系中，以C(a,2)(a0)為圓心，a為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是2asin；

7.在極坐標(biāo)系中，(0)表示以極點(diǎn)為起點(diǎn)的一條射線；(R)表示過極點(diǎn)的一條直線.在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A(a,0)(a0)，且垂直于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程是

cosa.

8．參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)

xf(t),t的函數(shù)并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這

yg(t),條曲線上，那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，

簡(jiǎn)稱參數(shù)。

相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。

xarcos,222(為參數(shù)).9．圓(xa)(yb)r的參數(shù)方程可表示為ybrsin.第1頁共4頁

橢圓

xa222yb221(ab0)的參數(shù)方程可表示為xacos,ybsin.(為參數(shù)).

拋物線yx2px2,2px的參數(shù)方程可表示為(t為參數(shù)).

y2pt.xotcos（,tx經(jīng)過點(diǎn)MO(xo,yo)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程可表示為為參數(shù)）.

yyotsin.10．在建立曲線的參數(shù)方程時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的

互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致.

，下列所給出的不能表示點(diǎn)M的坐標(biāo)的是（）1．已知M5,34C．2D．5A5,B．5,5,5,33332．點(diǎn)P1,3，則它的極坐標(biāo)是（）

B．4CA．D．42,2,2,2,33333．極坐標(biāo)方程cos表示的曲線是（

4）

A．雙曲線B．橢圓C．拋物線D圓4．圓2(cossin)的圓心坐標(biāo)是

2,B．1C．A1,,424

4D．2,

45．在極坐標(biāo)系中，與圓4sin相切的一條直線方程為

A．sin2Bcos2C．cos4D．cos46．若直線的參數(shù)方程為xsin2x12t(t為參數(shù))，則直線的斜率為（）

y23tA．2/3B．-2/3C．3/2D-3/27．下列在曲線1ycossin(為參數(shù))上的點(diǎn)是（）

A．(,2)B(231,)C．(2,3)D．(1,3)421點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(1,3)，則點(diǎn)M的極坐標(biāo)為2化極坐標(biāo)方程

cos0為直角坐標(biāo)方程3直線xcosysin0的極坐標(biāo)方程為

24.極坐標(biāo)方程4sin225表示的曲線是5.圓錐曲線8sincos2的準(zhǔn)線方程

6.在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A(1,

2),點(diǎn)B在直線cossin0上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短

時(shí)，點(diǎn)B的極坐標(biāo)是_________.

第2頁共4頁

8.已知直線的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+π/4)=2/2，求點(diǎn)A（2，7π/4）到這條直線的距離。

9.⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為4cos，4sin．(I)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(II)求經(jīng)過⊙O1，⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程．

（一）、方程的伸縮變換

"x2x1、已知y2x，求經(jīng)過變換后的方程。"y3y2x"2x22、經(jīng)過變換后的方程為y2x，求"y3y變換前的方程。3、求將曲線y2sin3x變成ysinx的變換。

4．說說由曲線ytanx得到曲線y3tan2x的變化過程。

5.在平面直角坐標(biāo)系中，方程x2y21所對(duì)應(yīng)圖形經(jīng)過伸縮變換x2x,后圖形所對(duì)應(yīng)方

y3yx3x,6.在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍�線x29y29，yy則曲線C方程為

（二）、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化利用兩種坐標(biāo)的互化，可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，這二者互化的前提條件是（1）極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；（2）極軸與x軸正方向重合；（3）取相同的單位長(zhǎng)度.設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)

2x2y2xcos為x,y，它的極坐標(biāo)為,，則；若把直角坐標(biāo)化或yysintgx為極坐標(biāo)，求極角時(shí)，應(yīng)注意判斷點(diǎn)P所在的象限（即角的終邊的位置），以便正確地

求出角.

2，則極點(diǎn)到該直線的距離是42211)，(4,),(2,)化成直角坐標(biāo)例2（1）把點(diǎn)M的極坐標(biāo)(8,36例1：已知直線的極坐標(biāo)方程為sin（2）把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(6,2)，(2,2)和(0,15)化成極坐標(biāo)

21、已知點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（3，），（2，）43求它們的直角坐標(biāo)。2、已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（3，3），（2，2求它們的極坐標(biāo)。3）3、把方程x22y23xy4x0化為極坐標(biāo)方程。4、把方程2cos29，cos2sin2化為直角坐標(biāo)方程。

第3頁共4頁

5、已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A,判斷三角形5，，B5，，C43，623ABC的三角形的形狀，并計(jì)算其面積.

（三）、圓和直線的極坐標(biāo)方程

1、圓心在（a，0）半徑為a的方程為：2、圓心在（a，）半徑為a的方程為：23、圓心在（a，）半徑為a的方程為：34、圓心在（a，）半徑為a的方程為：25、圓心在極點(diǎn)，半徑為a的方程為：6、經(jīng)過（a，0）且垂直于極軸的直線方程為：7、經(jīng)過（a，0）且與極軸所成角為的直線方程為：

練習(xí)2、按下列條件寫出圓的極坐標(biāo)方程：(1)以A(3,0)為圓心，且過極點(diǎn)的圓；

(2)以B(8，)為圓心，且過極點(diǎn)的圓；2

(3)以極點(diǎn)O與點(diǎn)C(-4,0)連接的線段為直徑的圓；(4)圓心在極軸上，且過極點(diǎn)與點(diǎn)D(23，)的圓。56例題1：求過極點(diǎn)，傾斜角為4的射線的極坐標(biāo)方程。2、求過極點(diǎn)，傾斜角為4直線的極坐標(biāo)方程。

求直線的極坐標(biāo)方程步驟1.根據(jù)題意畫出草圖；2.設(shè)點(diǎn)M(,)是直線上任意一點(diǎn);3.連接MO；4.根據(jù)幾何條件建立關(guān)于,的方程,并化簡(jiǎn)；5.檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求.

（四）、極坐標(biāo)系內(nèi)的距離問題

1、已知A（2，），B（3，），求|AB|26SAOB(o為極點(diǎn)）。2、曲線方程為sin（A到該曲線的距離。3、求曲線2cos上的點(diǎn)與定點(diǎn)（1，）2的最近距離和最遠(yuǎn)距離。4）22，求

第4頁共4頁

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選修44知識(shí)點(diǎn)及題型總結(jié)一、知識(shí)點(diǎn)

xx,(0),1．伸縮變換：設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換:yy,(0).的作用下，點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P(x,y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)

稱伸縮變換。

2.極坐標(biāo)系的概念：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。

3．點(diǎn)M的極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為。有序數(shù)對(duì)(,)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(,).

極坐標(biāo)(,)與(,2k)(kZ)表示同一個(gè)點(diǎn)。極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,)(R).4.若0,則0,規(guī)定點(diǎn)(,)與點(diǎn)(,)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱，即(,)與(,)表示同一點(diǎn)。

如果規(guī)定0,02，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(,)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)(,)表示的點(diǎn)也是唯一確定的。5．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化：2x2y2,xcos,y

ysin,tan(x0)

x

6。圓的極坐標(biāo)方程：

在極坐標(biāo)系中，以極點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是r；

在極坐標(biāo)系中，以C(a,0)(a0)為圓心，a為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是2acos；在極坐標(biāo)系中，以C(a,2)(a0)為圓心，a為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是2asin；

7.在極坐標(biāo)系中，(0)表示以極點(diǎn)為起點(diǎn)的一條射線；(R)表示過極點(diǎn)的一條直線.

在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A(a,0)(a0)，且垂直于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程是

cosa.

8．參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)

xf(t),t的函數(shù)并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這

yg(t),條曲線上，那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，

簡(jiǎn)稱參數(shù)。

相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。

xarcos,222(為參數(shù)).9．圓(xa)(yb)r的參數(shù)方程可表示為ybrsin.橢圓

xa22yb22xacos,(為參數(shù)).1(ab0)的參數(shù)方程可表示為ybsin.第1頁共4頁拋物線y2x2px2,(t為參數(shù)).2px的參數(shù)方程可表示為y2pt.xxotcos,經(jīng)過點(diǎn)MO(xo,yo)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程可表示為（t為

yyotsin.參數(shù)）.

10．在建立曲線的參數(shù)方程時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致.

二、題型總結(jié)

（一）、方程的伸縮變換

"x2x1、已知y2x，求經(jīng)過變換后的方程。"y3y2x"2x22、經(jīng)過變換后的方程為y2x，求"y3y變換前的方程。3、求將曲線y2sin3x變成ysinx的變換。

（二）、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

21、已知點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（3，），（2，）43求它們的直角坐標(biāo)。2、已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（3，3），（2，23）求它們的極坐標(biāo)。3、把方程x2y3xy4x0化為極坐標(biāo)方程。4、把方程cos29，cos2sin2化為直角坐標(biāo)方程。222

第2頁共4頁（三）、圓和直線的極坐標(biāo)方程

1、圓心在（a，0）半徑為a的方程為：2、圓心在（a，）半徑為a的方程為：23、圓心在（a，）半徑為a的方程為：34、圓心在（a，）半徑為a的方程為：25、圓心在極點(diǎn)，半徑為a的方程為：6、經(jīng)過（a，0）且垂直于極軸的直線方程為：7、經(jīng)過（a，0）且與極軸所成角為的直線方程為：

8、圓心在（2，），半徑為1的圓的方程為：49、經(jīng)過（2，），且與極軸所成角為的36直線方程為：

（四）、極坐標(biāo)系內(nèi)的距離問題

1、已知A（2，），B（3，），求|AB|26SAOB(o為極點(diǎn)）。2、曲線方程為sin（A到該曲線的距離。3、求曲線2cos上的點(diǎn)與定點(diǎn)（1，）2的最近距離和最遠(yuǎn)距離。4）22，求

（五）、常見的參數(shù)方程

1、圓心在（a,b）半,徑為r的圓的方程為：2、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的橢圓的方程為：3、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線的方程為：4、頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x正半軸的拋物線的方程為：5、經(jīng)過（x0，y0）傾斜角為的直線方程為：

（六）、參數(shù)方程化為普通方程

第3頁共4頁1xtt1、yt1tx12sint3、y23cost1txete2、yet1tex3sint4cost4、y4sint3costxsin2t5、ycostsint

22（七）、參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1、已知P（x，y）是曲線xy2y上的點(diǎn)（1）求2xy的取值范圍（2）求(x2)（y3）的取值范圍（3）求y1x2的取值范圍22（4）若xya0恒成立，求a的取值范圍2、點(diǎn)P在曲線x2

16y2121上，求它到直線x2y120的距離的最大值和最小值，并給出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)。

3t(t為參數(shù)）x1y2t3.已知直線L的參數(shù)方程是：

（１）求t=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Ｐ坐標(biāo)（２）求點(diǎn)Ｐ到點(diǎn)Ｍ（－１，２）的距離（３）求直線L的傾斜角（４）求直線L被曲線

2xy322截得弦長(zhǎng)及弦中點(diǎn)坐標(biāo)

4、經(jīng)過拋物線y2x外一點(diǎn)M（2，4）且傾斜角為4的直線與其交于M1、M2（1）設(shè)M1M2中點(diǎn)為M0，求它的坐標(biāo)（2）求|M1M2|、|MM1||MM2|和|MM1||MM2|(3)若線段M1M2上一點(diǎn)M3滿足求M3的坐標(biāo)MM1MM2M1M3M2M3

第4頁共4頁

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