初中數(shù)學(xué)函數(shù)專題總結(jié)
一次函數(shù)
1、定義與定義式:
自變量x和因變量y有如下關(guān)系:y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0)則稱y是x的一次函數(shù),特別地,當(dāng)b=0時,y是x的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的性質(zhì):
y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例,比值為k,即△y/△x=k3、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì):
1)作法與圖形:(1)列表(一般找4-6個點);(2)描點;(3)連線,可以
作出一次函數(shù)的圖象。(用平滑的直線連接)2)性質(zhì):在一次函數(shù)圖象上的任意一點P(x,y),都滿足等式:y=kx+b。3)k,b與函數(shù)圖象所在象限。
當(dāng)k>0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大;當(dāng)k<0時,直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小。當(dāng)b>0時,直線必通過一、二象限;當(dāng)b<0時,直線必通過三、四象限。
當(dāng)b=0時,直線通過原點O(0,0)表示的是正比例函數(shù)的圖象。這時,當(dāng)k>0時,直線只通過一、三象限;當(dāng)k<0時,直線只通過二、四象限。4、在y=kx+b中,兩個坐標(biāo)系必定經(jīng)過(0,b)和(-b/k,0)兩點
k>0,b>0k>0,b
反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。
2.反比例函數(shù)的概念需注意以下幾點:(1)(k為常數(shù),k≠0);(2)自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù);(3)因變量y的取值范圍是y≠0的一切實數(shù).
3.因為在y=k/x(k≠0)中,x不能為0,y也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交,也不可能與y軸相交.
4.在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點P,Q,過點P,Q分別作x軸,y軸的平行線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1,S2則S1=S2=|K|
二次函數(shù)
1.一般地,自變量x和因變量y,y是x的函數(shù)之間存在如下關(guān)系:y=ax^2+bx+c(a≠0)a,b,c為常數(shù),
a≠0,則稱y為x的二次函數(shù)。2.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
頂點式:y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h,k)]對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c其頂點坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))交點式:y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A(x1,0)和B(x2,0)的拋物線]其中x1,2=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)(即一元二次方程求根公式)注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:h=-b/2ak=(4ac-b)/4a
x1,x2=(-b±√b-4ac)/2a二次函數(shù)的圖像
3.在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,
二次函數(shù)可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。二次函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)畫法步驟(在平面直角坐標(biāo)系上)
(1)列表(2)描點(3)連線4.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地,當(dāng)b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P,坐標(biāo)為P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時,P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時,P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a>0時,拋物線向上開口;當(dāng)a<0時,拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當(dāng)a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交于(0,c)6.拋物線與x軸交點個數(shù)
Δ=b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。Δ=b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。Δ=b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。
當(dāng)a>0時,函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;在{x|x-b/2a}上是增函數(shù);拋物線的開口向上;函數(shù)的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不變
當(dāng)b=0時,拋物線的對稱軸是y軸,這時,函數(shù)是偶函數(shù),解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)二次函數(shù)與一元二次方程
特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c,
當(dāng)y=0時,二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程),
即ax^2+bx+c=0此時,函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)即為方程的根。
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一次函數(shù)
1、定義與定義式:
自變量x和因變量y有如下關(guān)系:y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0)則稱y是x的一次函數(shù),特別地,當(dāng)b=0時,y是x的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的性質(zhì):
y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例,比值為k,即△y/△x=k3、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì):
1)作法與圖形:(1)列表(一般找4-6個點);(2)描點;(3)連線,可以
作出一次函數(shù)的圖象。(用平滑的直線連接)2)性質(zhì):在一次函數(shù)圖象上的任意一點P(x,y),都滿足等式:y=kx+b。3)k,b與函數(shù)圖象所在象限。
當(dāng)k>0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大;當(dāng)k<0時,直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小。當(dāng)b>0時,直線必通過一、二象限;當(dāng)b<0時,直線必通過三、四象限。
當(dāng)b=0時,直線通過原點O(0,0)表示的是正比例函數(shù)的圖象。這時,當(dāng)k>0時,直線只通過一、三象限;當(dāng)k<0時,直線只通過二、四象限。4、在y=kx+b中,兩個坐標(biāo)系必定經(jīng)過(0,b)和(-b/k,0)兩點
k>0,b>0k>0,b
反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。
2.反比例函數(shù)的概念需注意以下幾點:(1)(k為常數(shù),k≠0);(2)自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù);(3)因變量y的取值范圍是y≠0的一切實數(shù).
3.因為在y=k/x(k≠0)中,x不能為0,y也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交,也不可能與y軸相交.
4.在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點P,Q,過點P,Q分別作x軸,y軸的平行線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1,S2則S1=S2=|K|
二次函數(shù)
1.一般地,自變量x和因變量y,y是x的函數(shù)之間存在如下關(guān)系:y=ax^2+bx+c(a≠0)a,b,c為常數(shù),
a≠0,則稱y為x的二次函數(shù)。2.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
頂點式:y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h,k)]對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c其頂點坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))交點式:y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A(x1,0)和B(x2,0)的拋物線]其中x1,2=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)(即一元二次方程求根公式)注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:h=-b/2ak=(4ac-b)/4a
x1,x2=(-b±√b-4ac)/2a二次函數(shù)的圖像
3.在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,二次函數(shù)可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。二次函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)畫法步驟(在平面直角坐標(biāo)系上)(1)列表(2)描點(3)連線4.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地,當(dāng)b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)2.拋物線有一個頂點P,坐標(biāo)為P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時,P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時,P在x軸上。3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a>0時,拋物線向上開口;當(dāng)a<0時,拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當(dāng)a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0,c)6.拋物線與x軸交點個數(shù)
Δ=b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。Δ=b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。Δ=b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。
當(dāng)a>0時,函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;在{x|x-b/2a}上是增函數(shù);拋物線的開口向上;函數(shù)的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不變
當(dāng)b=0時,拋物線的對稱軸是y軸,這時,函數(shù)是偶函數(shù),解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)二次函數(shù)與一元二次方程
特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c,
當(dāng)y=0時,二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程),
即ax^2+bx+c=0此時,函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)即為方程的根。
二次函數(shù)公式:頂點式、交點式、兩根式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0),則稱y為x的二次函數(shù)。頂點坐標(biāo)(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
(2)頂點式:y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k為常數(shù),a≠0).
(3)交點式(與x軸):y=a(x-x1)(x-x2)
(4)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo),即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根,a≠0.說明:
(1)任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,拋物線的頂點坐標(biāo)是(h,k),h=0時,拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上;當(dāng)k=0時,拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上;當(dāng)h=0且k=0時,拋物線y=ax2的頂點在原點.
(2)當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點時,即對應(yīng)二次方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根x1和x2存在時,根據(jù)二次三項式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函數(shù)y=ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).
二次函數(shù)對稱軸及解法
設(shè)二次函數(shù)的解析式是y=ax^2+bx+c對稱軸為:直線x=-b/2a,頂點橫坐標(biāo)為:-b/2a頂點縱坐標(biāo)為:(4ac-b^2)/4a求解方法:
1如果題目只給個二次函數(shù)的解析式的話,那就只有配方法了吧,y=ax2+bx+c=a[x+(b/2a)]2+(4ac-b2)/4a,則對稱軸為x=-b/2a
2.如果題目有f(a-x)=f(b+x)的已知條件,那對稱軸是x=(a+b)/23.如果題目給出了2個零點(a,0)、(b,0),則對稱軸是x=(a+b)/2
4.如果題目給出了定義在R上的拋物線最大值或最小值(a,b),則對稱軸為x=a
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