數(shù)學(xué)史(考試重點及答案總結(jié)
1.簡述數(shù)學(xué)史的定義及數(shù)學(xué)史課程的內(nèi)容。
答：數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展及其與社會政治經(jīng)濟和一般文化的聯(lián)系。數(shù)學(xué)史課程的功能可以概括成以下四部分:
（1）掌握歷史知識：通過學(xué)習(xí)關(guān)于數(shù)學(xué)的專門知識，更好的從整體上把握數(shù)學(xué)。（2）復(fù)習(xí)已有知識：按學(xué)科講述學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，系統(tǒng)的提高對該學(xué)科的理解。（3）了解新的知識：通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)各學(xué)科的發(fā)展，了解沒有學(xué)過的學(xué)科的內(nèi)容。（4）受到思想教育：通過了解數(shù)學(xué)家為數(shù)學(xué)而奮斗的高尚品質(zhì)，陶冶數(shù)學(xué)情操。2.簡述數(shù)學(xué)內(nèi)涵的歷史發(fā)展。
答：數(shù)學(xué)的內(nèi)涵隨時代的變化而變化，一般可分為四個階段。A數(shù)學(xué)是量的科學(xué)：公元前4世紀(jì)。
B數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué);19世紀(jì)。C數(shù)學(xué)研究各種量之間的關(guān)系與聯(lián)系：20世紀(jì)50年代。D數(shù)學(xué)是作為模式的科學(xué)：20世紀(jì)80年代。1.簡述河谷文明及其數(shù)學(xué)。
答：歷史學(xué)家往往把四大文明古國的文明稱之為“河谷文明”，因為這些國家是在河流的入�？诮⒌摹Ｄ崃_河孕育了埃及文明；底格里斯河、幼發(fā)拉底河孕育了巴比倫文明；黃河和長江孕育了中國文明；印度河和恒河孕育了印度文明。埃及、美索不達(dá)米亞的數(shù)學(xué)產(chǎn)生較早，紀(jì)元前已經(jīng)衰微，而印度、中國的數(shù)學(xué)崛起較晚，卻延續(xù)至中世紀(jì)。
2.簡述紙草書與泥板文書中的數(shù)學(xué)。
答：古埃及人在一種紙莎草壓制成的葉片上書寫，幸存至今，被稱為紙草書。萊茵德紙草書（現(xiàn)存于倫敦大英博物館）中有84個數(shù)學(xué)題目；莫斯科紙草書（現(xiàn)存于俄國普希金精細(xì)藝術(shù)博物館）中有25個數(shù)學(xué)題目；還有其他紙草書。
紙草書中的數(shù)學(xué)知識包括：（1）算術(shù)，包括加法運算、單位分?jǐn)?shù)、十進(jìn)制計數(shù)、位置法；（2）幾何，包括面積、體積計算和四棱臺體積公式。
美索不達(dá)米亞人用尖蘆管在濕泥板上寫字，然后將濕泥板曬干或烘干，幸存至今，被稱之為泥板文書。出土50萬塊其中數(shù)學(xué)文獻(xiàn)300塊。
泥板文書中的數(shù)學(xué)包括：（1）記數(shù)，包括形文、60制、位值原理；（2）程序化算法，包括1.414213；(3)數(shù)表；(4)xpxq=0,x=a,X+X=a(5)
幾何，測量、面積、體積公式、相似形、勾股數(shù)值。代數(shù)學(xué)。1.簡述幾何三大問題及歷史發(fā)展。
答：用圓規(guī)和沒有刻度的直尺完成作圖（稱為尺規(guī)作圖）；（1）畫圓為方：作一個與給定圓面積相等的正方形；
（2）倍立方體：求作一個正方體，使其體積等于已知正方體體積的兩倍；（3）三等分角：分任意角為三等份角。
歷史發(fā)展：從古代希臘開始，人們對三大問題做了不斷的探索但沒有解決；直到19世紀(jì)人們才能用代數(shù)學(xué)等的知識徹底解決了；徹底解決證明是不可能的，有的人不了解歷史有時仍然盲目的研究它。2.簡述歐幾里得的幾何《原本》。
答：歐幾里德集古代希臘論證數(shù)學(xué)之大成，寫成第一部典范的數(shù)學(xué)著作幾何《原本》。
前六卷相當(dāng)于幾何內(nèi)容。第1卷首先用23個定義給出了點、錢、面、圓以及平行線等原始概念，接著提出了5個公社和5個公理，第2卷主要討論幾何代數(shù)，第3卷是與圓有關(guān)的一些問題，包括圓、弦、割線、切線以及圓心角和圓周角的一些熟知的定理，第4卷在引入了圓的內(nèi)接和外切圓形的概念以后，討論了給定圓的某些內(nèi)接和外切正多邊形的尺規(guī)作圖問題，第5卷討論了有關(guān)量的比例理論，第6卷主要是將激勵理論應(yīng)用于平面幾何，其中包括相似三角形等。第7、8、9卷主要研究初等數(shù)論。第10卷討論無理數(shù)。后3卷是立體幾何的內(nèi)容.
1.簡述割圓術(shù)及中國古代數(shù)學(xué)家所計算的圓周率。
答：（1）割圓術(shù)的要旨：就是用圓內(nèi)接正多邊形去逼近圓“割之彌細(xì)，所之彌少“。用圓內(nèi)接正多邊形的周長與面積近似作為圓的周長與面積。
2）劉徽計算到正192邊形，得到圓周率約為3.14，以分?jǐn)?shù)157/50近似代替圓周率，稱之為徽率。祖沖之計算的圓周率3.1415926答：牛頓是在笛卡爾的《幾何學(xué)》和沃利斯的“無窮算數(shù)”的基礎(chǔ)上創(chuàng)立微積分理論。1665年11月牛頓建立了“正流數(shù)術(shù)”；1666年5月牛頓創(chuàng)立了“反流數(shù)術(shù)”；1666年10月牛頓寫了總結(jié)性論文《流數(shù)簡論》。牛頓繼續(xù)研究流數(shù)術(shù)相繼完成了三篇論文《分析學(xué)》、《流數(shù)法》、《求積術(shù)》，并且以極限法作為微積分的基礎(chǔ)，牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中最早公開表述微積分學(xué)說。
萊布尼茲從幾何問題出發(fā)，發(fā)現(xiàn)了求曲線的切線與面積的互逆關(guān)系。1684年他發(fā)表了《一種求極大與極小值和求切線的新方法》，1686年他發(fā)表了《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》。1.簡述微積分的發(fā)展。
答:大不列顛以泰勒、麥克勞斯、棣莫弗、斯特林繼承和發(fā)展了牛頓創(chuàng)立的微積分；歐洲大陸以伯努利家族、歐拉、達(dá)朗貝爾、拉格朗日為代表繼承和發(fā)展了萊布尼茨創(chuàng)立的微積分。微積分的發(fā)展分為5個方面：
（1）積分技術(shù)與橢圓積分：包括變量替換、部分分式積分，橢圓積分；（2）微積分向多元函數(shù)的推廣：包括偏導(dǎo)數(shù)和多重積分；（3）無窮級數(shù)理論：包括收斂性、調(diào)和級數(shù)、判別法；（4）函數(shù)概念的深化；
（5）微積分嚴(yán)格化的嘗試：其中主要著作有達(dá)朗貝爾的《科學(xué)、藝術(shù)和工藝百科全書》，拉格朗日的《解析函數(shù)論》。代表學(xué)科：分析學(xué)和分析。2.簡述分析學(xué)在18世紀(jì)的新分支。答：分析學(xué)在18世紀(jì)有3個分支：
（一）常微分方程：包括積分因子法，變易系數(shù)法。例如：微分方程，常微分方程。（二）偏微分方程（又稱數(shù)學(xué)物理方程）
這一分支有兩位著名的數(shù)學(xué)家進(jìn)行了研究：其中達(dá)朗貝爾研究弦的振動，得出所滿足的微分方程，并求出某種形式的通解：拉普拉斯研究弦的振動，得出所滿足的偏微分方程（位勢方程），通常稱為拉普拉斯方程。（三）變分法：歐拉對于變分問題給出了一般的處理，得出了變分法的基本方程，常稱為“歐拉方程”。1.簡述伽羅瓦對代數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)。
答：法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦的工作原理是在拉格朗日、高斯、柯西、阿貝爾等人的工作啟發(fā)之下完成的。他在拉格朗日的基礎(chǔ)上提出了“置換群”、“子群”、“正規(guī)子群”、“極大正規(guī)子群”等全新的數(shù)學(xué)概念。伽羅瓦研究根的排列，實際上建立了置換群。1829-1831年，伽羅瓦發(fā)現(xiàn)了代數(shù)方程可用根式解的基本定律伽羅瓦基本定律。判斷根式可解的充要條件。問題轉(zhuǎn)化為域，建立了子域與子群的對應(yīng)關(guān)系，給出了根式可解得充要條件，開辟了代數(shù)學(xué)的新紀(jì)元。2.簡述19世紀(jì)的數(shù)論。
答：高斯1801年著書《算數(shù)研究》對代數(shù)數(shù)論進(jìn)行了總結(jié)并發(fā)長了此數(shù)論。高斯研究了同余理論、復(fù)整數(shù)型的理論，使數(shù)論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，復(fù)整數(shù)理論開辟了代數(shù)理論。庫默爾對代數(shù)數(shù)論作出了重要貢獻(xiàn)。例如：費馬定理的證明，唯一因子分解定理和理想數(shù)理論。1.簡述非歐幾何的產(chǎn)生。
答：研究歐幾里德平行公社由來已久，19世紀(jì)進(jìn)入研究的活躍時期�？死锔駹枌ζ叫泄砟芊裼衅渌硗瞥霰硎緫岩�。蘭伯特通過替代平行公社而展開無矛盾的幾何學(xué)著作《平行線理論》。高斯建立并相信一種邏輯上相容并且可以描述物質(zhì)空間像歐氏幾何一樣正確的幾何學(xué)。Ｊ.波約（匈牙利）著《絕對空間的幾何學(xué)》，給出了非歐幾何。羅巴切夫斯基是俄國數(shù)學(xué)家，他1826年發(fā)表《簡要論述平行線定理的一個嚴(yán)格證明》，1829年完成《論幾何原理》；1835-1838年完成《具有完備的平行線理論的新幾何原理》，1840年完成《平行理論的幾何研究》，他最早發(fā)表并捍衛(wèi)自己的理論，被成為羅巴切夫斯基幾何，簡稱為羅氏幾何。2.克萊茵的愛爾朗根綱領(lǐng)。
答：各國數(shù)學(xué)家克萊茵于1872年在愛爾朗根大學(xué)發(fā)表的數(shù)學(xué)教授就職演說稱之為“愛爾朗根綱領(lǐng)”�！皭蹱柪矢V領(lǐng)”闡述里幾何學(xué)統(tǒng)一的思想：所謂幾何學(xué)，就是研究幾何圖形對某類變換群保持不變性質(zhì)的學(xué)科，或者說，任何一種幾何學(xué)只是研究與特定變換群有關(guān)的不變量，從而，變化群本的任意一種分類也就對應(yīng)于幾何學(xué)的一種分類。
1.簡述柯西與魏爾斯特拉斯對分析學(xué)嚴(yán)格化的貢獻(xiàn)。
答：柯西是十九世紀(jì)前半世紀(jì)的法國著名數(shù)學(xué)家。他與1817年出版了《純粹分析證明》一書，又于1821年和1823年分別出版了《分析教程》和《無窮小計數(shù)教程》。他特別是對變量、函數(shù)、極限、無窮小量、連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與微分、積分和級數(shù)的研究做出了突出貢獻(xiàn)。
威爾斯特拉斯創(chuàng)造了一套科學(xué)的語言，重新定義了極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等分析基本概念，引進(jìn)了一致收斂性，分析學(xué)今天的嚴(yán)格形式被確定。1.簡述20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)發(fā)展的主要趨勢。
答：20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)發(fā)展的主要趨勢是更高的抽象性，更強的統(tǒng)一性，更深入的基礎(chǔ)探討。
更高的抽象性：集合論觀點的滲透和公理化的應(yīng)用，使20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)具有更高的抽象性，以實變函數(shù)、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、抽樣代數(shù)具有標(biāo)志性的四大抽象分支為典型證明與代表。
更強的統(tǒng)計性：不同學(xué)科的相互滲透、結(jié)合的趨勢、不同分支領(lǐng)域的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的相互融合。更深入的基礎(chǔ)探討：對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的更深入的探討及由此引起的數(shù)理邏輯的發(fā)展。2.簡述關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大派流。
答：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大流派是邏輯主義、直覺主義、形式主義。
邏輯主義以英國的羅素為代表，認(rèn)為數(shù)學(xué)就是邏輯，全部數(shù)學(xué)可以由邏輯推導(dǎo)出來。
直覺主義以荷蘭的布勞威爾為代表，認(rèn)為數(shù)學(xué)獨立于邏輯，堅持?jǐn)?shù)學(xué)對象的“構(gòu)造性”主義。
形式主義以德國的希爾伯特為代表，試圖將數(shù)學(xué)徹底形式化為一個系統(tǒng)，數(shù)學(xué)語句的公式表達(dá)，用形式的程序表示推理。
1.簡述20世紀(jì)作為應(yīng)用數(shù)學(xué)的新世紀(jì)。答：在20世紀(jì)，數(shù)學(xué)產(chǎn)生了空前廣泛的應(yīng)用。
（1）數(shù)學(xué)的應(yīng)用突破了傳統(tǒng)的范圍，而向人類幾乎所有的知識領(lǐng)域滲透，產(chǎn)生了諸如數(shù)理化學(xué)、數(shù)理經(jīng)濟學(xué)、數(shù)理心理學(xué)等交叉學(xué)科。
（2）純粹數(shù)學(xué)的幾乎所有分支都獲得了應(yīng)用，其中最抽象的一些分支也參與了滲透，例如，數(shù)論在密碼技術(shù)、衛(wèi)星信號傳遞、計算機、量子力學(xué)等學(xué)科中發(fā)揮重要作用。
（3）現(xiàn)代數(shù)學(xué)對生產(chǎn)技術(shù)的應(yīng)用越來越直接，例如，數(shù)值模擬已成為飛行器設(shè)計的有效工具，應(yīng)用于技術(shù)部分以替代耗資巨大的實驗。
（4）現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了一些相對獨立的應(yīng)用學(xué)科，如數(shù)理統(tǒng)計、運籌學(xué)、控制論等。2.簡述計算機對數(shù)學(xué)的影響。答：計算機對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了重要影響。
（1）計算數(shù)學(xué)的興旺計算機，促進(jìn)了各種計算方法的產(chǎn)生，等形計算力學(xué)等數(shù)學(xué)分支。
（2）純粹數(shù)學(xué)研究與計算機，用計算機解決了重大大數(shù)學(xué)問題，如證明四色定理，計算機依無可比比擬的計算速度和圖像顯示動能，幫助數(shù)學(xué)家猜測新的事實，發(fā)現(xiàn)新的定理，如孤立子、混沌等。
（3）計算機科學(xué)中的數(shù)學(xué)，計算機呼喚新的數(shù)學(xué)思想，如組合數(shù)學(xué)、模糊數(shù)學(xué)、機器證明等，隨著計算機科學(xué)的發(fā)展而進(jìn)一步發(fā)展。1.簡述四色定理的證明過程。
答：四色問題也稱為四色猜想或四色定理：為了給任意一張地圖著色，使有公共邊界的任何區(qū)域顏色不同，至多需要四種顏色。
1852年，英國大學(xué)生古德里首先提出，1878年法國數(shù)學(xué)家凱萊的文章《論地圖著色》掀起了一場四色問題熱，1879年英國肯波引入“不可避免集”與“可約性”兩個關(guān)鍵概念，1900年希伍德證明五色定理，1969年德國希斯找到解決問題的“放電算法”。
1976年6月，美國哈肯與阿佩爾借助計算機最終給與證明，計算機時間1200小時，計算機程序先后修改了500多次。
2.簡述有限單群分類定理的證明過程。答：如同數(shù)論中的素數(shù)，物理學(xué)中的基本粒子，單群是群論的基本構(gòu)件，認(rèn)識有限群轉(zhuǎn)化為認(rèn)識有限單群。有限單群分類定理：有限單群包括十八個正規(guī)無限族（成族出現(xiàn)的群）和26個散在單群（單獨出現(xiàn)的群），再沒有其他的有限單群了。1954年布饒爾的對合中心化子定理成為單群分類工作的新起點。1962年費特和湯普遜證明了：所有非交換單群都是偶數(shù)個元素的群，1972年弋倫斯坦提出解決分類問題的16步綱領(lǐng)，發(fā)起最后攻堅戰(zhàn)，1980年格里斯找到最后一個散在單群“大魔”，宣告分類定理證明結(jié)束。1.簡述數(shù)學(xué)對人類三次產(chǎn)業(yè)革命的影響。
答:數(shù)學(xué)發(fā)展與社會進(jìn)步互相促進(jìn)，數(shù)學(xué)對社會進(jìn)步產(chǎn)生了深刻影響，包括物質(zhì)文明和精神文明。英國瓦特發(fā)明蒸汽機以此為代表的第一次產(chǎn)業(yè)革命中，利用微積分研制出了計算機；以發(fā)動機、電動機和電氣通信為標(biāo)志的第二次產(chǎn)業(yè)革命以數(shù)學(xué)分析和場論為基礎(chǔ)建立了電磁理論；以電子計算機、原子能、空間技術(shù)為標(biāo)志的第三次產(chǎn)業(yè)革命根據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個分支發(fā)現(xiàn)了智能公式和控制論。數(shù)學(xué)中的探索精神對精神文明產(chǎn)生深刻影響。天文學(xué)上利用微積分的知識發(fā)現(xiàn)了海王星。相對時空論中用到了非歐幾何。2.簡述菲爾茲獎與沃爾夫獎。
答：菲爾茲獎是由加拿大數(shù)學(xué)家菲爾茲倡議設(shè)立，由國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟評選，在國際數(shù)學(xué)大會（每四年）頒發(fā)，發(fā)給40歲以下的年輕人，素有數(shù)學(xué)諾貝爾獎之稱，聲譽高但獎金少。沃爾夫獎是猶太工業(yè)家沃爾夫捐巨資成立沃爾夫基金會，設(shè)立包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的五種科學(xué)獎，由著名數(shù)學(xué)家組成的評選委員會評選，每年頒發(fā)一次，不限年齡，但已獲獎的人多為60歲以上者，獎金數(shù)額高1.簡述西方數(shù)學(xué)在中國傳播的兩次高潮。答：西方數(shù)學(xué)在中國傳播出現(xiàn)過兩次高潮。
第一次高潮的時間是17世紀(jì)至19世紀(jì)初，是以1606年徐光啟譯幾何《原本》前6卷為標(biāo)志的，主要內(nèi)容是初等數(shù)學(xué)包括三角學(xué)、透視學(xué)和代數(shù)學(xué)。
19世紀(jì)中葉開始西方數(shù)學(xué)在中國的早期傳播出現(xiàn)第二次高潮，以初等數(shù)學(xué)、解析幾何、微積分、無窮級數(shù)和概率論等為主要內(nèi)容，其標(biāo)志是1859年出版的《代數(shù)積拾級》和1880年出版的《決疑數(shù)學(xué)》。2.簡述中國數(shù)學(xué)會的建立過程。
答：中小學(xué)數(shù)學(xué)團體在辛亥革命后就已出現(xiàn)并且有好幾處，以1929年在北京建立的《中國數(shù)學(xué)會》為標(biāo)志。中國數(shù)學(xué)會于1934年開始籌備，1935年7月25日在上海正式成立，會議主要議程是交流論文、選舉理事和通過章程等，其中出席會議的有33人。
中國數(shù)學(xué)會成立后1936年就出版了兩本刊物，一本是《中國數(shù)學(xué)會報》后來發(fā)展成為現(xiàn)代的《數(shù)學(xué)學(xué)報》，另一本是《中國數(shù)學(xué)雜志》發(fā)展成為現(xiàn)代的《數(shù)學(xué)通報》。
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1.簡述數(shù)學(xué)史的定義及數(shù)學(xué)史課程的內(nèi)容。
答：數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展及其與社會政治經(jīng)濟和一般文化的聯(lián)系。數(shù)學(xué)史課程的功能可以概括成以下四部分:
（1）掌握歷史知識：通過學(xué)習(xí)關(guān)于數(shù)學(xué)的專門知識，更好的從整體上把握數(shù)學(xué)。（2）復(fù)習(xí)已有知識：按學(xué)科講述學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，系統(tǒng)的提高對該學(xué)科的理解。（3）了解新的知識：通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)各學(xué)科的發(fā)展，了解沒有學(xué)過的學(xué)科的內(nèi)容。（4）受到思想教育：通過了解數(shù)學(xué)家為數(shù)學(xué)而奮斗的高尚品質(zhì)，陶冶數(shù)學(xué)情操。2.簡述數(shù)學(xué)內(nèi)涵的歷史發(fā)展。
答：數(shù)學(xué)的內(nèi)涵隨時代的變化而變化，一般可分為四個階段。A數(shù)學(xué)是量的科學(xué)：公元前4世紀(jì)。
B數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué);19世紀(jì)。C數(shù)學(xué)研究各種量之間的關(guān)系與聯(lián)系：20世紀(jì)50年代。D數(shù)學(xué)是作為模式的科學(xué)：20世紀(jì)80年代。1.簡述河谷文明及其數(shù)學(xué)。
答：歷史學(xué)家往往把四大文明古國的文明稱之為“河谷文明”，因為這些國家是在河流的入�？诮⒌摹Ｄ崃_河孕育了埃及文明；底格里斯河、幼發(fā)拉底河孕育了巴比倫文明；黃河和長江孕育了中國文明；印度河和恒河孕育了印度文明。埃及、美索不達(dá)米亞的數(shù)學(xué)產(chǎn)生較早，紀(jì)元前已經(jīng)衰微，而印度、中國的數(shù)學(xué)崛起較晚，卻延續(xù)至中世紀(jì)。
2.簡述紙草書與泥板文書中的數(shù)學(xué)。
答：古埃及人在一種紙莎草壓制成的葉片上書寫，幸存至今，被稱為紙草書。萊茵德紙草書（現(xiàn)存于倫敦大英博物館）中有84個數(shù)學(xué)題目；莫斯科紙草書（現(xiàn)存于俄國普希金精細(xì)藝術(shù)博物館）中有25個數(shù)學(xué)題目；還有其他紙草書。
紙草書中的數(shù)學(xué)知識包括：（1）算術(shù)，包括加法運算、單位分?jǐn)?shù)、十進(jìn)制計數(shù)、位置法；（2）幾何，包括面積、體積計算和四棱臺體積公式。
美索不達(dá)米亞人用尖蘆管在濕泥板上寫字，然后將濕泥板曬干或烘干，幸存至今，被稱之為泥板文書。出土50萬塊其中數(shù)學(xué)文獻(xiàn)300塊。
泥板文書中的數(shù)學(xué)包括：（1）記數(shù)，包括形文、60制、位值原理；（2）程序化算法，包括1.414213；(3)數(shù)表；(4)xpxq=0,x=a,X+X=a(5)
幾何，測量、面積、體積公式、相似形、勾股數(shù)值。代數(shù)學(xué)。1.簡述幾何三大問題及歷史發(fā)展。
答：用圓規(guī)和沒有刻度的直尺完成作圖（稱為尺規(guī)作圖）；（1）畫圓為方：作一個與給定圓面積相等的正方形；
（2）倍立方體：求作一個正方體，使其體積等于已知正方體體積的兩倍；（3）三等分角：分任意角為三等份角。
歷史發(fā)展：從古代希臘開始，人們對三大問題做了不斷的探索但沒有解決；直到19世紀(jì)人們才能用代數(shù)學(xué)等的知識徹底解決了；徹底解決證明是不可能的，有的人不了解歷史有時仍然盲目的研究它。2.簡述歐幾里得的幾何《原本》。
答：歐幾里德集古代希臘論證數(shù)學(xué)之大成，寫成第一部典范的數(shù)學(xué)著作幾何《原本》。
前六卷相當(dāng)于幾何內(nèi)容。第1卷首先用23個定義給出了點、錢、面、圓以及平行線等原始概念，接著提出了5個公社和5個公理，第2卷主要討論幾何代數(shù)，第3卷是與圓有關(guān)的一些問題，包括圓、弦、割線、切線以及圓心角和圓周角的一些熟知的定理，第4卷在引入了圓的內(nèi)接和外切圓形的概念以后，討論了給定圓的某些內(nèi)接和外切正多邊形的尺規(guī)作圖問題，第5卷討論了有關(guān)量的比例理論，第6卷主要是將激勵理論應(yīng)用于平面幾何，其中包括相似三角形等。第7、8、9卷主要研究初等數(shù)論。第10卷討論無理數(shù)。后3卷是立體幾何的內(nèi)容.1.簡述割圓術(shù)及中國古代數(shù)學(xué)家所計算的圓周率。
答：（1）割圓術(shù)的要旨：就是用圓內(nèi)接正多邊形去逼近圓“割之彌細(xì)，所之彌少“。用圓內(nèi)接正多邊形的周長與面積近似作為圓的周長與面積。
2）劉徽計算到正192邊形，得到圓周率約為3.14，以分?jǐn)?shù)157/50近似代替圓周率，稱之為徽率。祖沖之計算的圓周率3.1415926建立了“正流數(shù)術(shù)”；1666年5月牛頓創(chuàng)立了“反流數(shù)術(shù)”；1666年10月牛頓寫了總結(jié)性論文《流數(shù)簡論》。牛頓繼續(xù)研究流數(shù)術(shù)相繼完成了三篇論文《分析學(xué)》、《流數(shù)法》、《求積術(shù)》，并且以極限法作為微積分的基礎(chǔ)，牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中最早公開表述微積分學(xué)說。
萊布尼茲從幾何問題出發(fā)，發(fā)現(xiàn)了求曲線的切線與面積的互逆關(guān)系。1684年他發(fā)表了《一種求極大與極小值和求切線的新方法》，1686年他發(fā)表了《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》。1.簡述微積分的發(fā)展。
答:大不列顛以泰勒、麥克勞斯、棣莫弗、斯特林繼承和發(fā)展了牛頓創(chuàng)立的微積分；歐洲大陸以伯努利家族、歐拉、達(dá)朗貝爾、拉格朗日為代表繼承和發(fā)展了萊布尼茨創(chuàng)立的微積分。微積分的發(fā)展分為5個方面：
（1）積分技術(shù)與橢圓積分：包括變量替換、部分分式積分，橢圓積分；（2）微積分向多元函數(shù)的推廣：包括偏導(dǎo)數(shù)和多重積分；（3）無窮級數(shù)理論：包括收斂性、調(diào)和級數(shù)、判別法；（4）函數(shù)概念的深化；
（5）微積分嚴(yán)格化的嘗試：其中主要著作有達(dá)朗貝爾的《科學(xué)、藝術(shù)和工藝百科全書》，拉格朗日的《解析函數(shù)論》。代表學(xué)科：分析學(xué)和分析。2.簡述分析學(xué)在18世紀(jì)的新分支。答：分析學(xué)在18世紀(jì)有3個分支：
（一）常微分方程：包括積分因子法，變易系數(shù)法。例如：微分方程，常微分方程。（二）偏微分方程（又稱數(shù)學(xué)物理方程）
這一分支有兩位著名的數(shù)學(xué)家進(jìn)行了研究：其中達(dá)朗貝爾研究弦的振動，得出所滿足的微分方程，并求出某種形式的通解：拉普拉斯研究弦的振動，得出所滿足的偏微分方程（位勢方程），通常稱為拉普拉斯方程。（三）變分法：歐拉對于變分問題給出了一般的處理，得出了變分法的基本方程，常稱為“歐拉方程”。1.簡述伽羅瓦對代數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)。
答：法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦的工作原理是在拉格朗日、高斯、柯西、阿貝爾等人的工作啟發(fā)之下完成的。他在拉格朗日的基礎(chǔ)上提出了“置換群”、“子群”、“正規(guī)子群”、“極大正規(guī)子群”等全新的數(shù)學(xué)概念。伽羅瓦研究根的排列，實際上建立了置換群。1829-1831年，伽羅瓦發(fā)現(xiàn)了代數(shù)方程可用根式解的基本定律伽羅瓦基本定律。判斷根式可解的充要條件。問題轉(zhuǎn)化為域，建立了子域與子群的對應(yīng)關(guān)系，給出了根式可解得充要條件，開辟了代數(shù)學(xué)的新紀(jì)元。2.簡述19世紀(jì)的數(shù)論。
答：高斯1801年著書《算數(shù)研究》對代數(shù)數(shù)論進(jìn)行了總結(jié)并發(fā)長了此數(shù)論。高斯研究了同余理論、復(fù)整數(shù)型的理論，使數(shù)論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，復(fù)整數(shù)理論開辟了代數(shù)理論。庫默爾對代數(shù)數(shù)論作出了重要貢獻(xiàn)。例如：費馬定理的證明，唯一因子分解定理和理想數(shù)理論。1.簡述非歐幾何的產(chǎn)生。
答：研究歐幾里德平行公社由來已久，19世紀(jì)進(jìn)入研究的活躍時期�？死锔駹枌ζ叫泄砟芊裼衅渌硗瞥霰硎緫岩�。蘭伯特通過替代平行公社而展開無矛盾的幾何學(xué)著作《平行線理論》。高斯建立并相信一種邏輯上相容并且可以描述物質(zhì)空間像歐氏幾何一樣正確的幾何學(xué)。Ｊ.波約（匈牙利）著《絕對空間的幾何學(xué)》，給出了非歐幾何。羅巴切夫斯基是俄國數(shù)學(xué)家，他1826年發(fā)表《簡要論述平行線定理的一個嚴(yán)格證明》，1829年完成《論幾何原理》；1835-1838年完成《具有完備的平行線理論的新幾何原理》，1840年完成《平行理論的幾何研究》，他最早發(fā)表并捍衛(wèi)自己的理論，被成為羅巴切夫斯基幾何，簡稱為羅氏幾何。2.克萊茵的愛爾朗根綱領(lǐng)。
答：各國數(shù)學(xué)家克萊茵于1872年在愛爾朗根大學(xué)發(fā)表的數(shù)學(xué)教授就職演說稱之為“愛爾朗根綱領(lǐng)”�！皭蹱柪矢V領(lǐng)”闡述里幾何學(xué)統(tǒng)一的思想：所謂幾何學(xué)，就是研究幾何圖形對某類變換群保持不變性質(zhì)的學(xué)科，或者說，任何一種幾何學(xué)只是研究與特定變換群有關(guān)的不變量，從而，變化群本的任意一種分類也就對應(yīng)于幾何學(xué)的一種分類。1.簡述柯西與魏爾斯特拉斯對分析學(xué)嚴(yán)格化的貢獻(xiàn)。
答：柯西是十九世紀(jì)前半世紀(jì)的法國著名數(shù)學(xué)家。他與1817年出版了《純粹分析證明》一書，又于1821年和1823年分別出版了《分析教程》和《無窮小計數(shù)教程》。他特別是對變量、函數(shù)、極限、無窮小量、連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與微分、積分和級數(shù)的研究做出了突出貢獻(xiàn)。
威爾斯特拉斯創(chuàng)造了一套科學(xué)的語言，重新定義了極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等分析基本概念，引進(jìn)了一致收斂性，分析學(xué)今天的嚴(yán)格形式被確定。1.簡述20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)發(fā)展的主要趨勢。
答：20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)發(fā)展的主要趨勢是更高的抽象性，更強的統(tǒng)一性，更深入的基礎(chǔ)探討。
更高的抽象性：集合論觀點的滲透和公理化的應(yīng)用，使20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)具有更高的抽象性，以實變函數(shù)、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、抽樣代數(shù)具有標(biāo)志性的四大抽象分支為典型證明與代表。
更強的統(tǒng)計性：不同學(xué)科的相互滲透、結(jié)合的趨勢、不同分支領(lǐng)域的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的相互融合。更深入的基礎(chǔ)探討：對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的更深入的探討及由此引起的數(shù)理邏輯的發(fā)展。2.簡述關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大派流。
答：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大流派是邏輯主義、直覺主義、形式主義。
邏輯主義以英國的羅素為代表，認(rèn)為數(shù)學(xué)就是邏輯，全部數(shù)學(xué)可以由邏輯推導(dǎo)出來。
直覺主義以荷蘭的布勞威爾為代表，認(rèn)為數(shù)學(xué)獨立于邏輯，堅持?jǐn)?shù)學(xué)對象的“構(gòu)造性”主義。
形式主義以德國的希爾伯特為代表，試圖將數(shù)學(xué)徹底形式化為一個系統(tǒng)，數(shù)學(xué)語句的公式表達(dá)，用形式的程序表示推理。
1.簡述20世紀(jì)作為應(yīng)用數(shù)學(xué)的新世紀(jì)。答：在20世紀(jì)，數(shù)學(xué)產(chǎn)生了空前廣泛的應(yīng)用。
（1）數(shù)學(xué)的應(yīng)用突破了傳統(tǒng)的范圍，而向人類幾乎所有的知識領(lǐng)域滲透，產(chǎn)生了諸如數(shù)理化學(xué)、數(shù)理經(jīng)濟學(xué)、數(shù)理心理學(xué)等交叉學(xué)科。
（2）純粹數(shù)學(xué)的幾乎所有分支都獲得了應(yīng)用，其中最抽象的一些分支也參與了滲透，例如，數(shù)論在密碼技術(shù)、衛(wèi)星信號傳遞、計算機、量子力學(xué)等學(xué)科中發(fā)揮重要作用。
（3）現(xiàn)代數(shù)學(xué)對生產(chǎn)技術(shù)的應(yīng)用越來越直接，例如，數(shù)值模擬已成為飛行器設(shè)計的有效工具，應(yīng)用于技術(shù)部分以替代耗資巨大的實驗。
（4）現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了一些相對獨立的應(yīng)用學(xué)科，如數(shù)理統(tǒng)計、運籌學(xué)、控制論等。2.簡述計算機對數(shù)學(xué)的影響。答：計算機對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了重要影響。
（1）計算數(shù)學(xué)的興旺計算機，促進(jìn)了各種計算方法的產(chǎn)生，等形計算力學(xué)等數(shù)學(xué)分支。
（2）純粹數(shù)學(xué)研究與計算機，用計算機解決了重大大數(shù)學(xué)問題，如證明四色定理，計算機依無可比比擬的計算速度和圖像顯示動能，幫助數(shù)學(xué)家猜測新的事實，發(fā)現(xiàn)新的定理，如孤立子、混沌等。
（3）計算機科學(xué)中的數(shù)學(xué)，計算機呼喚新的數(shù)學(xué)思想，如組合數(shù)學(xué)、模糊數(shù)學(xué)、機器證明等，隨著計算機科學(xué)的發(fā)展而進(jìn)一步發(fā)展。1.簡述四色定理的證明過程。
答：四色問題也稱為四色猜想或四色定理：為了給任意一張地圖著色，使有公共邊界的任何區(qū)域顏色不同，至多需要四種顏色。
1852年，英國大學(xué)生古德里首先提出，1878年法國數(shù)學(xué)家凱萊的文章《論地圖著色》掀起了一場四色問題熱，1879年英國肯波引入“不可避免集”與“可約性”兩個關(guān)鍵概念，1900年希伍德證明五色定理，1969年德國希斯找到解決問題的“放電算法”。
1976年6月，美國哈肯與阿佩爾借助計算機最終給與證明，計算機時間1200小時，計算機程序先后修改了500多次。
2.簡述有限單群分類定理的證明過程。
答：如同數(shù)論中的素數(shù)，物理學(xué)中的基本粒子，單群是群論的基本構(gòu)件，認(rèn)識有限群轉(zhuǎn)化為認(rèn)識有限單群。有限單群分類定理：有限單群包括十八個正規(guī)無限族（成族出現(xiàn)的群）和26個散在單群（單獨出現(xiàn)的群），再沒有其他的有限單群了。1954年布饒爾的對合中心化子定理成為單群分類工作的新起點。1962年費特和湯普遜證明了：所有非交換單群都是偶數(shù)個元素的群，1972年弋倫斯坦提出解決分類問題的16步綱領(lǐng)，發(fā)起最后攻堅戰(zhàn)，1980年格里斯找到最后一個散在單群“大魔”，宣告分類定理證明結(jié)束。1.簡述數(shù)學(xué)對人類三次產(chǎn)業(yè)革命的影響。
答:數(shù)學(xué)發(fā)展與社會進(jìn)步互相促進(jìn)，數(shù)學(xué)對社會進(jìn)步產(chǎn)生了深刻影響，包括物質(zhì)文明和精神文明。英國瓦特發(fā)明蒸汽機以此為代表的第一次產(chǎn)業(yè)革命中，利用微積分研制出了計算機；以發(fā)動機、電動機和電氣通信為標(biāo)志的第二次產(chǎn)業(yè)革命以數(shù)學(xué)分析和場論為基礎(chǔ)建立了電磁理論；以電子計算機、原子能、空間技術(shù)為標(biāo)志的第三次產(chǎn)業(yè)革命根據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個分支發(fā)現(xiàn)了智能公式和控制論。數(shù)學(xué)中的探索精神對精神文明產(chǎn)生深刻影響。天文學(xué)上利用微積分的知識發(fā)現(xiàn)了海王星。相對時空論中用到了非歐幾何。2.簡述菲爾茲獎與沃爾夫獎。
答：菲爾茲獎是由加拿大數(shù)學(xué)家菲爾茲倡議設(shè)立，由國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟評選，在國際數(shù)學(xué)大會（每四年）頒發(fā)，發(fā)給40歲以下的年輕人，素有數(shù)學(xué)諾貝爾獎之稱，聲譽高但獎金少。沃爾夫獎是猶太工業(yè)家沃爾夫捐巨資成立沃爾夫基金會，設(shè)立包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的五種科學(xué)獎，由著名數(shù)學(xué)家組成的評選委員會評選，每年頒發(fā)一次，不限年齡，但已獲獎的人多為60歲以上者，獎金數(shù)額高1.簡述西方數(shù)學(xué)在中國傳播的兩次高潮。答：西方數(shù)學(xué)在中國傳播出現(xiàn)過兩次高潮。
第一次高潮的時間是17世紀(jì)至19世紀(jì)初，是以1606年徐光啟譯幾何《原本》前6卷為標(biāo)志的，主要內(nèi)容是初等數(shù)學(xué)包括三角學(xué)、透視學(xué)和代數(shù)學(xué)。
19世紀(jì)中葉開始西方數(shù)學(xué)在中國的早期傳播出現(xiàn)第二次高潮，以初等數(shù)學(xué)、解析幾何、微積分、無窮級數(shù)和概率論等為主要內(nèi)容，其標(biāo)志是1859年出版的《代數(shù)積拾級》和1880年出版的《決疑數(shù)學(xué)》。2.簡述中國數(shù)學(xué)會的建立過程。
答：中小學(xué)數(shù)學(xué)團體在辛亥革命后就已出現(xiàn)并且有好幾處，以1929年在北京建立的《中國數(shù)學(xué)會》為標(biāo)志。中國數(shù)學(xué)會于1934年開始籌備，1935年7月25日在上海正式成立，會議主要議程是交流論文、選舉理事和通過章程等，其中出席會議的有33人。
中國數(shù)學(xué)會成立后1936年就出版了兩本刊物，一本是《中國數(shù)學(xué)會報》后來發(fā)展成為現(xiàn)代的《數(shù)學(xué)學(xué)報》，另一本是《中國數(shù)學(xué)雜志》發(fā)展成為現(xiàn)代的《數(shù)學(xué)通報》。
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