一次函數知識歸納總結

一次函數知識歸納總結一一次函數和正比例函數的概念

若兩個變量x，y間的關系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量），特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次函數，y=x，y=-x都是正比例函數.

【說明】（1）一次函數的自變量的取值范圍是一切實數，但在實際問題中要根據函數的實際意義來確定.

（2）一次函數y=kx+b（k，b為常數，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數為1，自變量x的系數k必須是不為零的常數，b可為任意常數.（3）當b=0，k≠0時，y=kx仍是一次函數.（4）當b=0，k=0時，它不是一次函數.

二正比例函數y=kx（k≠0）的圖象與性質：（1）正比例函數y=kx的圖象是經過原點的一條直線；畫正比例函數y=kx的圖象時，只要描出點（0，0），（1，k）即可.

（2）增減性①當k＞0時，圖象經過第一、三象限,y隨x的增大而增大；②當k＜0時，圖象經過第二、四象限,y隨x的增大而減小．三一次函數的圖象與性質：（1）由于一次函數y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的圖象是一條直線，所以一次函數y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b．由于兩點確定一條直線，因此在今后作一次函數圖象時，只要描出適合關系式的兩點，再連成直線即可，一般選取兩個特

b殊點：直線與y軸的交點（0，b），直線與x軸的交點（，0）.

k但也不必一定選取這兩個特殊點.

（2）增減性①k＞0時，y的值隨x值的增大而增大；②k0時，y的值隨x值的增大而減�。�（3）b的正、負決定直線與y軸交點的位置；①當b＞0時，直線與y軸交于正半軸上；②當b＜0時，直線與y軸交于負半軸上；③當b=0時，直線經過原點，是正比例函數．

（4）由于k，b的符號不同，直線所經過的象限也不同；

①當k＞0，b＞0時，直線經過第一、二、三象限（直線不經過第四象限）；

②當k＞0，b0時，直線經過第一、三、四象限（直線不經過第二象限）；

③當k0，b＞0時，直線經過第一、二、四象限（直線不經過第三象限）；

④當k0，b0時，直線經過第二、三、四象限（直線不經過第一象限）．

（5）一次函數y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的圖象與正比例函數y=kx（k≠0）的圖象之間的關系：直線y=kx+b可以看成直線y=kx上下平移b個單位得到的，當b0時，向上平移，當b0時，向下平移．例如：直線y=x＋1可以看作是正比例函數y=x向上平移一個單位得到的．直線y=x-1可以看作是正比例函數y=x向下平移一個單

位得到的．

四點P（x0，y0）與直線y=kx+b的圖象的關系

（1）如果點P（x0，y0）在直線y=kx+b的圖象上，那么x0，y0的值必滿足解析式y=kx+b；

（2）如果x0，y0是滿足函數解析式的一對對應值，那么以x0，y0為坐標的點P（x0，y0）必在函數的圖象上．

例如：點P（1，2）滿足直線y=x+1，即x=1時，y=2，則點P（1，2）在直線y=x+l的圖象上；點P′（2，1）不滿足解析式y=x+1，因為當x=2時，y=3，所以點P′（2，1）不在直線y=x+l的圖象上．五正比例函數及一次函數表達式的確定：若題目中明確告訴兩個變量之間是一次函數的關系（或圖像是直線）就用待定系數法，有的應用題則需根據題意列出。

先設待求函數關系式（其中含有未知常數系數），再根據條件列出方程（或方程組），求出未知系數，從而得到所求結果的方法，叫做待定系數法．其中未知系數也叫待定系數．例如：函數y=kx+b中，k，b就是待定系數．

(1)確定正比例函數及一次函數表達式的條件:

①由于正比例函數y=kx（k≠0）中只有一個待定系數k，故只需一個條件（如一對x，y的值或一個點的坐標）就可求得k的值．②由于一次函數y=kx+b（k≠0）中有兩個待定系數k，b，需要兩個獨立的條件確定兩個關于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個條件通常是兩個點的坐標或兩對x，y的值．

（2）用待定系數法確定一次函數表達式的一般步驟

①設：根據題中要求的函數“設”關系式y=kx+b，（其中k，b是未知的常量，且k≠0）；

②代：將已知點的坐標或x，y的對應值代入函數表達式，得到方程（組），

③求：解這個方程（或方程組），求出待定系數k，b；

④寫：寫出函數關系式（把求得的k，b的值代回到“設”的關系式y=kx+b中）.

例如：已知一次函數的圖象經過點（2，1）和（-1，-3）求此一次函數的關系式．

解：設一次函數的關系式為y＝kx+b（k≠0），

4k2kb13由題意可知，kb3解得5b345∴此函數的關系式為yx．

33六思想方法小結（1）函數方法．函數方法就是用運動、變化的觀點來分析題中的數量關系，抽象、升華為函數的模型，進而解決有關問題的方法．函數的實質是研究兩個變量之間的對應關系，靈活運用函數方法可以解決許多數學問題．

（2）數形結合法．數形結合法是指將數與形結合，分析、研究、解決問題的一種思想方法，數形結合法在解決與函數有關的問題時，能起到事半功倍的作用．

擴展閱讀：初中數學一次函數知識點總結

一次函數知識點總結:

一次函數：一次函數圖像與性質是中考必考的內容之一。中考試題中分值約為10分左右題型多樣，形式靈活，綜合應用性強。甚至有存在探究題目出現。主要考察內容：①會畫一次函數的圖像，并掌握其性質。②會根據已知條件，利用待定系數法確定一次函數的解析式。③能用一次函數解決實際問題。④考察一ic函數與二元一次方程組，一元一次不等式的關系。突破方法：①正確理解掌握一次函數的概念，圖像和性質。②運用數學結合的思想解與一次函數圖像有關的問題。③掌握用待定系數法球一次函數解析式。④做一些綜合題的訓練，提高分析問題的能力。

函數性質：

1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k.即：y=kx+b（k，b為常數，k≠0），∵當x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。

2.當x=0時，b為函數在y軸上的點,坐標為(0，b)。

3當b=0時(即y=kx)，一次函數圖像變?yōu)檎�比例函數，正比例函數是特殊的一次函數�?/p>

4.在兩個一次函數表達式中：

當兩一次函數表達式中的k相同，b也相同時，兩一次函數圖像重合；當兩一次函數表達式中的k相同，b不相同時，兩一次函數圖像平行；當兩一次函數表達式中的k不相同，b不相同時，兩一次函數圖像相交；當兩一次函數表達式中的k不相同，b相同時，兩一次函數圖像交于y軸上的同一點（0，b）。若兩個變量x,y間的關系式可以表示成Y=KX+b(k,b為常數，k不等于0）則稱y是x的一次函數圖像性質

1．作法與圖形：通過如下3個步驟：（1）列表.

（2）描點；[一般取兩個點,根據“兩點確定一條直線”的道理，也可叫“兩點法”。一般的y=kx+b(k≠0）的圖象過（0，b）和（-b/k，0）兩點畫直線即可。

正比例函數y=kx(k≠0）的圖象是過坐標原點的一條直線，一般取（0,0）和（1，k）兩點。（3）連線，可以作出一次函數的圖象一條直線。因此，作一次函數的圖象只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數圖象與x軸和y軸的交點分別是-k分之b與0，0與b）.

2．性質：

（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數的圖像都是過原點。

3．函數不是數，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關系。

4．k，b與函數圖像所在象限：

y=kx時（即b等于0，y與x成正比例)：

當k>0時，直線必通過第一、三象限，y隨x的增大而增大；當k0,b>0,這時此函數的圖象經過第一、二、三象限；當k>0,b

中考要求

1．經歷函數、一次函數等概念的抽象概括過程，體會函數及變量思想，進一步發(fā)展抽象思維能力；經歷一次函

數的圖象及其性質的探索過程，在合作與交流活動中發(fā)展合作意識和能力．

2．經歷利用一次函數及其圖象解決實際問題的過程，發(fā)展數學應用能力；經歷函數圖象信息的識別與應用過程，發(fā)展形象思維能力．

3．初步理解一次函數的概念；理解一次函數及其圖象的有關性質；初步體會方程和函數的關系．

4．能根據所給信息確定一次函數表達式；會作一次函數的圖象，并利用它們解決簡單的實際問題.中考熱點

一次函數知識是每年中考的重點知識，是每卷必考的主要內容．本知識點主要考查一次函數的圖象、性質及應用，這些知識能考查考生綜合能力、解決實際問題的能力．因此，一次函數的實際應用是中考的熱點，和幾何、方程所組成的綜合題是中考的熱點問題.中考命題趨勢及復習對策

一次函數是數學中重要內容之一，題量約占全部試題的5％～10％，分值約占總分的5％～

10％，題型既有低檔的填空題和選擇題，又有中檔的解答題，更有大量的綜合題，近幾年中考試卷中還出現了設計新穎、貼近生活、反映時代特征的閱讀理解題、開放探索題、函數應用題，這部分試題包括了初中代數的所有數學思想和方法，全面地考查計算能力，邏輯思維能力、空間想象能力和創(chuàng)造能力．

針對中考命題趨勢，在復習時應先理解一次函數概念．掌握其性質和圖象，而且還要注重一次函數實際應用的練習．

復習要點

一次函數的圖象和性質

正比例函數的圖象和性質

考點講析

1．一次函數的意義及其圖象和性質

⑴．一次函數：若兩個變量x、y間的關系式可以表示成y=kx＋b(k、b為常數，k≠0）的形式，則稱y是x的一

次函數(x是自變量,y是因變量〕特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數．

⑵．一次函數的圖象：一次函數y=kx+b的圖象是經過點(0，b),(－，0）的一條直線，正比例函數y=kx的圖

象是經過原點(0，0）的一條直線，如下表所示．

⑶．一次函數的性質：y=kx＋b(k、b為常數，k≠0）當k＞0時，y的值隨x的值增大而增大；當k＜0時，y的值隨x值的增大而減�。�

⑷．直線y=kx＋b(k、b為常數，k≠0）時在坐標平面內的位置與k在的關系．①②③④

直線經過第一、二、三象限（直線不經過第四象限）；直線經過第一、三、四象限（直線不經過第二象限）；直線經過第一、二、四象限（直線不經過第三象限）；直線經過第二、三、四象限（直線不經過第一象限）；

2．一次函數表達式的求法

⑴．待定系數法：先設出式子中的未知系數，再根據條件列議程或議程組求出未知系數，從而寫出這個式子的方法，叫做待定系數法，其中的未知系數也稱為待定系數。

⑵．用待定系數法求出函數表殼式的一般步驟：⑴寫出函數表達式的一般形式；⑵把已知條件(自變量與函數的對應值)公共秩序函數表達式中，得到關于待定系數的議程或議程組；⑶解方程(組)求出待定系數的值，從而寫出函數的表達式。

⑶．一次函數表達式的求法：確定一次函數表達式常用待定系數法，其中確定正比例函數表達式，只需一對x與y的值，確定一次函數表達式，需要兩對x與y的值。

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