一次函數(shù)知識總結歸納

思想方法小結

（1）函數(shù)方法．函數(shù)方法就是用運動、變化的觀點來分析題中的數(shù)量關系，抽象、升華為函數(shù)的模型，進而解決有關問題的方法．函數(shù)的實質是研究兩個變量之間的對應關系，靈活運用函數(shù)方法可以解決許多數(shù)學問題．

（2）數(shù)形結合法．

數(shù)形結合法是指將數(shù)與形結合，分析、研究、解決問題的一種思想方法，數(shù)形結合法在解決與函數(shù)有關的問題時，能起到事半功倍的作用．

知識點1一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念

若兩個變量x，y間的關系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量），特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數(shù).例如：y=2x+3，y=-x+2，y=

11x等都是一次函數(shù)，y=x，y=-x22都是正比例函數(shù).

【說明】

（1）一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實數(shù)，但在實際問題中要根據(jù)函數(shù)的實際意義來確定.

（2）一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數(shù)為1，一次項系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為任意常數(shù).（3）當b=0，k≠0時，y=kx仍是一次函數(shù).（4）當b=0，k=0時，它不是一次函數(shù).

知識點2函數(shù)的圖象

把一個函數(shù)的自變量x與所對應的y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象．畫函數(shù)圖象一般分為三步：列表、描點、連線．

知識點3一次函數(shù)的圖象

由于一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b．由于兩點確定一條直線，因此在今后作一次函數(shù)圖象時，只要描出適合關系式的兩點，再連成直線即可，一般選取兩個特殊點：直線與y軸的交點（0，b），直線與x軸的交點（-

b，0）.但也不必一定選取這兩個特殊點.畫正比k例函數(shù)y=kx的圖象時，只要描出點（0，0），（1，k）即可.

知識點4一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的性質

（1）k的正負決定直線的傾斜方向；

①k＞0時，y的值隨x值的增大而增大；②kO時，y的值隨x值的增大而減�。�（2）|k|大小決定直線的傾斜程度，即

|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越大（直線陡），|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越�。ㄖ本�緩）；（3）b的正、負決定直線與y軸交點的位置；①當b＞0時，直線與y軸交于正半軸上；②當b＜0時，直線與y軸交于負半軸上；③當b=0時，直線經(jīng)過原點，是正比例函數(shù)．

（4）由于k，b的符號不同，直線所經(jīng)過的象限也不同；

①如圖11－18（l）所示，當k＞0，b＞0時，直線經(jīng)過第一、二、三象限（直線不經(jīng)過第四象限）；②如圖11－18（2）所示，當k＞0，bO時，直線經(jīng)過第一、三、四象限（直線不經(jīng)過第二象限）；③如圖11－18（3）所示，當kO，b＞0時，直線經(jīng)過第一、二、四象限（直線不經(jīng)過第三象限）；④如圖11－18（4）所示，當kO，bO時，直線經(jīng)過第二、三、四象限（直線不經(jīng)過第一象限）．（5）由于|k|決定直線與x軸相交的銳角的大小，k相同，說明這兩個銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的．另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線y=x＋1可以看作是正比例函數(shù)y=x向上平移一個單位得到的．

知識點5正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的性質

（1）正比例函數(shù)y=kx的圖象必經(jīng)過原點；

（2）當k＞0時，圖象經(jīng)過第一、三象限,y隨x的增大而增大；（3）當k＜0時，圖象經(jīng)過第二、四象限,y隨x的增大而減小．

知識點6點P（x0，y0）與直線y=kx+b的圖象的關系

（1）如果點P（x0，y0）在直線y=kx+b的圖象上，那么x0,y0的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b；

（2）如果x0，y0是滿足函數(shù)解析式的一對對應值，那么以x0，y0為坐標的點P（1，2）必在函數(shù)的圖象上．例如：點P（1，2）滿足直線y=x+1，即x=1時，y=2，則點P（1，2）在直線y=x+l的圖象上；

點P′（2，1）不滿足解析式y(tǒng)=x+1，因為當x=2時，y=3，所以點P′（2，1）不在直線y=x+l的圖象上．

知識點7確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達式的條件

（1）由于正比例函數(shù)y=kx（k≠0）中只有一個待定系數(shù)k，故只需一個條件（如一對x，y的值或一個點）就可求得k的值．

（2）由于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中有兩個待定系數(shù)k，b，需要兩個獨立的條件確定兩個關于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個條件通常是兩個點或兩對x，y的值．

知識點8待定系數(shù)法

先設待求函數(shù)關系式（其中含有未知常數(shù)系數(shù)），再根據(jù)條件列出方程（或方程組），求出未知系數(shù)，從而得到所求結果的方法，叫做待定系數(shù)法．其中未知系數(shù)也叫待定系數(shù)．例如：函數(shù)y=kx+b中，k，b就是待定系數(shù)．

知識點8用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達式的一般步驟

（1）設函數(shù)表達式為y=kx+b；

（2）將已知點的坐標代入函數(shù)表達式，解方程（組）；（3）求出k與b的值，得到函數(shù)表達式．

知識點9x=a和y=b的圖象

x=a的圖象是經(jīng)過點（a，0）且垂直于x軸的一條直線；y=b的圖象是經(jīng)過點（0，b）且垂直于y軸的一條直線。

知識點10由一次函數(shù)圖像確定x和y的范圍

（1）當x>a（或xb（或y

知識點11由圖象確定兩個一次函數(shù)函數(shù)值的大小

知識規(guī)律（技巧）小結

（1）常數(shù)k，b對直線y=kx+b(k≠0）位置的影響．

①當b＞0時，直線與y軸的正半軸相交；當b=0時，直線經(jīng)過原點；

當b0時，直線與y軸的負半軸相交．

②當k，b異號時，即-bk＞0時，直線與x軸正半軸相交；當b=0時，即-

bk=0時，直線經(jīng)過原點；當k，b同號時，即-bk0時，直線與x軸負半軸相交．

③當k＞O，b＞O時，圖象經(jīng)過第一、二、三象限；當k＞0，b=0時，圖象經(jīng)過第一、三象限；

當b＞O，b＜O時，圖象經(jīng)過第一、三、四象限；當kO，b＞0時，圖象經(jīng)過第一、二、四象限；當kO，b=0時，圖象經(jīng)過第二、四象限；

當b＜O，b＜O時，圖象經(jīng)過第二、三、四象限．（2）直線y=kx+b（k≠0）與直線y=kx(k≠0)的位置關系．

直線y=kx+b(k≠0)平行于直線y=kx(k≠0)

當b＞0時，把直線y=kx向上平移b個單位，可得直線y=kx+b；當bO時，把直線y=kx向下平移|b|個單位，可得直線y=kx+b．（3）直線b1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置關系．

①k1≠k2y1與y2相交；

②k1k2y1與y2相交于y軸上同一點（0，b1）或（0，b2）；

bb21k1k2,③y1與y2平行；

bb21④

k1k2,y1與y2重合.

b1b

擴展閱讀：初中數(shù)學一次函數(shù)知識點總結

一次函數(shù)知識點總結:

一次函數(shù)：一次函數(shù)圖像與性質是中考必考的內容之一。中考試題中分值約為10分左右題型多樣，形式靈活，綜合應用性強。甚至有存在探究題目出現(xiàn)。主要考察內容：①會畫一次函數(shù)的圖像，并掌握其性質。②會根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式。③能用一次函數(shù)解決實際問題。④考察一ic函數(shù)與二元一次方程組，一元一次不等式的關系。突破方法：①正確理解掌握一次函數(shù)的概念，圖像和性質。②運用數(shù)學結合的思想解與一次函數(shù)圖像有關的問題。③掌握用待定系數(shù)法球一次函數(shù)解析式。④做一些綜合題的訓練，提高分析問題的能力。

函數(shù)性質：

1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k.即：y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0），∵當x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。

2.當x=0時，b為函數(shù)在y軸上的點,坐標為(0，b)。

3當b=0時(即y=kx)，一次函數(shù)圖像變?yōu)檎�比例函�?shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。

4.在兩個一次函數(shù)表達式中：

當兩一次函數(shù)表達式中的k相同，b也相同時，兩一次函數(shù)圖像重合；當兩一次函數(shù)表達式中的k相同，b不相同時，兩一次函數(shù)圖像平行；當兩一次函數(shù)表達式中的k不相同，b不相同時，兩一次函數(shù)圖像相交；當兩一次函數(shù)表達式中的k不相同，b相同時，兩一次函數(shù)圖像交于y軸上的同一點（0，b）。若兩個變量x,y間的關系式可以表示成Y=KX+b(k,b為常數(shù)，k不等于0）則稱y是x的一次函數(shù)圖像性質

1．作法與圖形：通過如下3個步驟：（1）列表.

（2）描點；[一般取兩個點,根據(jù)“兩點確定一條直線”的道理，也可叫“兩點法”。一般的y=kx+b(k≠0）的圖象過（0，b）和（-b/k，0）兩點畫直線即可。

正比例函數(shù)y=kx(k≠0）的圖象是過坐標原點的一條直線，一般�。�0,0）和（1，k）兩點。（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖象一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖象只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖象與x軸和y軸的交點分別是-k分之b與0，0與b）.

2．性質：

（1）在一次函數(shù)上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函數(shù)與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像都是過原點。

3．函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關系。

4．k，b與函數(shù)圖像所在象限：

y=kx時（即b等于0，y與x成正比例)：

當k>0時，直線必通過第一、三象限，y隨x的增大而增大；當k0,b>0,這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限；當k>0,b

中考要求

1．經(jīng)歷函數(shù)、一次函數(shù)等概念的抽象概括過程，體會函數(shù)及變量思想，進一步發(fā)展抽象思維能力；經(jīng)歷一次函

數(shù)的圖象及其性質的探索過程，在合作與交流活動中發(fā)展合作意識和能力．

2．經(jīng)歷利用一次函數(shù)及其圖象解決實際問題的過程，發(fā)展數(shù)學應用能力；經(jīng)歷函數(shù)圖象信息的識別與應用過程，發(fā)展形象思維能力．

3．初步理解一次函數(shù)的概念；理解一次函數(shù)及其圖象的有關性質；初步體會方程和函數(shù)的關系．

4．能根據(jù)所給信息確定一次函數(shù)表達式；會作一次函數(shù)的圖象，并利用它們解決簡單的實際問題.中考熱點

一次函數(shù)知識是每年中考的重點知識，是每卷必考的主要內容．本知識點主要考查一次函數(shù)的圖象、性質及應用，這些知識能考查考生綜合能力、解決實際問題的能力．因此，一次函數(shù)的實際應用是中考的熱點，和幾何、方程所組成的綜合題是中考的熱點問題.中考命題趨勢及復習對策

一次函數(shù)是數(shù)學中重要內容之一，題量約占全部試題的5％～10％，分值約占總分的5％～

10％，題型既有低檔的填空題和選擇題，又有中檔的解答題，更有大量的綜合題，近幾年中考試卷中還出現(xiàn)了設計新穎、貼近生活、反映時代特征的閱讀理解題、開放探索題、函數(shù)應用題，這部分試題包括了初中代數(shù)的所有數(shù)學思想和方法，全面地考查計算能力，邏輯思維能力、空間想象能力和創(chuàng)造能力．

針對中考命題趨勢，在復習時應先理解一次函數(shù)概念．掌握其性質和圖象，而且還要注重一次函數(shù)實際應用的練習．

復習要點

一次函數(shù)的圖象和性質

正比例函數(shù)的圖象和性質

考點講析

1．一次函數(shù)的意義及其圖象和性質

⑴．一次函數(shù)：若兩個變量x、y間的關系式可以表示成y=kx＋b(k、b為常數(shù)，k≠0）的形式，則稱y是x的一

次函數(shù)(x是自變量,y是因變量〕特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數(shù)．

⑵．一次函數(shù)的圖象：一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過點(0，b),(－，0）的一條直線，正比例函數(shù)y=kx的圖

象是經(jīng)過原點(0，0）的一條直線，如下表所示．

⑶．一次函數(shù)的性質：y=kx＋b(k、b為常數(shù)，k≠0）當k＞0時，y的值隨x的值增大而增大；當k＜0時，y的值隨x值的增大而減�。�

⑷．直線y=kx＋b(k、b為常數(shù)，k≠0）時在坐標平面內的位置與k在的關系．①②③④

直線經(jīng)過第一、二、三象限（直線不經(jīng)過第四象限）；直線經(jīng)過第一、三、四象限（直線不經(jīng)過第二象限）；直線經(jīng)過第一、二、四象限（直線不經(jīng)過第三象限）；直線經(jīng)過第二、三、四象限（直線不經(jīng)過第一象限）；

2．一次函數(shù)表達式的求法

⑴．待定系數(shù)法：先設出式子中的未知系數(shù)，再根據(jù)條件列議程或議程組求出未知系數(shù)，從而寫出這個式子的方法，叫做待定系數(shù)法，其中的未知系數(shù)也稱為待定系數(shù)。

⑵．用待定系數(shù)法求出函數(shù)表殼式的一般步驟：⑴寫出函數(shù)表達式的一般形式；⑵把已知條件(自變量與函數(shù)的對應值)公共秩序函數(shù)表達式中，得到關于待定系數(shù)的議程或議程組；⑶解方程(組)求出待定系數(shù)的值，從而寫出函數(shù)的表達式。

⑶．一次函數(shù)表達式的求法：確定一次函數(shù)表達式常用待定系數(shù)法，其中確定正比例函數(shù)表達式，只需一對x與y的值，確定一次函數(shù)表達式，需要兩對x與y的值。

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