201*屆高考數(shù)學(xué)必看之-知識點(diǎn)總結(jié) 導(dǎo)數(shù)

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高中數(shù)學(xué)第十四章導(dǎo)數(shù)

考試內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的背影．導(dǎo)數(shù)的概念．

多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值．函數(shù)的最大值和最小值．考試要求：

（1）了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景．（2）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．

（3）掌握函數(shù)，y=c(c為常數(shù))、y=xn(n∈N+)的導(dǎo)數(shù)公式，會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值．（5）會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求某些簡單實(shí)際問題的最大值和最小值．

14.導(dǎo)數(shù)知識要點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則數(shù)1.導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）的定義：設(shè)x0是函數(shù)yf(x)定義域的一點(diǎn)，如果自變量函數(shù)的單調(diào)性x在x0處有增量x，則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量yf(x0x)f(x0)；比值

函數(shù)的極值x0)yf(x0x)f(導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用稱為函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0到x0x之間的平均變化率；如果極xx限limf(x0x)f(x0)y函數(shù)的最值在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極yf(x)存在，則稱函數(shù)limx0xx0x限叫做yf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f"(x0)或y"|xx0，即

f"(x0)=lim注：①x是增量，我們也稱為“改變量”，因?yàn)閤可正，可負(fù)，但不為零.②以知函數(shù)yf(x)定義域?yàn)锳，yf"(x)的定義域?yàn)锽，則A與B關(guān)系為AB.2.函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)與點(diǎn)x0處可導(dǎo)的關(guān)系：

⑴函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)是yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的必要不充分條件.

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f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x您身邊的志愿填報(bào)指導(dǎo)專家

可以證明，如果yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么yf(x)點(diǎn)x0處連續(xù).事實(shí)上，令xx0x，則xx0相當(dāng)于x0.于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xx⑵如果yf(x)點(diǎn)x0處連續(xù)，那么yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，是不成立的.例：f(x)|x|在點(diǎn)x00處連續(xù)，但在點(diǎn)x00處不可導(dǎo)，因?yàn)闀r(shí)，

yyy不存在.1；當(dāng)x＜0時(shí)，1，故limx0xxxy|x|，當(dāng)x＞0xx注：①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).

②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為yy0f"(x)(xx0).4.求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c為常數(shù)）

vu"v"uu(v0)2vv"注：①u,v必須是可導(dǎo)函數(shù).

②若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們

的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).

例如：設(shè)f(x)2sinx，g(x)cosx，則f(x),g(x)在x0處均不可導(dǎo)，但它們和

f(x)g(x)

sinxcosx在x0處均可導(dǎo).

2x2x5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.6.函數(shù)單調(diào)性：

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⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f"(x)＞0，則

yf(x)為增函數(shù)；如果f"(x)＜0，則yf(x)為減函數(shù).

⑵常數(shù)的判定方法；

如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f"(x)=0，則yf(x)為常數(shù).

注：①f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一個(gè)點(diǎn)例外即x=0時(shí)f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）遞減的充分非必要條件.②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正（或負(fù)），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.

7.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值，極小值同理）當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，

①如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＞0，右側(cè)f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＜0，右側(cè)f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點(diǎn)的充分條件是x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是f"(x)=0①.此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)②.當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值�。ê瘮�(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同）.注①：若點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)x0是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是極值點(diǎn).

②例如：函數(shù)yf(x)|x|，在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，但點(diǎn)x0是函數(shù)的極小值點(diǎn).8.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進(jìn)行比較.

注：函數(shù)的極值點(diǎn)一定有意義.9.幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

)"coxs(arcsx)i"nI.C"0（C為常數(shù)）(sixn11x2

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o"s(xn)"nxn1（nR）)"sixn(arccx)(coxs11x2

11x)a"nII.(lnx)"(loagx)"loage(arctx1x12x

(ex)"ex

(arccoxt)"1x21(ax)"axlna

III.求導(dǎo)的常見方法：①常用結(jié)論：(ln|x|)".

②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y化求代數(shù)和形式.

③無理函數(shù)或形如yxx這類函數(shù)，如yxx取自然對數(shù)之后可變形為lnyxlnx，

(xa1)(xa2)...(xan)(xb1)(xb2)...(xbn)1x兩邊同取自然對數(shù)，可轉(zhuǎn)

y"1對兩邊求導(dǎo)可得lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.

yx第-4-頁版權(quán)所有@中國高考志愿填報(bào)門戶您身邊的志愿填報(bào)指導(dǎo)專家

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高中數(shù)學(xué)第十四章導(dǎo)數(shù)

考試內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的背影．導(dǎo)數(shù)的概念．

多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值．函數(shù)的最大值和最小值．考試要求：

（1）了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景．（2）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．

（3）掌握函數(shù)，y=c(c為常數(shù))、y=xn(n∈N+)的導(dǎo)數(shù)公式，會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值．（5）會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求某些簡單實(shí)際問題的最大值和最小值．

14.導(dǎo)數(shù)知識要點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的極值函數(shù)的最值限limf"(x0)=lim1.導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）的定義：設(shè)x0是函數(shù)yf(x)定義域的一點(diǎn)，如果自變量

x在x0處有增量x，則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)稱為函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0到x0x之間的平均變化率；如果極xxf(x0x)f(x0)y存在，則稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極limx0xx0x限叫做yf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f"(x0)或y"|xx0，即

f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x-1-

注：①x是增量，我們也稱為“改變量”，因?yàn)閤可正，可負(fù)，但不為零.②以知函數(shù)yf(x)定義域?yàn)锳，yf"(x)的定義域?yàn)锽，則A與B關(guān)系為AB.2.函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)與點(diǎn)x0處可導(dǎo)的關(guān)系：

⑴函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)是yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的必要不充分條件.可以證明，如果yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么yf(x)點(diǎn)x0處連續(xù).事實(shí)上，令xx0x，則xx0相當(dāng)于x0.于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xx⑵如果yf(x)點(diǎn)x0處連續(xù)，那么yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，是不成立的.例：f(x)|x|在點(diǎn)x00處連續(xù)，但在點(diǎn)x00處不可導(dǎo)，因?yàn)闀r(shí)，

yyy不存在.1；當(dāng)x＜0時(shí)，1，故limx0xxxy|x|，當(dāng)x＞0xx注：①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).

②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為yy0f"(x)(xx0).4.求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c為常數(shù)）

vu"v"uu(v0)2vv"注：①u,v必須是可導(dǎo)函數(shù).

②若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們

的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).

例如：設(shè)f(x)2sinx，g(x)cosx，則f(x),g(x)在x0處均不可導(dǎo)，但它們和

2x2x

f(x)g(x)

sinxcosx在x0處均可導(dǎo).

5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.6.函數(shù)單調(diào)性：

⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f"(x)＞0，則

yf(x)為增函數(shù)；如果f"(x)＜0，則yf(x)為減函數(shù).

⑵常數(shù)的判定方法；

如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f"(x)=0，則yf(x)為常數(shù).

注：①f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一個(gè)點(diǎn)例外即x=0時(shí)f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）遞減的充分非必要條件.②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正（或負(fù)），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.

7.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值，極小值同理）當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，

①如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＞0，右側(cè)f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＜0，右側(cè)f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點(diǎn)的充分條件是x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是f"(x)=0①.此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)②.當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值小（函數(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同）.注①：若點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)x0是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是極值點(diǎn).

②例如：函數(shù)yf(x)|x|，在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，但點(diǎn)x0是函數(shù)的極小值點(diǎn).8.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進(jìn)行比較.

注：函數(shù)的極值點(diǎn)一定有意義.9.幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

)"coxs(arcsx)i"nI.C"0（C為常數(shù)）(sixn11x2

o"s(xn)"nxn1（nR）)"sixn(arccx)(coxs11x2

11x)a"nII.(lnx)"(loagx)"loage(arctx1x21x

(ex)"ex

(arccoxt)"1x21(ax)"axlna

III.求導(dǎo)的常見方法：①常用結(jié)論：(ln|x|)".

②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y化求代數(shù)和形式.

③無理函數(shù)或形如yxx這類函數(shù)，如yxx取自然對數(shù)之后可變形為lnyxlnx，

(xa1)(xa2)...(xan)(xb1)(xb2)...(xbn)1x兩邊同取自然對數(shù)，可轉(zhuǎn)

y"1對兩邊求導(dǎo)可得lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.

yx

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