《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

1.函數(shù)的平均變化率：函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為：

f(x2)f(x1)。

x2x12.導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上有定義，x0(a,b)，若x無(wú)限趨近于0時(shí)，比值

yf(x0x)f(x0)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱函數(shù)f(x)在xx0處可導(dǎo)，xx并稱該常數(shù)A為函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)。函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。

3.求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本步驟：（1）求函數(shù)的增量yf(x0x)f(x0)；（2）求平均變化率：

f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)；（3）取極限，當(dāng)x無(wú)限趨近與0時(shí)，無(wú)限趨

xx近與一個(gè)常數(shù)A，則f(x0)A.4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率。由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，具體求法分兩步：

（1）求出yf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，即為曲線yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率；（2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為yy0f(x0)(xx0)。當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)不在yf(x)上時(shí)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的yf(x)的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由切點(diǎn)坐標(biāo)得到切線方程，再將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入確定切點(diǎn)。特別地，如果曲線yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線平行與y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為xx0。

5.導(dǎo)數(shù)的物理意義：

質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)的位移S是時(shí)間t的函數(shù)S(t)，則VS(t)表示瞬時(shí)速度，av(t)表示瞬時(shí)加速度。二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）(kxb)k(k,b為常數(shù))；（3）(x)1；

（2）C0(C為常數(shù))；（4）(x2)2x；（6）(1)12；

xx1

（5）(x3)3x2；（7）(x)1；

2x

（8）(xα)αxα1（α為常數(shù)）；

（10）(logax)1logae1(a0,a1)；

xxlna（12）(lnx)1；x（14）(cosx)sinx。

（9）(ax)axlna(a0,a1)；（11）(ex)ex；

（13）(sinx)cosx；

2.函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)：（1）[f(x)g(x)]f(x)g(x)；（2）[Cf(x)]Cf(x)（C為常數(shù)）；

（3）[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)；

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)](g(x)0)。（4）[g(x)g2(x)3.簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

yuux，即yxyua。若yf(u),uaxb，則yx三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1.求函數(shù)的單調(diào)性：

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果恒f(x)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù)；（2）如果恒f(x)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù)；（3）如果恒f(x)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù)。

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：①求函數(shù)yf(x)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f(x)；③解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增區(qū)間；④解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為減區(qū)間。

反過(guò)來(lái),也可以利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問題（如確定參數(shù)的取值范圍）：設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，

(1)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù),則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構(gòu)成區(qū)間)；

(2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù),則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構(gòu)成區(qū)間)；

(3)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù),則f(x)0恒成立。2.求函數(shù)的極值：

設(shè)函數(shù)yf(x)在x0及其附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的極小值（或極大值）。

可導(dǎo)函數(shù)的極值，可通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性求得，基本步驟是：

（1）確定函數(shù)f(x)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f(x)；（3）求方程f(x)0的全部實(shí)根，x1x2xn，順次將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，并列表：x變化時(shí)，f(x)和f(x)值的

變化情況：

xf(x)f(x)(,x1)x1(x1,x2)…xn(xn,)正負(fù)單調(diào)性0正負(fù)單調(diào)性0正負(fù)單調(diào)性（4）檢查f(x)的符號(hào)并由表格判斷極值。3.求函數(shù)的最大值與最小值：

如果函數(shù)f(x)在定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)任意的xI，總有f(x)f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)在定義域上的最大值。函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不一定唯一，但在定義域內(nèi)的最值是唯一的。

求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值的步驟：（1）求f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值；

（2）將第一步中求得的極值與f(a),f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值。

4.解決不等式的有關(guān)問題：

（1）不等式恒成立問題（絕對(duì)不等式問題）可考慮值域。

f(x)(xA)的值域是[a,b]時(shí)，

不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)max0，即b0；

不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)min0，即a0。

f(x)(xA)的值域是(a,b)時(shí)，

不等式f(x)0恒成立的充要條件是b0；不等式f(x)0恒成立的充要條件是a0。

（2）證明不等式f(x)0可轉(zhuǎn)化為證明f(x)max0，或利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為證明f(x)f(x0)0。

5.導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用：

實(shí)際生活求解最大（小）值問題，通常都可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值.在利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)最值時(shí)，一定要注意，極值點(diǎn)唯一的單峰函數(shù)，極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，在解題時(shí)要加以說(shuō)明。

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一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

1.函數(shù)的平均變化率：函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為：

f(x2)f(x1)。

x2x12.導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上有定義，x0(a,b)，若x無(wú)限趨近于0時(shí)，比值

yf(x0x)f(x0)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱函數(shù)f(x)在xx0處可導(dǎo)，xx并稱該常數(shù)A為函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)。函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。

3.求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本步驟：（1）求函數(shù)的增量yf(x0x)f(x0)；（2）求平均變化率：

f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)；（3）取極限，當(dāng)x無(wú)限趨近與0時(shí)，無(wú)限趨

xx近與一個(gè)常數(shù)A，則f(x0)A.4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率。由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，具體求法分兩步：

（1）求出yf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，即為曲線yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率；（2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為yy0f(x0)(xx0)。當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)不在yf(x)上時(shí)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的yf(x)的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由切點(diǎn)坐標(biāo)得到切線方程，再將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入確定切點(diǎn)。特別地，如果曲線yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線平行與y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為xx0。5.導(dǎo)數(shù)的物理意義：

質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)的位移S是時(shí)間t的函數(shù)S(t)，則VS(t)表示瞬時(shí)速度，av(t)表示瞬時(shí)加速度。二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）(kxb)k(k,b為常數(shù))；（3）(x)1；

（2）C0(C為常數(shù))；（4）(x2)2x；（6）(1)12；

xx1

（5）(x3)3x2；（7）(x)1；

2x

（8）(xα)αxα1（α為常數(shù)）；

（10）(logax)1logae1(a0,a1)；

xxlna（12）(lnx)1；x（14）(cosx)sinx。

（9）(ax)axlna(a0,a1)；（11）(ex)ex；

（13）(sinx)cosx；

2.函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)：（1）[f(x)g(x)]f(x)g(x)；（2）[Cf(x)]Cf(x)（C為常數(shù)）；

（3）[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)；

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)（4）[](g(x)0)。

g(x)g2(x)3.簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

yuux，即yxyua。若yf(u),uaxb，則yx三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1.求函數(shù)的單調(diào)性：

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果恒f(x)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù)；（2）如果恒f(x)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù)；（3）如果恒f(x)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù)。

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：①求函數(shù)yf(x)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f(x)；③解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增區(qū)間；④解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為減區(qū)間。

反過(guò)來(lái),也可以利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問題（如確定參數(shù)的取值范圍）：設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，

(1)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù),則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構(gòu)成區(qū)間)；

(2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù),則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構(gòu)成區(qū)間)；

(3)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù),則f(x)0恒成立。2.求函數(shù)的極值：

設(shè)函數(shù)yf(x)在x0及其附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)都有f(x)f(x0)（或，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的極小值（或極大值）。f(x)f(x0)）

可導(dǎo)函數(shù)的極值，可通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性求得，基本步驟是：

（1）確定函數(shù)f(x)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f(x)；（3）求方程f(x)0的全部實(shí)根，x1x2xn，順次將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，并列表：x變化時(shí)，f(x)和f(x)值的

變化情況：

xf(x)f(x)(,x1)x1(x1,x2)…xn(xn,)正負(fù)單調(diào)性0正負(fù)單調(diào)性0正負(fù)單調(diào)性（4）檢查f(x)的符號(hào)并由表格判斷極值。3.求函數(shù)的最大值與最小值：

如果函數(shù)f(x)在定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)任意的xI，總有f(x)f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)在定義域上的最大值。函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不一定唯一，但在定義域內(nèi)的最值是唯一的。

求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值的步驟：（1）求f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值；

（2）將第一步中求得的極值與f(a),f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值。

4.解決不等式的有關(guān)問題：

（1）不等式恒成立問題（絕對(duì)不等式問題）可考慮值域。

f(x)(xA)的值域是[a,b]時(shí)，

不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)max0，即b0；

不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)min0，即a0。

f(x)(xA)的值域是(a,b)時(shí)，

不等式f(x)0恒成立的充要條件是b0；不等式f(x)0恒成立的充要條件是a0。

（2）證明不等式f(x)0可轉(zhuǎn)化為證明f(x)max0，或利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為證明f(x)f(x0)0。

5.導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用：

實(shí)際生活求解最大（�。┲祮栴}，通常都可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值.在利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)最值時(shí)，一定要注意，極值點(diǎn)唯一的單峰函數(shù)，極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，在解題時(shí)要加以說(shuō)明。

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