導數(shù)知識點總結(jié)
導數(shù)
考試內(nèi)容:導數(shù)的背影.導數(shù)的概念.
多項式函數(shù)的導數(shù).
利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值.函數(shù)的最大值和最小值.考試要求:
(1)了解導數(shù)概念的某些實際背景.(2)理解導數(shù)的幾何意義.
(3)掌握函數(shù),y=c(c為常數(shù))、y=xn(n∈N+)的導數(shù)公式,會求多項式函數(shù)的導數(shù).(4)理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念,并會用導數(shù)求多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值.(5)會利用導數(shù)求某些簡單實際問題的最大值和最小值.
知識要點
導數(shù)的概念導數(shù)的幾何意義、物理意義常見函數(shù)的導數(shù)導數(shù)導數(shù)的運算導數(shù)的運算法則函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值函數(shù)的最值
導數(shù)的應(yīng)用
一、導數(shù)的概念1.平均變化率
f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfxxx2x1x注1:其中x是自變量的改變量,可正,可負,可零。2:函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運動的平均速度。2.導數(shù)的概念
函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率是,limf(x0x)f(x0)ylim
x0xx0x
我們稱它為函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù),記作f(x0)或y|xx0,即
f(x0)=limx0f(x0x)f(x0)
x3.平均變化率的幾何意義
平均變化率的幾何意義是割線的斜率;4.導數(shù)的幾何意義
函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(x0,f(x0))處的切線的斜率,也就是說,曲線yf(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率是f"(x0),
"切線方程為yy0f(x)(xx0).
5.導數(shù)的背景
(1)切線的斜率(2)瞬時速度(3)邊際成本
6.導函數(shù)
當x變化時,f(x)便是x的一個函數(shù),我們稱它為f(x)的導函數(shù).yf(x)的導函數(shù)有時也記作y,即
f(x)limx0f(xx)f(x)
x二.導數(shù)的計算
1.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式:
1)若f(x)c(c為常數(shù)),則f(x)0;
12)若f(x)x,則f(x)x;
3)若f(x)sinx,則f(x)cosx4)若f(x)cosx,則f(x)sinx;
xx5)若f(x)a,則f(x)alna
6)若f(x)e,則f(x)e
xx1xlna18)若f(x)lnx,則f(x)
xx7)若f(x)loga,則f(x)2.導數(shù)的運算法則
1)[f(x)g(x)]f(x)g(x)
2)[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)3)[f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)]g(x)[g(x)]23.復合函數(shù)求導
yf(u)和ug(x),稱則y可以表示成為x的函數(shù),即yf(g(x))為一個復合函數(shù)yf(g(x))g(x)
三、導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)
一般地,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系:在某個區(qū)間(a,b)內(nèi),
如果f(x)0,那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;如果f(x)0,那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.2.函數(shù)的極值與導數(shù)
極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況.求函數(shù)yf(x)的極值的方法是:
(1)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極大值;(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極小值;3.函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)
極值與最值的區(qū)別:極值是在局部對函數(shù)值進行比較,最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較.
求函數(shù)yf(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟(1)求函數(shù)yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值;
(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.四、生活中的優(yōu)化問題
利用導數(shù)的知識,求函數(shù)的最大(小)值,從而解決實際問題
擴展閱讀:導數(shù)知識點總結(jié)
導數(shù)
考試內(nèi)容:導數(shù)的背影.導數(shù)的概念.
多項式函數(shù)的導數(shù).
利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值.函數(shù)的最大值和最小值.考試要求:
(1)了解導數(shù)概念的某些實際背景.(2)理解導數(shù)的幾何意義.
(3)掌握函數(shù),y=c(c為常數(shù))、y=xn(n∈N+)的導數(shù)公式,會求多項式函數(shù)的導數(shù).(4)理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念,并會用導數(shù)求多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值.(5)會利用導數(shù)求某些簡單實際問題的最大值和最小值.
知識要點
導數(shù)的概念導數(shù)的幾何意義、物理意義常見函數(shù)的導數(shù)導數(shù)導數(shù)的運算導數(shù)的運算法則函數(shù)的單調(diào)性導數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的極值函數(shù)的最值限limf"(x0)=lim1.導數(shù)(導函數(shù)的簡稱)的定義:設(shè)x0是函數(shù)yf(x)定義域的一點,如果自變量
x在x0處有增量x,則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量yf(x0x)f(x0);比值yf(x0x)f(x0)稱為函數(shù)yf(x)在點x0到x0x之間的平均變化率;如果極xxf(x0x)f(x0)y存在,則稱函數(shù)yf(x)在點x0處可導,并把這個極limx0xx0x限叫做yf(x)在x0處的導數(shù),記作f"(x0)或y"|xx0,即
f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x
-1-
注:①x是增量,我們也稱為“改變量”,因為x可正,可負,但不為零.②以知函數(shù)yf(x)定義域為A,yf"(x)的定義域為B,則A與B關(guān)系為AB.2.函數(shù)yf(x)在點x0處連續(xù)與點x0處可導的關(guān)系:
⑴函數(shù)yf(x)在點x0處連續(xù)是yf(x)在點x0處可導的必要不充分條件.可以證明,如果yf(x)在點x0處可導,那么yf(x)點x0處連續(xù).事實上,令xx0x,則xx0相當于x0.于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]
xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xx⑵如果yf(x)點x0處連續(xù),那么yf(x)在點x0處可導,是不成立的.例:f(x)|x|在點x00處連續(xù),但在點x00處不可導,因為時,
yyy不存在.1;當x<0時,1,故limx0xxxy|x|,當x>0xx注:①可導的奇函數(shù)函數(shù)其導函數(shù)為偶函數(shù).
②可導的偶函數(shù)函數(shù)其導函數(shù)為奇函數(shù).3.導數(shù)的幾何意義:
函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(x0,f(x))處的切線的斜率,也就是說,曲線yf(x)在點P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0),切線方程為yy0f"(x)(xx0).4.求導數(shù)的四則運算法則:
(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)
(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"(c為常數(shù))
vu"v"uu(v0)2vv"注:①u,v必須是可導函數(shù).
②若兩個函數(shù)可導,則它們和、差、積、商必可導;若兩個函數(shù)均不可導,則它
們的和、差、積、商不一定不可導.
例如:設(shè)f(x)2sinx,g(x)cosx,則f(x),g(x)在x0處均不可導,但它們和
2x2x
f(x)g(x)
sinxcosx在x0處均可導.
5.復合函數(shù)的求導法則:fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x復合函數(shù)的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.6.函數(shù)單調(diào)性:
⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法:設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導,如果f"(x)>0,則
yf(x)為增函數(shù);如果f"(x)<0,則yf(x)為減函數(shù).
⑵常數(shù)的判定方法;
如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f"(x)=0,則yf(x)為常數(shù).
注:①f(x)0是f(x)遞增的充分條件,但不是必要條件,如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0,有一個點例外即x=0時f(x)=0,同樣f(x)0是f(x)遞減的充分非必要條件.
②一般地,如果f(x)在某區(qū)間內(nèi)有限個點處為零,在其余各點均為正(或負),那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的.
7.極值的判別方法:(極值是在x0附近所有的點,都有f(x)<f(x0),則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值,極小值同理)當函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時,
①如果在x0附近的左側(cè)f"(x)>0,右側(cè)f"(x)<0,那么f(x0)是極大值;②如果在x0附近的左側(cè)f"(x)<0,右側(cè)f"(x)>0,那么f(x0)是極小值.
也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側(cè)導數(shù)異號,而不是f"(x)=0①.此外,函數(shù)不可導的點也可能是函數(shù)的極值點②.當然,極值是一個局部概念,極值點的大小關(guān)系是不確定的,即有可能極大值比極小值。ê瘮(shù)在某一點附近的點不同).注①:若點x0是可導函數(shù)f(x)的極值點,則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對于可導函數(shù),其一點x0是極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導,則導數(shù)值為零.例如:函數(shù)yf(x)x3,x0使f"(x)=0,但x0不是極值點.
②例如:函數(shù)yf(x)|x|,在點x0處不可導,但點x0是函數(shù)的極小值點.8.極值與最值的區(qū)別:極值是在局部對函數(shù)值進行比較,最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較.
注:函數(shù)的極值點一定有意義.9.幾種常見的函數(shù)導數(shù):
n)"coxs(arcxs)i"nI.C"0(C為常數(shù))(six11x2
"x)os(xn)"nxn1(nR)s"sinx(arcc(cox)11x2
1"11"(arctx)anII.(lnx)(loagx)loage
xxx21"(ex)"ex
(arcoxt)"1x21(ax)"axlna
III.求導的常見方法:①常用結(jié)論:(ln|x|)".
②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y化求代數(shù)和形式.
③無理函數(shù)或形如yxx這類函數(shù),如yxx取自然對數(shù)之后可變形為lnyxlnx,
y"1對兩邊求導可得lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.
yx(xa1)(xa2)...(xan)兩邊同取自然對數(shù),可轉(zhuǎn)
(xb1)(xb2)...(xbn)1x
友情提示:本文中關(guān)于《導數(shù)知識點總結(jié)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用,導數(shù)知識點總結(jié):該篇文章建議您自主創(chuàng)作。
來源:網(wǎng)絡(luò)整理 免責聲明:本文僅限學習分享,如產(chǎn)生版權(quán)問題,請聯(lián)系我們及時刪除。