高中數(shù)學 函數(shù)概念及其性質知識總結 新人教版必修1

數(shù)學必修1函數(shù)概念及性質（知識點總結）

（一）函數(shù)的有關概念

1．函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式注意：○

子有意義的實數(shù)的集合；○

3函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式．定義域補充

能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x零(6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義(又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。

2．構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域

再注意：（1）構成函數(shù)三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）（2）兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關。相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(見課本21頁相關例2)值域補充(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應先考慮其定義域(2).應熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復雜函數(shù)值域的基礎.(3).求函數(shù)值域的常用方法有：直接法、反函數(shù)法、換元法、配方法、均值不等式法、判別式法、單調性法等.3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x),點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關系y=f(x)，反過來，y為坐標的點(x，y)，均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與交點的若干條曲線或離散點組成.(2)畫法

A、描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以內描出相應的點P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來B、圖象變換法（請參考必修4三角函數(shù)）

常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換(3)作用：

1、直觀的看出函數(shù)的性質；2、利用數(shù)形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。

保護原創(chuàng)權益凈化網(wǎng)絡環(huán)境(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；.（6）指數(shù)為零底不可以等于.(兩點必須同時具備).A)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的

以滿足y=f(x)的每一組有序實數(shù)對x、∈A}

Y軸的直線最多只有一個(x,y)為坐標在坐標系.

如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合的值組成的集合)(x∈

4．快去了解區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．5．什么叫做映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”

給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的；②對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；③對于映射f：A→B來說，則應滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

6．常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：

1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否○

2解析法：必須注明函數(shù)的定義域；○3圖象法：描點法作圖要注意：確定是函數(shù)圖象的依據(jù)；○

4列表法：選取的自變量要有代表性，應函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；○

能反映定義域的特征．

注意�。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮�(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值補充一：分段函數(shù)（參見課本P24-25）

在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．

補充二：復合函數(shù)

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)稱為f、g的復合函數(shù)。

sinX2

例如:y=2y=2cos(X+1)

7．函數(shù)單調性（1）．增函數(shù)

設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1單調性，在單調區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調區(qū)間與單調性的判定方法(A)定義法：

1任取x1，x2∈D，且x1用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大（小）值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在區(qū)間[b，c]上單調遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

11．解答數(shù)學應用題的關鍵有兩點：

一是認真讀題，縝密審題，確切理解題意，明確問題的實際背景，然后進行科學的抽象、概括，將實際問題歸納為相應的數(shù)學問題；

二是要合理選取參變數(shù)，設定變元后，就要尋找它們之間的內在聯(lián)系，選用恰當?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關系，建立相應的函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學模型；最終求解數(shù)學模型使實際問題獲解.

函數(shù)的性質與函數(shù)圖象的特點函數(shù)性質函數(shù)的圖象定義圖像特點一般為一條連續(xù)曲線,也可能是由若干條曲線或離散點組成.圖像左右存在的范圍圖像上下存在的范圍圖像關于原點對稱圖像關于y軸對稱在區(qū)間［a,b］內，圖像從左到右上升CP(x,y)|yf(x),xM自變量x的取值范圍函數(shù)值y的取值范圍對任意的xM都有f(-x)=-f(x)對任意的xM都有f(-x)=f(x)對任意的x1、x2a,bM當x1

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數(shù)學必修1函數(shù)概念及性質（知識點總結）

（一）函數(shù)的有關概念

1．函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式注意：○

3函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式．子有意義的實數(shù)的集合；○

定義域補充

能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零(6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.(又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)

2．構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域

再注意：（1）構成函數(shù)三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）（2）兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關。相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)值域補充(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應先考慮其定義域.(2).應熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復雜函數(shù)值域的基礎.(3).求函數(shù)值域的常用方法有：直接法、反函數(shù)法、換元法、配方法、均值不等式法、判別式法、單調性法等.3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．

C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數(shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}

圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成.(2)畫法

A、描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來.B、圖象變換法（請參考必修4三角函數(shù)）

常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換(3)作用：

1、直觀的看出函數(shù)的性質；2、利用數(shù)形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。

4．快去了解區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．5．什么叫做映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”

給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的；②對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；③對于映射f：A→B來說，則應滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

6．常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：

1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否○

2解析法：必須注明函數(shù)的定義域；○3圖象法：描點法作圖要注意：確定是函數(shù)圖象的依據(jù)；○

4列表法：選取的自變量要有代表性，應函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；○

能反映定義域的特征．

注意啊：解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值補充一：分段函數(shù)（參見課本P24-25）

在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．

補充二：復合函數(shù)

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)稱為f、g的復合函數(shù)。

sinX2

例如:y=2y=2cos(X+1)

7．函數(shù)單調性（1）．增函數(shù)

設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1

單調性，在單調區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調區(qū)間與單調性的判定方法(A)定義法：

1任取x1，x2∈D，且x1

用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担喝绻�函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在區(qū)間[b，c]上單調遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

11．解答數(shù)學應用題的關鍵有兩點：

一是認真讀題，縝密審題，確切理解題意，明確問題的實際背景，然后進行科學的抽象、概括，將實際問題歸納為相應的數(shù)學問題；

二是要合理選取參變數(shù)，設定變元后，就要尋找它們之間的內在聯(lián)系，選用恰當?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關系，建立相應的函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學模型；最終求解數(shù)學模型使實際問題獲解.

函數(shù)的性質與函數(shù)圖象的特點函數(shù)性質函數(shù)的圖象定義圖像特點一般為一條連續(xù)曲線,也可能是由若干條曲線或離散點組成.圖像左右存在的范圍圖像上下存在的范圍圖像關于原點對稱圖像關于y軸對稱在區(qū)間［a,b］內，圖像從左到右上升CP(x,y)|yf(x),xM自變量x的取值范圍函數(shù)值y的取值范圍對任意的xM都有f(-x)=-f(x)對任意的xM都有f(-x)=f(x)對任意的x1、x2a,bM當x1

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