高中數(shù)學(xué) 14種函數(shù)圖像和性質(zhì)知識解析 新人教A版必修1

高中不得不掌握的函數(shù)圖像與常用性質(zhì)

高中常用函數(shù)有14種，它們是:1.正比例函數(shù)；2.反比例函數(shù)；3.根式函數(shù)；4一次函數(shù)；5.二次函數(shù)；6雙勾函數(shù).；7..雙拋函數(shù)；8.指數(shù)函數(shù)；9對數(shù)函數(shù)；10.三角函數(shù)；11分段函數(shù).；12.絕對值函數(shù)；13.超越函數(shù)；14.抽象函數(shù)。而函數(shù)的性質(zhì)常見的有：1.定義域；2.值域；3.單調(diào)性；4.奇偶性；5.周期性；6.對稱性；7.有界性；8.反函數(shù)；9.連續(xù)性.高中都是從函數(shù)解析式入手畫出函數(shù)圖像，再利用函數(shù)圖像研究其性質(zhì)，下面我們就函數(shù)的圖像和性質(zhì)做歸納總結(jié)。1.正比例函數(shù)解析式圖像定義域：值域：單調(diào)性：奇偶性：反函數(shù)：

2.反比例函數(shù)解析式圖像性質(zhì)定義域：值域：單調(diào)性：奇偶性：反函數(shù)：對稱性：定義域：值域：單調(diào)性：對稱性：3根式函數(shù)解析式圖像定義域：值域：單調(diào)性：奇偶性：反函數(shù)：4一次函數(shù)解析式圖像定義域：值域：1

性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)用心愛心專心

單調(diào)性：反函數(shù)：5二次函數(shù)解析式圖像定義域：值域：單調(diào)性：對稱性：定義域：值域：單調(diào)性：對稱性：6.雙勾函數(shù)解析式圖像定義域：值域：單調(diào)性：奇偶性：對稱性：定義域：值域：單調(diào)性：奇偶性：對稱性：7.雙拋函數(shù)解析式圖像定義域：值域：單調(diào)性：奇偶性：對稱性：定義域：性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)用心愛心專心

值域：單調(diào)性：奇偶性：對稱性：8.指數(shù)函數(shù)解析式圖像定義域：值域：單調(diào)性：9.對數(shù)函數(shù)解析式圖像定義域：值域：單調(diào)性：10.三角函數(shù)解析式圖像單調(diào)性：周期性：奇偶性：有界性：對稱性：定義域：值域：單調(diào)性：周期性：奇偶性：有界性：對稱性：定義域：值域：單調(diào)性：周期性：奇偶性：有界性：對稱性：定義域：值域：單調(diào)性：周期性：奇偶性：有界性：對稱性：11.分段函數(shù)

分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。其圖像的畫法是按定義域的劃分分別作圖。其性質(zhì)主要是考察求值域和單調(diào)性。求值域時(shí)一定要首先看x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式�？�

用心愛心專心

3

性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)定義域：值域：

察單調(diào)性主要是整個(gè)定義域?yàn)樵龊瘮?shù)還是減函數(shù)，相當(dāng)于是恒成立問題。（1）設(shè)函數(shù)f(x)（x1)(x1)，則使得f(x)1的自變量x取值范圍是

4x1(x1)(2)已知f(x)1(x0)則不等式x(x2)f(x2)5的解集是＿＿

1(x0)（2a）x1(x1)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是＿＿xa(x1)（3）已知f(x)13.絕對值函數(shù)一般有yf(x)和yf(x)g(x)兩種類型，只需按絕對值的定義轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)即可畫出圖像；其主要考察值域和單調(diào)性。如設(shè)

f(x)x24x5求f(x)5的解集。

14.超越函數(shù)超越函數(shù)主要是由1-11種基本初等函數(shù)中的兩種組合在一起的，例如

f(x)sinx、f(x)lnx2x1；其常見的題型是利用11種函數(shù)性質(zhì)解題，特別是利x用可導(dǎo)性、對稱性、單調(diào)性、奇偶性來判斷圖像。15.抽象函數(shù)

抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了其它一些條件（如定義域、單調(diào)性、周期性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)。其常見的抽象函數(shù)的模型有：

f(xy)f(x)f(y)f(x)kx,

xf(x)f(xy)f(x)f(y)，f()f(x)x2

yf(y)f(xy)f(x)f(y),f(xy)f(x)f(x)axf(y)xf(xy)f(x)f(y),f()f(x)f(y)f(x)logax

yf(xy)f(x)f(y)f(x)tanx.解抽象函數(shù)常用

1f(x)f(y)T)＿21、借用模型函數(shù)類比探究,如已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且周期為T，則f(2、利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行探究，如已知f(x)是R上的函數(shù)且滿足

3f(x2)f(x1)f(x)，若f(1)lg,f(2)lg15,求f(201*)。

23、利用其它方法，如賦值法、遞推法、反證法等進(jìn)行探究。如已知f(x)是在（-3，3）上的奇函數(shù)，當(dāng)0

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué)《函數(shù)的基本性質(zhì)》教案12 新人教A版必修1

函數(shù)的單調(diào)性與最大（小）值（1）

設(shè)計(jì)理念

新課標(biāo)指出：“感知數(shù)學(xué)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)”是人類生活的一部分，是人類生活勞動(dòng)和學(xué)習(xí)不可缺少的工具。課程內(nèi)容應(yīng)與學(xué)生生活實(shí)際緊密聯(lián)系，從而讓學(xué)生感悟到生活中處處有數(shù)學(xué)，進(jìn)而有利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生活化、情境化。因此我在教學(xué)“交通與數(shù)學(xué)”這一節(jié)內(nèi)容的過程中，從實(shí)際生活中的實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生感受到交通與數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系，體會到教學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，并學(xué)會運(yùn)用所學(xué)的知識解決實(shí)際生活中的簡單的問題。這樣就充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，充分提供讓學(xué)生獨(dú)立思考的機(jī)會。

本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)和掌握了一位數(shù)乘三位數(shù)的乘法計(jì)算和搭配方法等數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。其目的在于引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)過的知識與生活實(shí)際聯(lián)系起來，綜合運(yùn)用，提高解決問題的能力。因此，在教學(xué)中我嘗試以“交通”為主線，設(shè)計(jì)密切聯(lián)系學(xué)生實(shí)際生活的學(xué)習(xí)情境；在整個(gè)設(shè)計(jì)中，我始終引導(dǎo)學(xué)生在生活情境中提出問題，解決問題，這些都是和學(xué)生息息相關(guān)的生活問題，因此學(xué)生始終能保持較高的學(xué)習(xí)興趣，樂于將自己的想法與他人交流，積極性很高。

教學(xué)內(nèi)容：

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.數(shù)學(xué)1》（人教版A）第一章第三節(jié)第一課時(shí)（1.3.1）《單調(diào)性與最大（小）值》。

教學(xué)目標(biāo)：

1、理解函數(shù)單調(diào)性的概念，并能判斷一些簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；

2、啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、認(rèn)識問題和解決問題的能力；3、通過觀察猜想推理證明這一重要的思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和創(chuàng)新意識。

4、通過數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義的思想教育。學(xué)情與教材分析：

本節(jié)課是1.3.1第一課時(shí)。根據(jù)實(shí)際情況，將1.3.1劃分為三節(jié)課（函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的最大（�。┲担�，這是第一節(jié)課“函數(shù)的單調(diào)性”。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最重要的基本性質(zhì)之一，它不僅是求函數(shù)最大值與最小值的基礎(chǔ)，同時(shí)在研究函數(shù)及

實(shí)際生活中的函數(shù)問題都有著廣泛的應(yīng)用，所以要重點(diǎn)研究函數(shù)的單調(diào)性。

學(xué)生對函數(shù)已有初步認(rèn)識，掌握函數(shù)三種表示方法，了解一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等的圖象和性質(zhì)。僅就圖象角度直觀描述函數(shù)單調(diào)性的特征，學(xué)生并不感到困難。困難在于，把具體的、直觀形象的函數(shù)單調(diào)性特征抽象出來，用數(shù)學(xué)的符號語言描述，即把某區(qū)間上“隨x的增大，y也增大”（單調(diào)增）這一特征用該區(qū)間上“任意的x1x2有

f(x1)f(x2)”（單調(diào)增）進(jìn)行刻畫，其中最難理解的是為什么要在區(qū)間上“任意”取兩

個(gè)大小不等的x1,x2，本節(jié)課將通過對函數(shù)的圖象及性質(zhì)的分析，讓學(xué)生理解并掌握這一概念。

教學(xué)準(zhǔn)備：

制作課件，使用多媒體上課。為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，借助計(jì)算機(jī)繪制函數(shù)圖象，同時(shí)輔以坐標(biāo)計(jì)算、跟蹤點(diǎn)等手段觀察函數(shù)的數(shù)字變化特征。

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題（約3分鐘）

德國有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究.他經(jīng)過測試，得到了以下一些數(shù)據(jù)：

時(shí)間間剛記憶完20分鐘后60分鐘后8-9小時(shí)后1天后隔t畢記憶量y100(百分比)58.244.235.833.727.825.421.12天后6天后一個(gè)月后以上數(shù)據(jù)表明，記憶量y是時(shí)間間隔t的函數(shù)。艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的“艾賓浩斯遺忘曲線”，如圖：

y10080604020o123t

思考1:當(dāng)時(shí)間間隔t逐漸增大你能看出對應(yīng)的函數(shù)值y有什么變化趨勢？通過這個(gè)試驗(yàn)，你打算以后如何對待剛學(xué)過的知識?

設(shè)計(jì)意圖：聯(lián)系學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，通過幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖象所反映出的特征。思考2:“艾賓浩斯遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的，對此，我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行解釋？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生先利用圖象描述變化規(guī)律，下降，從幾何直觀角度認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性，再從數(shù)值變化角度描述變化規(guī)律。

二、知識探究（一）（約12分鐘）考察下列兩個(gè)函數(shù):

（1）f(x)=x；(2)f(x)=x（x≥0）2yyoxox

讓學(xué)生動(dòng)手畫出圖象，觀察、思考

思考1：這兩個(gè)函數(shù)的圖像分別是什么？二者有何共同特征？學(xué)情預(yù)設(shè)：通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生能較快地觀察到這兩個(gè)圖象的變化趨勢，上升。思考2：如果一個(gè)函數(shù)的圖像從左至右逐漸上升，那么當(dāng)自變量x從小到大依次取值時(shí)，函數(shù)值y的變化情況如何？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)值變化角度描述變化規(guī)律，圖象上升，也就是“隨x的增大，

y也增大”

思考3：如圖為函數(shù)f(x)在定義域I內(nèi)某個(gè)

yyf(x)f(x2)f(x1)區(qū)間D上的圖像，對于該區(qū)間上任意兩個(gè)自變量

x1和

x2，當(dāng)

x1x2

思考4：我們把具有上述特點(diǎn)的函數(shù)稱為增函數(shù)，那么怎樣定義“函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)”？

學(xué)情預(yù)設(shè)：這個(gè)問題具有較高的思維要求，需要“跳一跳才能摘到果子”。教學(xué)上，可以讓學(xué)生開展討論、交流。通過學(xué)生的活動(dòng)，逐步認(rèn)識增函數(shù)的刻畫方法。

強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵詞句：定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上，任意，都有。對于函數(shù)定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量有f(

x1x1和

x2的值，若當(dāng)

x1

x2)

x2),則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)還是減函數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：由于有了增函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很快得到減函數(shù)的圖象變化規(guī)律。思考4：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間具

有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.那么二次函數(shù)在R上具有單調(diào)性嗎？函數(shù)f(x)=（x-1）的單調(diào)區(qū)間如何？

設(shè)計(jì)意圖：通過這一思考問題，進(jìn)一步強(qiáng)化函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，在整個(gè)定義域上不一定具有，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域上的一個(gè)子集。

四、理論遷移（約20分鐘）例1如圖是定義在閉區(qū)間[-5，6]上的函數(shù)y=f(x)的圖象，根據(jù)圖象說出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：通過例題的講解，加強(qiáng)學(xué)生通過直觀圖象判斷函數(shù)單調(diào)性的能力，加深對函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)的理解。

例2物理學(xué)中的玻意耳定律告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大，試用函數(shù)的單調(diào)性證明。

設(shè)計(jì)意圖：通過例題的講解，加深學(xué)生對定義的理解和知識的應(yīng)用。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生歸納判定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性的方法步驟。

知識鏈接：如何比較兩個(gè)代數(shù)式的大小？（1）作差法（2）作商法

x12y-3-5o136x練習(xí)：試確定函數(shù)f(x)=

x在區(qū)間

0,上的單調(diào)性。

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步加深學(xué)生對定義的理解和知識的應(yīng)用。五、小結(jié)（約2分鐘）

利用定義確定或證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：1.取數(shù):任取

x1,x2∈D，且x1

4.定號:判斷差f(x)f(x)的正負(fù);

125.小結(jié):指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性.

設(shè)計(jì)意圖：再次歸納判定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性的方法步驟，加深印象。六、作業(yè)：P324P392（1）設(shè)計(jì)思路：

本節(jié)課的教學(xué)是以函數(shù)的單調(diào)性的概念為主線，它始終貫穿于整個(gè)課堂教學(xué)過程。對函數(shù)的單調(diào)性概念的深入而正確的理解往往是學(xué)生認(rèn)知過程的難點(diǎn)，因此，在課堂上突出對概念的分析不僅僅是為了分析函數(shù)單調(diào)性的定義，而是想讓學(xué)生對如何學(xué)會、弄懂一個(gè)概念有初步的認(rèn)識，并且在今后的學(xué)習(xí)中有所用；使用函數(shù)單調(diào)性定義證明具體函數(shù)的單調(diào)性又是一個(gè)難點(diǎn)，使用函數(shù)的單調(diào)性定義證明是對函數(shù)單調(diào)性概念的深層理解，給出一定的步驟是必要的，有利于學(xué)生理解概念，也可以對學(xué)生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助。另外，這也是以后學(xué)習(xí)的不等式證明方法中比較法的基本思路，現(xiàn)在提出要求，對今后的教學(xué)作一定的輔墊。

1、函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)和一個(gè)重要性質(zhì)，函數(shù)在在高中數(shù)學(xué)中占有很重要的位置。如何突破這個(gè)既重要又抽象的內(nèi)容，其實(shí)質(zhì)就是將直觀的圖象語言轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)符號語言，通過具有一定思考價(jià)值的問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲持久的好奇心。本節(jié)課力圖讓學(xué)生把具體的、直觀形象的函數(shù)單調(diào)性特征抽象出來，用數(shù)學(xué)的符號語言描述，并通過對比總結(jié)得到研究的方法，讓學(xué)生去體會這種研究方法，便能將其遷移到其他數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去。

2、在本節(jié)課的教學(xué)中我努力實(shí)踐以下兩點(diǎn)；

（1）在課堂活動(dòng)中通過同伴合作、自主探究培養(yǎng)學(xué)生積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式。（2）在教學(xué)過程中努力做到生生對話、師生對話、并且在對話之后重視體會、總結(jié)、反思，力圖在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時(shí)讓學(xué)生掌握一些學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)的方法。

3、通過課堂教學(xué)活動(dòng)向?qū)W生滲透從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

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