高中數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性和周期性小結(jié)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性和周期性小結(jié)

一、函數(shù)對(duì)稱性：

1.2.3.4.5.6.7.8.

f(a+x)=f(a-x)==>f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱

f(a+x)=f(b-x)==>f(x)關(guān)于x=(a+b)/2對(duì)稱f(a+x)=-f(a-x)==>f(x)關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱f(a+x)=-f(a-x)+2b==>f(x)關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱

f(a+x)=-f(b-x)+c==>f(x)關(guān)于點(diǎn)[（a+b）/2，c/2]對(duì)稱y=f(x)與y=f(-x)關(guān)于x=0對(duì)稱y=f(x)與y=-f(x)關(guān)于y=0對(duì)稱y=f(x)與y=-f(-x)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱

例1：證明函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)關(guān)于x=(b-a)/2對(duì)稱。

【解析】求兩個(gè)不同函數(shù)的對(duì)稱軸，用設(shè)點(diǎn)和對(duì)稱原理作解。

證明：假設(shè)任意一點(diǎn)P（m，n）在函數(shù)y=f(a+x)上，令關(guān)于x=t的對(duì)稱點(diǎn)Q（2tm，n），那么n=f(a+m)=f[b(2tm)]

∴b2t=a，==>t=(b-a)/2，即證得對(duì)稱軸為x=(b-a)/2.

例2：證明函數(shù)y=f(a-x)與y=f(xb)關(guān)于x=(a+b)/2對(duì)稱。

證明：假設(shè)任意一點(diǎn)P（m，n）在函數(shù)y=f(a-x)上，令關(guān)于x=t的對(duì)稱點(diǎn)Q（2tm，n），那么n=f(a-m)=f[(2tm)b]

∴2t-b=a，==>t=(a+b)/2，即證得對(duì)稱軸為x=(a+b)/2.

二、函數(shù)的周期性

令a,b均不為零，若：

1.函數(shù)y=f(x)存在f(x)=f(x+a)==>函數(shù)最小正周期T=|a|

2.函數(shù)y=f(x)存在f(a+x)=f(b+x)==>函數(shù)最小正周期T=|b-a|3.函數(shù)y=f(x)存在f(x)=-f(x+a)==>函數(shù)最小正周期T=|2a|4.函數(shù)y=f(x)存在f(x+a)=1/f(x)==>函數(shù)最小正周期T=|2a|

5.函數(shù)y=f(x)存在f(x+a)=[f(x)+1]/[1f(x)]==>函數(shù)最小正周期T=|4a|

這里只對(duì)第2~5點(diǎn)進(jìn)行解析。

第2點(diǎn)解析：

令X=x+a，f[a+(xa)]=f[b+(xa)]∴f(x)=f(x+ba)==>T=ba

第3點(diǎn)解析：同理，f(x+a)=-f(x+2a)……①

f(x)=-f(x+a)……②∴由①和②解得f(x)=f(x+2a)∴函數(shù)最小正周期T=|2a|

第4點(diǎn)解析:

f(x+2a)=1/f(x+a)==>f(x+a)=1/f(x+2a)

又∵f(x+a)=1/f(x)∴f(x)=f(x+2a)

∴函數(shù)最小正周期T=|2a|

第5點(diǎn)解析:

∵f(x+a)={2[1f(x)]}/[1f(x)]=2/[1f(x)]1

∴1f(x)=2/[f(x)+1]移項(xiàng)得f(x)=12/[f(x+a)+1]

那么f(x-a)=12/[f(x)+1]，等式右邊通分得f(x-a)=[f(x)1]/[1+f(x)]∴1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[f(x)1]，即-1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[1-f(x)]∴-1/[f(x-a)=f(x+a)，-1/[f(x2a)=f(x)==>-1/f(x)=f(x-2a)①，又∵-1/f(x)=f(x+2a)②，

由①②得f(x+2a)=f(x-2a)==>f(x)=f(x+4a)

∴函數(shù)最小正周期T=|4a|

擴(kuò)展閱讀：函數(shù)對(duì)稱性、周期性和奇偶性的規(guī)律總結(jié)

函數(shù)對(duì)稱性、周期性和奇偶性規(guī)律總結(jié)

(一)、同一函數(shù)的函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性：（奇偶性是一種特殊的對(duì)稱性）1、奇偶性:（1）奇函數(shù)關(guān)于（0，0）對(duì)稱，奇函數(shù)有關(guān)系式f(x)f(x)0

（2）偶函數(shù)關(guān)于y（即x=0）軸對(duì)稱，偶函數(shù)有關(guān)系式f(x)f(x)

2、奇偶性的拓展:同一函數(shù)的對(duì)稱性

（1）函數(shù)的軸對(duì)稱：

函數(shù)yf(x)關(guān)于xa對(duì)稱f(ax)f(ax)

f(ax)f(ax)也可以寫成f(x)f(2ax)或f(x)f(2ax)

若寫成：f(ax)f(bx)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線x稱

(ax)(bx)ab對(duì)22證明：設(shè)點(diǎn)(x1,y1)在yf(x)上，通過(guò)f(x)f(2ax)可知，y1f(x1)f(2ax1)，

即點(diǎn)(2ax1,y1)也在yf(x)上，而點(diǎn)(x1,y1)與點(diǎn)(2ax1,y1)關(guān)于x=a對(duì)稱。得證。

說(shuō)明：關(guān)于xa對(duì)稱要求橫坐標(biāo)之和為2a，縱坐標(biāo)相等。

∵(ax1,y1)與(ax1,y1)關(guān)于xa對(duì)稱，∴函數(shù)yf(x)關(guān)于xa對(duì)稱

f(ax)f(ax)

∵(x1,y1)與(2ax1,y1)關(guān)于xa對(duì)稱，∴函數(shù)yf(x)關(guān)于xa對(duì)稱

f(x)f(2ax)

∵(x1,y1)與(2ax1,y1)關(guān)于xa對(duì)稱，∴函數(shù)yf(x)關(guān)于xa對(duì)稱

f(x)f(2ax)

（2）函數(shù)的點(diǎn)對(duì)稱：

函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱f(ax)f(ax)2b

上述關(guān)系也可以寫成f(2ax)f(x)2b或f(2ax)f(x)2b

若寫成：f(ax)f(bx)c，函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(abc,)對(duì)稱2證明：設(shè)點(diǎn)(x1,y1)在yf(x)上，即y1f(x1)，通過(guò)f(2ax)f(x)2b可知，

f(2ax1)f(x1)2b，所以f(2ax1)2bf(x1)2by1，所以點(diǎn)(2ax1,2by1)也在yf(x)上，而點(diǎn)(2ax1,2by1)與(x1,y1)關(guān)于(a,b)對(duì)

稱。得證。

說(shuō)明:關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱要求橫坐標(biāo)之和為2a,縱坐標(biāo)之和為2b,如(ax)與（ax)之

和為2a。

（3）函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)yb對(duì)稱:假設(shè)函數(shù)關(guān)于yb對(duì)稱，即關(guān)于任一個(gè)x值，都有兩個(gè)y值與其對(duì)應(yīng)，顯然這不符合函數(shù)的定義，故函數(shù)自身不可能關(guān)于yb對(duì)稱。但在曲線c(x,y)=0，則有可能會(huì)出現(xiàn)關(guān)于yb對(duì)稱，比如圓c(x,y)x2y240它會(huì)關(guān)于y=0對(duì)稱。（4）復(fù)合函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)定理：

性質(zhì)1、復(fù)數(shù)函數(shù)y＝f[g(x)]為偶函數(shù)，則f[g(－x)]＝f[g(x)]。復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)，則f[g(－x)]＝－f[g(x)]。性質(zhì)2、復(fù)合函數(shù)y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，則f(x＋a)＝f(－x＋a)；復(fù)合函數(shù)y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(a＋x)。

性質(zhì)3、復(fù)合函數(shù)y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，則y＝f(x)關(guān)于直線x＝a軸對(duì)稱。復(fù)合函數(shù)y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，則y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱。總結(jié)：x的系數(shù)一個(gè)為1，一個(gè)為-1，相加除以2，可得對(duì)稱軸方程

總結(jié)：x的系數(shù)一個(gè)為1，一個(gè)為-1，f(x)整理成兩邊，其中一個(gè)的系數(shù)是為1，另一個(gè)為-1，存在對(duì)稱中心。

總結(jié)：x的系數(shù)同為為1，具有周期性。

(二)、兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性

1、yf(x)與yf(x)關(guān)于X軸對(duì)稱。

證明：設(shè)yf(x)上任一點(diǎn)為(x1,y1)則y1f(x1)，所以yf(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x1,y1)

∵(x1,y1)與(x1,y1)關(guān)于X軸對(duì)稱，∴y1f(x1)與yf(x)關(guān)于X軸對(duì)稱.注：換種說(shuō)法：yf(x)與yg(x)f(x)若滿足f(x)g(x)，即它們關(guān)于y0對(duì)稱。

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