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高一數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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高一數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高一數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念:對(duì)于函數(shù)yf(x)(xD),把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義:函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù)

yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

即:方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法:

1(代數(shù)法)求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根;○

2(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象○

聯(lián)系起來(lái),并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

零點(diǎn)存在性定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間〔a,b〕上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根。先判定函數(shù)單調(diào)性,然后證明是否有f(a)f(b)第三章函數(shù)的應(yīng)用習(xí)題

一、選擇題

1.下列函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)的是()

222y3x10y4x5x10yx3x5y4x4x1A、B、C、D、22.用二分法計(jì)算3x3x80在x(1,2)內(nèi)的根的過(guò)程中得:f(1)0,f(1.5)0,

f(1.25)0,則方程的根落在區(qū)間()

A、(1,1.5)B、(1.5,2)C、(1,1.25)D、(1.25,1.5)

3.若方程axxa0有兩個(gè)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A、(1,)B、(0,1)C、(0,)D、

4.函數(shù)f(x)=lnx-2x的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A.(1,2)B.2,eC.e,3D.e,

5.已知方程x3x10僅有一個(gè)正零點(diǎn),則此零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

6.函數(shù)f(x)lnx2x6的零點(diǎn)落在區(qū)間()A.(2,2.25)B.(2.25,2.5)C.(2.5,2.75)D.(2.75,3)

7.已知函數(shù)

fx的圖象是不間斷的,并有如下的對(duì)應(yīng)值表:x1234567fx8735548那么函數(shù)在區(qū)間(1,6)上的零點(diǎn)至少有()個(gè)A.5B.4C.3D.28.方程2x1x5的解所在的區(qū)間是A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)

9.方程4x35x60的根所在的區(qū)間為A、(3,2)B、(2,1)C、(1,0)D、(0,1)

10.已知f(x)2x22x,則在下列區(qū)間中,f(x)0有實(shí)數(shù)解的是()

()

()

((A)(-3,-2)(B)(-1,0)(C)(2,3)(D)(4,5)11.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以判定方程ex-x-2=0的一個(gè)根所在的區(qū)間為()

xexx+2-10.37101212.72327.394320.095A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)12、方程

x12x根的個(gè)數(shù)為()

A、0B、1C、2D、3二、填空題

13.下列函數(shù):1)y=lgx;2)y2;3)y=x2;4)y=|x|-1;其中有2個(gè)零點(diǎn)的函數(shù)的序號(hào)是。

x214.若方程3x2的實(shí)根在區(qū)間m,n內(nèi),且m,nZ,nm1,

x則mn.

222f(x)(x1)(x2)(x2x3)的零點(diǎn)是15、函數(shù)(必須寫全所有的零點(diǎn))。

擴(kuò)展閱讀:高中數(shù)學(xué)必修一第三章函數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念:對(duì)于函數(shù)yf(x)(xD),把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義:函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù)

yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

即:方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法:

1(代數(shù)法)求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根;○

2(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來(lái),○

并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

4、基本初等函數(shù)的零點(diǎn):

①正比例函數(shù)ykx(k0)僅有一個(gè)零點(diǎn)。

k(k0)沒(méi)有零點(diǎn)。x③一次函數(shù)ykxb(k0)僅有一個(gè)零點(diǎn)。

②反比例函數(shù)y④二次函數(shù)yax2bxc(a0).

(1)△>0,方程ax2bxc0(a0)有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

(2)△=0,方程ax2bxc0(a0)有兩相等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

(3)△<0,方程ax2bxc0(a0)無(wú)實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn),二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn).

⑤指數(shù)函數(shù)ya(a0,且a1)沒(méi)有零點(diǎn)。⑥對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0,且a1)僅有一個(gè)零點(diǎn)1.

⑦冪函數(shù)yx,當(dāng)n0時(shí),僅有一個(gè)零點(diǎn)0,當(dāng)n0時(shí),沒(méi)有零點(diǎn)。

5、非基本初等函數(shù)(不可直接求出零點(diǎn)的較復(fù)雜的函數(shù)),函數(shù)先把fx轉(zhuǎn)化成,這另fx0,再把復(fù)雜的函數(shù)拆分成兩個(gè)我們常見(jiàn)的函數(shù)y1,y2(基本初等函數(shù))個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)fx零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

6、選擇題判斷區(qū)間a,b上是否含有零點(diǎn),只需滿足fafb0。Eg:試判斷方程xx2x10在區(qū)間[0,2]內(nèi)是否有實(shí)數(shù)解?并說(shuō)明理由。

1

42x7、確定零點(diǎn)在某區(qū)間a,b個(gè)數(shù)是唯一的條件是:①fx在區(qū)間上連續(xù),且fafb0②在區(qū)間a,b上單調(diào)。Eg:求函數(shù)f(x)2xlg(x1)2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

8、函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì):

從“數(shù)”的角度看:即是使f(x)0的實(shí)數(shù);

從“形”的角度看:即是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo);

若函數(shù)f(x)的圖象在xx0處與x軸相切,則零點(diǎn)x0通常稱為不變號(hào)零點(diǎn);若函數(shù)f(x)的圖象在xx0處與x軸相交,則零點(diǎn)x0通常稱為變號(hào)零點(diǎn).

Eg:一元二次方程根的分布討論

一元二次方程根的分布的基本類型

2axbxc0(a0)的兩實(shí)根為x1,x2,且x1x2.設(shè)一元二次方程

k為常數(shù),則一元二次方程根的k分布(即x1,x2相對(duì)于k的位置)或根在區(qū)間上的

分布主要有以下基本類型:

表一:(兩根與0的大小比較)

分布情況兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于0兩個(gè)正根即兩根都大于0一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于0,一個(gè)大于0x10,x20x10,x20x10x2a0)大致圖象(得出的結(jié)論0b02af000b02af00f00

大致圖象(a0)得出的結(jié)論0b02af000b02aaf000b02af000b02aaf00f00(不綜討合論結(jié)a論)

af00表二:(兩根與k的大小比較)

分布情況兩根都小于k即兩根都大于k即一個(gè)根小于k,一個(gè)大于k即x1k,x2kx1k,x2kx1kx2a0)大致圖象(kkk得出的結(jié)論0bk2afk00bk2afk0fk0大致圖象(a0)得出的結(jié)論0bk2afk00bk2aafk00bk2afk00bk2aafk0fk0(不綜討合論結(jié)a論)a0)afk0分布情況大致圖象(得出的結(jié)論表三:(根在區(qū)間上的分布)

兩根都在m,n內(nèi)兩根有且僅有一根在m,n一根在m,n內(nèi),另一根在p,q內(nèi)(有兩種情況,只畫了一種)內(nèi),mnpq0fm0fn0bmn2afmfn0fm0fn0fmfn0fp0fq0fpfq0或

大致圖象(a0)得出的結(jié)論0fm0fn0bmn2a綜合結(jié)論fmfn0fm0fn0fmfn0fp0fq0fpfq0或fmfn0fpfq0(a不)討論

fmfn0Eg:(1)關(guān)于x的方程x22(m3)x2m140有兩個(gè)實(shí)根,且一個(gè)大于1,一個(gè)小于1,求m的取值范圍?

(2)關(guān)于x的方程x2(m3)x2m140有兩實(shí)根在[0,4]內(nèi),求m的取值范圍?

2(3)關(guān)于x的方程mx2(m3)x2m140有兩個(gè)實(shí)根,且一個(gè)大于4,一個(gè)小于4,求m的取值范圍?

9、二分法的定義

對(duì)于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷,且滿足f(a)f(b)0的函數(shù)

yf(x),通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,

使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

10、給定精確度ε,用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟:(1)確定區(qū)間[a,b],驗(yàn)證f(a)f(b)0,給定精度;(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)x1;(3)計(jì)算f(x1):

①若f(x1)=0,則x1就是函數(shù)的零點(diǎn);

②若f(a)f(x1)14、根據(jù)散點(diǎn)圖設(shè)想比較接近的可能的函數(shù)模型:一次函數(shù)模型:f(x)kxb(k0);二次函數(shù)模型:g(x)ax2bxc(a0);冪函數(shù)模型:h(x)axb(a0);

指數(shù)函數(shù)模型:l(x)abxc(a0,b>0,b1)

利用待定系數(shù)法求出各解析式,并對(duì)各模型進(jìn)行分析評(píng)價(jià),選出合適的函數(shù)模型

12

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