赤峰十中數(shù)學(xué)校本課程總結(jié)

《生活中的數(shù)學(xué)》課程總結(jié)

-----八年級數(shù)學(xué)組校本課程

自201*年9月份以來,我校師生在校領(lǐng)導(dǎo)的帶領(lǐng)下對我校校本課程的研發(fā)與實施作了大量細致認真的工作。首先在課程的研發(fā)上針對數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)科特點以及學(xué)生的年齡特點，為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，學(xué)有用的數(shù)學(xué)。為了培養(yǎng)學(xué)生的口語表達能力、口語交際能力、觀察分析的能力、增強應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的美好情感，提高學(xué)生的綜合能力。進而學(xué)會交際，學(xué)會展示，學(xué)會溝通，學(xué)會合作。我們特別制定了《生活中的數(shù)學(xué)這一課題》，這一課題在具體實施過程中充分發(fā)揮每個師生的個性特長，尊重生命個體獨特性和差異性，使孩子們健康快樂地成長，老師們享有職業(yè)的尊嚴(yán)和快樂。

我們的校本課程與學(xué)校整體計劃一致，有方案，有落實。我們通過常規(guī)的課堂教學(xué)，數(shù)學(xué)興趣活動，數(shù)學(xué)實踐活動，數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，數(shù)學(xué)課外閱讀等活動使學(xué)生在具體的情境中學(xué)習(xí)社會生活中的數(shù)學(xué)，自然中的數(shù)學(xué)，學(xué)校生活中的數(shù)學(xué)，科學(xué)知識中的數(shù)學(xué)，家庭生活中的數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)互動中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)，傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)，訓(xùn)練思維。學(xué)生在動手實踐、自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方式中有條理地、清晰地、多角度的闡述自己的觀點。打破時空范本的限制，以學(xué)生的參與與體驗為主，實現(xiàn)學(xué)科科學(xué)融合。

我校的數(shù)學(xué)校本課程充分挖掘每個學(xué)生的心智潛能，促進學(xué)生個性全面發(fā)展。集中體現(xiàn)學(xué)校的精神文化，彰顯學(xué)校文化的精髓與功力，有助于教師良好個性品質(zhì)的形成，實現(xiàn)新課程下的師生共同發(fā)展。并使學(xué)生在以下幾個方面獲益匪淺：

一、知識與技能方面：獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必須的重要數(shù)學(xué)知識，基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的數(shù)學(xué)應(yīng)用技能。

二、數(shù)學(xué)思考方面：通過具體活動發(fā)展學(xué)生的形象思維與具體思維，

使學(xué)生能有條理地、清晰地表達自己的思考過程，發(fā)展其推理能力。

三、解決問題方面：學(xué)生初步從數(shù)學(xué)的角度提出問題，理解問題，解

決問題，體驗解決問題策略的多樣化，發(fā)展其創(chuàng)新精神與實踐能力；提高人際交流，溝通與合作能力；初步形成了評價與反思的意識。

四、情感與態(tài)度方面：學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中獲得了成功的體驗，建立了

自信心；培養(yǎng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心與求知欲；讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)活動充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，形成了質(zhì)疑和獨立思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

教師對學(xué)生采用發(fā)展性的評價方式，關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)，如情感態(tài)度價值觀，積極性，參與狀況等。達到發(fā)現(xiàn)、發(fā)展學(xué)生潛能的目的，幫助學(xué)生認識現(xiàn)實的自我，規(guī)劃未來的自我，建立自信。關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，通過實踐操作、競賽、匯報表演、思維表現(xiàn)等形式獲得展示。我們把評價的重點放在學(xué)生在數(shù)學(xué)活動過程中表現(xiàn)出來的學(xué)習(xí)愿望，數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，創(chuàng)新意識與實踐能力等方面的水平。

通過數(shù)學(xué)校本課程的實施，使學(xué)生享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂，初步學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、去分析現(xiàn)實社會，解決日常生活中和其它學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，具有初步的創(chuàng)新精神和實踐能力，在體驗的基礎(chǔ)上，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的美好情感，提高學(xué)生的綜合能力。進而學(xué)會交際，學(xué)會展示，學(xué)會溝通，學(xué)會合作。

擴展閱讀：八年級校本課程目錄的解釋

掌握NE5000E/80E/40E產(chǎn)品的體系結(jié)構(gòu)掌握NE5000E/80E/40E的單板構(gòu)成掌握NE5000E/80E/40E換板操作了解NE5000E/80E/40E升級操作

校本課程目錄

數(shù)學(xué)與美----------------------------------------第2頁中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)美--------------------------------第6頁數(shù)學(xué)與文化--------------------------------------第8頁數(shù)學(xué)文化欣賞-----------------------------------第14頁從《數(shù)學(xué)與文化》中感受數(shù)學(xué)之美-----------------第17頁三角函數(shù)歷史-----------------------------------第19頁解析幾何建立的故事-----------------------------第28頁數(shù)學(xué)生活---------------------------------------第32頁半生癡迷數(shù)學(xué)著書立說---------------------------第36頁山溝里的數(shù)學(xué)家---------------------------------第38頁數(shù)學(xué)家們的生活趣事-----------------------------第40頁牛頓與萊布尼茨的數(shù)學(xué)微積分之爭-----------------第43頁怎樣才能學(xué)好數(shù)學(xué)呢-----------------------------第46頁高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法-------------------------------第50頁華羅庚談學(xué)數(shù)學(xué)方法-----------------------------第54頁怎樣才可以學(xué)好數(shù)學(xué)呢---------------------------第55頁

數(shù)學(xué)與美

數(shù)字，在人們生活中廣泛應(yīng)用；數(shù)字，創(chuàng)造了許多如詩如畫的篇章。值此第24屆國際數(shù)學(xué)家大會在北京召開之際，南京大學(xué)教授方延明寫一篇妙趣橫生的關(guān)于數(shù)字的文章，今轉(zhuǎn)載于此，以饗讀者。

我們國家是一個數(shù)學(xué)大國，也是一個數(shù)學(xué)古國，早在201*多年前，我們的祖先就有“周三經(jīng)一”的思想，也就是今天人們講的圓周率π，而西方國家到了17世紀(jì)才有這樣的概念，陳景潤關(guān)于“哥德巴赫猜想”的卓越工作，令世界震驚。

實際上，我們每一個人，天天都在跟數(shù)字打交道。一個人不識字完全可以生活，但是若不識數(shù)，就很難生活了，現(xiàn)代科技進步，對數(shù)學(xué)的要求越來越高，有一個著名科學(xué)家叫A．N．Rao，他前些年講過一句話：“一個國家的科學(xué)的進步，可以用它消耗的數(shù)學(xué)來度量。”近30年來獲諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎的專家的工作，絕大部分是因為他們在數(shù)學(xué)方面的重要成就而獲獎。

人們都知道“黃金分割”的0.618,所謂“黃金分割”，實際上是一個比例的問題，符合這樣的比例，人們就看著順眼、舒服。當(dāng)然，“情人眼里出西施”那是另外一回事。比如，人的肚臍，是人的身長的黃金分割點，你如果用從頭到肚臍的長度去除以人的身高，接近0.618,一般講是比較好看的黃金身段。而膝蓋又是人體肚臍以下部分的黃金分割點，這方面的例子很多。數(shù)字本身有深刻的美的內(nèi)容。數(shù)字和一些美好事物聯(lián)系在一起，會給人以美的享受。如十個數(shù)字：一元復(fù)始，一帆風(fēng)順；雙喜臨門、二度梅開；三陽開泰、三思而行；四通八通、四海為家；五世其昌、五官端正；六根清凈、六藝、六韜、六合、六極；七情六欲、七曜、七略；八面玲瓏、八面威風(fēng)、八仙、八卦；九霄云外、九轉(zhuǎn)金丹；十全十美。

中國古代的詩詞中更不乏數(shù)字美的佳句。如李白的“朝辭白帝彩云間，千里江陵一日還。兩岸猿聲啼不住，輕舟已過萬重山”，是公認的長江漂流的名篇，展示了一幅輕快飄逸的畫卷�！帮w流直下三千尺，疑是銀河落九天”，“白發(fā)三千丈”，也是借助數(shù)字達到了高度的藝術(shù)夸張。杜甫的“兩個黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天。窗含西嶺千秋雪，門泊東吳萬里船”，同樣膾炙人口，數(shù)字深化了時空意境。他還有“霜皮溜雨四十圍，黛色參天二千尺”，“青松恨不高千尺，惡竹應(yīng)須斬萬竿”等，表現(xiàn)出強烈的夸張和愛憎。柳宗元的“千山鳥飛絕，萬徑人蹤滅。孤舟蓑笠翁，獨釣寒江雪”，數(shù)字具有尖銳的對比和襯托作用。他的“一身去國六千里，萬死報荒十二年”和韓愈的“一封朝奏九

重天，夕貶潮州路八千”一樣，抒發(fā)遷客的失意之情，異曲同工，驚心動魄。岳飛的“三十功名塵與土，八千里路云和月”，陸游的“三萬里河?xùn)|入海，五千仞岳上摩天”，同樣是壯懷激烈的。

還有一些狀似打油詩之作，也含有一定的哲理。如唐詩《題百鳥歸巢圖》：“一只一只復(fù)一只，五六七八九十只，鳳凰何少鳥何多？食盡人間千萬石�！眰髡f鄭板橋見人賞雪吟詩，戲作：“一片二片三四片，五六七八九十片，千片萬片無數(shù)片，飛入梅花總不見。”讀來妙題橫生。

再比如，以數(shù)字入詩的唐詩“一片冰心在玉壺”（王昌齡）、“兩朝開濟老臣心”（杜甫）、“三山半落青天外”（李白）、“四邊伐鼓雪海涌”（岑參）、“五湖煙水獨忘機”（溫庭筠）、“六年西顧空吟哦”（韓愈）、“七月七日長生殿”（白居易）、“八駿日行三萬里”（李商隱）、“九重誰省諫書函”（李商隱）、“十鼓只戴數(shù)駱駝”（韓愈）、“百年都是幾多時”（元稹）、“萬古云霄一羽毛”（杜甫）等等，數(shù)字和文學(xué)語言的結(jié)合到了出神入化的境界，引人入勝。

廣為傳頌的《秀才進京趕考》與《文君復(fù)書》，把數(shù)字用活，體現(xiàn)了數(shù)字別具一格的神韻美�！缎悴胚M京趕考》，是說明朝時有一位窮書生，歷盡千辛萬苦趕往京城應(yīng)試，由于交通不便，趕到京城時，試期已過。經(jīng)他苦苦哀求，主考官讓他先從一到十，再從十到一作一對聯(lián)。窮書生想起自己的身世，當(dāng)即一氣呵成：

一葉孤舟，坐著二三個騷客，啟用四槳五帆，經(jīng)過六灘七灣，歷盡八顛九簸，可嘆十分來遲。十年寒窗，進了九八家書院，拋卻七情六欲，苦讀五經(jīng)四書，考了三番二次，今天一定要中。

幾十載的人生之路，通過十個數(shù)字形象深刻地表現(xiàn)出來了。主考官一看，拍案叫絕，并把他排在榜首。而《文君復(fù)書》說的是司馬相如赴長安趕考，對送行的妻子卓文君發(fā)誓：“不高車駟馬，不筆此過�！倍嗲榈淖课木�聽說后卻深為憂慮，就叮囑他：“男兒功名固然很重要，但也切勿為功名所纏，作繭自縛。”說完，司馬相如便上路了。他到了長安，由于在家勤奮讀書，終于官拜中郎將。從此，他沉湎于聲色犬馬、紙醉金迷，覺得卓文君配不上他了，于是就處心積慮想休妻，另娶名門千金。

一轉(zhuǎn)眼五年時間過去了。一天卓文君暗自垂淚，忽然京城來了一名差官，交給她一封信，說司馬相如大人吩咐，立等回書。卓文君接過信又驚又喜，拆開信一看，寥寥數(shù)語：“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬�！弊课木�一下子明白了，當(dāng)了新貴的丈夫，已有棄她之意。于是她回信寫道：

一別以后，二地相懸，只說三四個月，又誰知五年六年。七弦琴無心彈，八行書無可傳，九連環(huán)又從中折斷，十里長亭望眼欲穿，百思想，千思念，萬

般無奈把郎怨。萬語千言說不完，百無聊賴十依欄，重九登高看孤雁，八月中秋月圓人不圓，七月半燒香秉燭問蒼天，六伏天人人搖扇我心寒，五月石榴火紅偏遭陣陣雨澆花端，四月枇杷未黃我欲對鏡心意亂。急匆匆，三月桃花隨水轉(zhuǎn)，飄零零，二月風(fēng)箏線兒斷。噫！郎呀郎，巴不得下一世你為女來我為男。司馬相如讀后十分羞愧、內(nèi)疚，良心受到了譴責(zé)，他越想越對不起這位才華出眾、多情多義的妻子。后來他終于用高車駟馬，親自登門接走“糟糠”之妻卓文君，過上了幸福美滿的生活。

還有一些數(shù)字，往往要通過計算。通過不同數(shù)字的組合，才可以得到一些非常奇妙的排列，令人看后叫絕，回味無窮。19＋2＝11129＋3＝1111239＋4＝111112349＋5＝11111123459＋6＝1111111234569＋7＝111111112345679＋8＝11111111123456789＋9＝1111111111234567899＋10＝1111111111

這里的“”，是乘號的意思，以下都是如此。99＋7＝88989＋6＝8889879＋5＝888898769＋4＝88888987659＋3＝8888889876549＋2＝88888898765439＋1＝8888888987654329＋0＝8888888811＝11111＝121111111＝1232111111111＝1234321

1111111111＝123454321111111111111＝1234565432111111111111111＝12345676543211111111111111111＝123456787654321111111111111111111＝12345678987654321

99＝819999＝9801999999＝99800199999999＝999800019999999999＝9999800001999999999999＝99999800000199999999999999＝9999998000000118＋1＝9128＋2＝981238＋3＝98712348＋4＝9876123458＋5＝987651234568＋6＝98765412345678＋7＝9876543123456788＋8＝987654321234567898＋9＝987654321

數(shù)學(xué)是一門同人民大眾貼得很近的學(xué)科，它所討論的宇宙，遠比現(xiàn)實的所謂宇宙宏偉雄大。通常所說的宇宙只是三維空間，而數(shù)學(xué)則建立起了四維、五維乃至n維空間，并且，集合論的超限數(shù)的空間，遠遠超過了通常無窮大的空間，它們都遠比我們現(xiàn)實的宇宙更具有莊嚴(yán)美、雄偉美。數(shù)學(xué)是一座遠遠地超越了我們想象的華麗宮殿，站在這個無比莊嚴(yán)、宏偉的宇宙中的數(shù)學(xué)家們，以崇敬贊嘆的目光遠眺著它的壯觀、美妙，那些能夠感受到這種數(shù)學(xué)美、宇宙美的人，是可以被稱為愛因斯坦所謂的有宇宙宗教性的人。

中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)美

美是什么？美學(xué)界眾說紛紜，無論哪種說法，美的本質(zhì)是不變的，它是人的一種心理愉悅感受�，F(xiàn)實生活中，人們在不斷地追求美、發(fā)現(xiàn)美、創(chuàng)造美，同時也在欣賞美。大自然是美的，人類是美的，美無時不在，無處不有。“不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美�！�201*多年來，人類在探索美的藝術(shù)的同時，也在探索著美的奧秘。

一、數(shù)學(xué)之美

數(shù)學(xué)中的美如美酒，如甘泉，自古以來就吸引著人們的注意力。古希臘的學(xué)者認為球形是最完美的形體；畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了勾股定理，他為直角之角形具有這種簡明、和諧的關(guān)系而贊嘆；愛因斯坦12歲時，得到了一本歐幾里德幾何教科書，它的嚴(yán)謹(jǐn)、明澈和確定，給愛因斯坦留下了不可磨滅的印象；羅索在學(xué)習(xí)歐幾里德幾何時，感到這是他一生中的一件大事，他像初戀一樣地入了迷，沒有想到世界上還會有這樣有趣的東西。

西方有一句名言：部分與部分及部分與整體之間的協(xié)調(diào)一致就是美。據(jù)此，應(yīng)用比例的方法，人們找到了造型藝術(shù)中具有美學(xué)價值的黃金比，并稱之為“黃金分割”或“黃金律”。維納斯像與女神雅典娜像就是美的比例，美的分割，它的下身與全身之比都接近0.618，人體天生有自然美，它的比例也符合“黃金律”。無怪于德國天文學(xué)家開普勒稱黃金分割為“幾何學(xué)的一大寶藏！”對稱的圖形給人以美的享受，而不對稱的現(xiàn)象中同樣存在著美，這就是黃金分割的美。如今，設(shè)計師和藝術(shù)家們已經(jīng)利用這一規(guī)律創(chuàng)造出了許多令人心醉的建筑和無價的藝術(shù)珍寶。

數(shù)學(xué)美比比皆是，正如人們常說的：“哪里有數(shù)，哪里就有美�！睌�(shù)學(xué)美不同于自然美或藝術(shù)美。古希臘偉大的哲學(xué)家亞里斯多德說過：雖然數(shù)學(xué)沒有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數(shù)學(xué)完全分離，因為美的主要形式就是“秩序、勻稱和確定性”，這些正是數(shù)學(xué)研究的原則。英國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)邏輯學(xué)家羅索則把數(shù)學(xué)之美形容成一種“冷而嚴(yán)肅的美�！彼�說：數(shù)學(xué)如果正確地對待它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，這種美不僅是投合我們天性的微弱方面，這種美沒有繪畫和音樂那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)能顯示的那種完美的境地。維納則說：數(shù)學(xué)實質(zhì)上是藝術(shù)的一種。

可見，數(shù)學(xué)美是一種完全和諧的、抽象形式的藝術(shù)美，是一種客觀存在，是自然美在數(shù)學(xué)中的反映；同時，也是反映客觀世界并能動地改造客觀世界的科學(xué)美。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的美

人們常說：“成功的教學(xué)給人一種美的享受。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅存在數(shù)學(xué)科的藝術(shù)美、科學(xué)美，而且存在著數(shù)學(xué)教學(xué)美。成功的教學(xué)是美的，因為它既符合數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律，又顯示了人的本質(zhì)力量。教學(xué)活動是師生的共同活動，一方面

教師在數(shù)學(xué)寶庫中提練出知識并把它濃縮成教案，然后通過教學(xué)的方式傳遞給學(xué)生；另一方面在教學(xué)的過程中學(xué)生增長了知識和聰明才智，顯示了自己的本質(zhì)力量。數(shù)學(xué)教學(xué)過程不僅僅是學(xué)生個體的認識過程和發(fā)展過程，而且是在教師的指導(dǎo)下的一種特殊的審美過程，通過數(shù)學(xué)教學(xué)審美活動，可以激勵學(xué)生的情感、凈化學(xué)生的心靈、陶冶學(xué)生的情操。在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，很多內(nèi)容都反映了數(shù)學(xué)美。如“勾三股四弦五”體現(xiàn)了直角三角形中的奇異美（特殊性），從到，又體現(xiàn)了一種統(tǒng)一美。而對于一般三角形，這種統(tǒng)一美又得到了突破，得到余弦定理，余弦定理在新的高度上又得到了新的統(tǒng)一。而CosC>0、CosC=0、CosC

學(xué)之美，將會取得事半功倍的效果。參考文獻：

《數(shù)學(xué)教學(xué)藝術(shù)概論》《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)技能訓(xùn)練》《中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法》《數(shù)學(xué)教學(xué)論與數(shù)學(xué)改革》《發(fā)明創(chuàng)造100例》（數(shù)學(xué)卷）

數(shù)學(xué)與文化

數(shù)學(xué)研究的是現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，它作為一門基礎(chǔ)科學(xué)，既廣泛應(yīng)用于技術(shù)工程中，又是研究許多理論科學(xué)必不可少的工具。然而，由于數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，一般人對它存在著片面的認識。本文開篇就提出了鮮明的觀點：“數(shù)學(xué)一直是形成現(xiàn)代文化的主要力量，同時又是這種文化極其重要的因素�！弊髡吡信e了歷史上人們對數(shù)學(xué)的誤解，在各個層面上論述了數(shù)學(xué)在人類文化中的作用，對它的本質(zhì)和應(yīng)用作了精要的分析。作者引用懷特海關(guān)于“阿基米德死于一個羅馬士兵之手”的精彩論述，將數(shù)學(xué)放在廣闊的社會背景中來說明它的文化意義，發(fā)人深省。本文文質(zhì)兼美，作者旁征博引，說理透辟，議論精警。數(shù)學(xué)一直是形成現(xiàn)代文化的主要力量，同時又是這種文化極其重要的因素。這種觀點在許多人看來是難以置信的，或者充其量來說也只是一種夸張的說法。這種懷疑態(tài)度完全可以理解，它是一種普遍存在的對數(shù)學(xué)實質(zhì)的錯誤概念所帶來的結(jié)果。

由于受學(xué)校教育的影響，一般人認為數(shù)學(xué)僅僅是對科學(xué)家、工程師，或許還有金融家才有用的一系列技巧。這樣的教育導(dǎo)致了對這門學(xué)科的厭惡和對它的忽視。當(dāng)有人對這種狀況提出異議時，某些飽學(xué)之士可以得到權(quán)威們的支持。圣釩鹿潘茍彩シ奧古斯丁(354430)〕基督教神學(xué)家、哲學(xué)家，北非希波主教。生于北非塔加斯特(現(xiàn)在阿爾及利亞的蘇克阿赫臘斯)。他的神學(xué)體系5至12世紀(jì)在西歐基督教會中占統(tǒng)治地位。主要著作有《上帝之城》《預(yù)定論》《論三位一體》等。

他說過：“好的基督徒應(yīng)該提防數(shù)學(xué)家和那些空頭許諾的人。這樣的危險已經(jīng)存在，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)與魔鬼簽訂了協(xié)約，要使精神進入黑暗，把人投入地獄�！惫帕_馬法官則裁決“對于作惡者、數(shù)學(xué)家諸如此類的人”，應(yīng)禁止他們“學(xué)習(xí)幾何技藝和參加當(dāng)眾運算像數(shù)學(xué)這樣可惡的學(xué)問”。叔本華〔叔本華(17881860)〕19世紀(jì)德國哲學(xué)家，惟意志論的創(chuàng)始人。認為人生就是苦難。他對科學(xué)研究評價不高，認為科學(xué)研究是為了滿足物質(zhì)欲望。，這位在現(xiàn)代哲學(xué)史上占有重要地位的哲學(xué)家，也把算術(shù)說成是最低級的精神活動，他之所以持這種態(tài)度，是基于算術(shù)能通過機器來運算這一事實。

由于學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的影響，這些權(quán)威性的論斷和流行的看法，竟被認為是正確的!但是一般人忽視數(shù)學(xué)的觀點仍然是錯誤的。數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列的技巧。這些技巧只不過是它微不足道的方面：它們遠不能代表數(shù)學(xué)，就如同調(diào)配顏色遠不能當(dāng)作繪畫一樣。技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物。如果我們對數(shù)學(xué)的本質(zhì)有一定的了解，就會認識到數(shù)學(xué)在形成現(xiàn)代生活和思想中起重要作用這一斷言并不是天方夜譚。

因此，讓我們看一看20世紀(jì)人們對這門學(xué)科的態(tài)度。首先，數(shù)學(xué)主要是一種尋求眾所周知的公理法思想的方法。這種方法包括明確地表述出將要討論的概念的定義，以及準(zhǔn)確地表述出作為推理基礎(chǔ)的公理。具有極其嚴(yán)密的邏輯思維能

力的人從這些定義和公理出發(fā)，推導(dǎo)出結(jié)論。數(shù)學(xué)的這一特征由17世紀(jì)一位著名的作家在論及數(shù)學(xué)和科學(xué)時，以某種不同的方式表述過：“數(shù)學(xué)家們像戀人承認一位數(shù)學(xué)家的最初的原理，那么他由此將會推導(dǎo)出你也必須承認的另一結(jié)論，從這一結(jié)論又推導(dǎo)出其他的結(jié)論。”

僅僅把數(shù)學(xué)看作一種探求的方法，就如同把達販移妗泊鋟芬奇(14521519)〕意大利文藝復(fù)興時期的美術(shù)家、科學(xué)家、工程師。繪畫代表作有《最后的晚餐》《蒙娜麗莎》等�！蹲詈蟮耐聿汀房醋魇钱嫴忌项伭系慕M合一樣。數(shù)學(xué)也是一門需要創(chuàng)造性的學(xué)科。在預(yù)測能被證明的內(nèi)容時，和構(gòu)思證明的方法時一樣，數(shù)學(xué)家們利用高度的直覺和想像。例如，牛頓和開普勒〔開普勒(15711630)〕德國物理學(xué)家、天文學(xué)家，提出了行星運動的三大定律。就是極富于想像力的人，這使得他們不僅打破了長期以來僵化的傳統(tǒng)，而且建立了新的、革命性的概念。在數(shù)學(xué)中，人的創(chuàng)造能力運用的范圍，只有通過檢驗這些創(chuàng)造本身才能決定。有些創(chuàng)造性成果將在后面討論，但這里只需說一下現(xiàn)在這門學(xué)科已有八十多個廣泛的分支就夠了。

如果數(shù)學(xué)的確是一種創(chuàng)造性活動，那么驅(qū)使人們?nèi)プ非笏�的動力是什么�?研究數(shù)學(xué)最明顯的、盡管不一定是最重要的動力是為了解決因社會需要而直接提出的問題。商業(yè)和金融事務(wù)、航海、歷法的計算、橋梁、水壩、教堂和宮殿的建造、作戰(zhàn)武器和工事的設(shè)計，以及許多其他的人類需要，數(shù)學(xué)能對這些問題給出最完滿的解決。在我們這個工程時代，數(shù)學(xué)被當(dāng)作普遍工具這一事實更是毋庸置疑。

數(shù)學(xué)的另外一個基本作用(的確，這一點在現(xiàn)代特別突出)，那就是提供自然現(xiàn)象的合理結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)的概念、方法和結(jié)論是物理學(xué)的基礎(chǔ)。這些學(xué)科的成就大小取決于它們與數(shù)學(xué)結(jié)合的程度。數(shù)學(xué)已經(jīng)給互不關(guān)聯(lián)的事實的干枯骨架注入了生命，使其成了有聯(lián)系的有機體，并且還將一系列彼此脫節(jié)的觀察研究納入科學(xué)的實體之中。

智力方面的好奇心和對純思維的強烈興趣，激勵許多數(shù)學(xué)家研究數(shù)的性質(zhì)和幾何圖形，并且取得了富有創(chuàng)造性的成果。今天很受重視的概率論，就開始于牌賭中的一個問題一場賭博在結(jié)束之前就被迫中止了，那么賭注如何分配才合理?另外一個與社會需要或科學(xué)沒有什么聯(lián)系的最突出的成就，就是由古代希臘人創(chuàng)造出來的，他們把數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變成了抽象的、演繹的和公理化的思想系統(tǒng)。事實上，數(shù)學(xué)學(xué)科中一些最偉大的成就射影幾何、數(shù)論、超窮數(shù)理論和非歐幾何〔非歐幾何〕一種不同于歐幾里得幾何學(xué)的幾何體系的簡稱，一般指羅巴切夫斯基的雙曲幾何和黎曼的橢圓幾何。它們與歐氏幾何的最主要區(qū)別在于公理體系中采用了不同的平行公理。，這里我只提到我們將要討論的內(nèi)容都是為了解決純智力的挑戰(zhàn)。

進行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的最主要的驅(qū)動力是對美的追求。羅素②〔羅素(18721970)〕英國哲學(xué)家、數(shù)理邏輯學(xué)家，分析哲學(xué)的創(chuàng)始人。1950年獲諾貝爾文學(xué)獎。一生著述一百多種，主要著作有《論幾何學(xué)的基礎(chǔ)》《數(shù)學(xué)原理》(與懷特海合著)《西方哲學(xué)史》《人類知識》等。，這位抽象數(shù)學(xué)思想的大師曾直言不諱地說：數(shù)學(xué)，如果正確地看它，則具有至高無上的美正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識這些是至善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能夠在詩里得到，也能夠在

數(shù)學(xué)里得到。

除了完善的結(jié)構(gòu)美以外，在證明和得出結(jié)論的過程中，運用必不可少的想像和直覺也給創(chuàng)造者提供了高度的美學(xué)上的滿足。如果美的組成和藝術(shù)作品的特征包括洞察力和想像力，對稱性和比例、簡潔，以及精確地適應(yīng)達到目的的手段，那么數(shù)學(xué)就是一門具有其特有完美性的藝術(shù)。盡管歷史已清楚地表明，上述所有因素推動了數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展，但是依然存在著許多錯誤的觀點。有這樣的指責(zé)(經(jīng)常是用來為對這門學(xué)科的忽視作辯解的)，認為數(shù)學(xué)家們喜歡沉湎于毫無意義的臆測；或者認為數(shù)學(xué)家們是笨拙和毫無用處的夢想家。對這種指責(zé)，我們可以立刻作出使其無言以對的駁斥。事實證明，即使是純粹抽象的研究，也是有極大用處的，更不用說由于科學(xué)和工程的需要而進行的研究了。圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線)自被發(fā)現(xiàn)兩千多年來，曾被認為不過是“富于思辨頭腦中的無利可圖的娛樂”，可是最終它卻在現(xiàn)代天文學(xué)、仿射運動理論和萬有引力定律中發(fā)揮了作用。另一方面，一些“具有社會頭腦”的作家斷言：數(shù)學(xué)完全或者主要是由于實際需要，如需要建筑橋梁、制造雷達和飛機而產(chǎn)生或發(fā)展的。這種斷言也是錯誤的。數(shù)學(xué)已經(jīng)使這些對人類方便有用的東西成為可能，但是偉大的數(shù)學(xué)家在進行思考和研究時卻很少把這些放在心上。有些人對實際應(yīng)用漠不關(guān)心，這可能是因為他們成果的應(yīng)用在幾百年后才實現(xiàn)。畢達哥拉斯和柏拉圖的唯心主義數(shù)學(xué)玄想，比起貨棧職員采用“”號和“”號的實際行動來(這曾使某一作家深信“數(shù)學(xué)史上的一個轉(zhuǎn)折點乃是由日常的社會活動所致”)，所作的貢獻要大得多。確實，幾乎每一個偉大的人物所考慮的都是他那個時代的問題，流行的觀點會制約和限制他的思想。如果牛頓早生兩百年，他很有可能會成為一位出色的神學(xué)家。偉大的思想家追求時代智力風(fēng)尚，就如同婦女在服飾上趕時髦一樣。即使是把數(shù)學(xué)作為純粹業(yè)余愛好的富有創(chuàng)造性的天才，也會去研究令專業(yè)數(shù)學(xué)家和科學(xué)家感到十分激動的問題。但是，那些“業(yè)余愛好者”和數(shù)學(xué)家們一般并不十分關(guān)心他們工作的實用價值。

實用的、科學(xué)的、美學(xué)的和哲學(xué)的因素，共同促進了數(shù)學(xué)的形成。把這些做出貢獻、產(chǎn)生影響的因素中的任何一個除去，或者抬高一個而去貶低另外一個都是不可能的，甚至不能斷定這些因素中誰具有相對的重要性。一方面，對美學(xué)和哲學(xué)因素作出反應(yīng)的純粹思維決定性地塑造了數(shù)學(xué)的特征，并且作出了像歐氏幾何和非歐幾何這樣不可超越的貢獻。另一方面，數(shù)學(xué)家們登上純思維的頂峰不是靠他們自己一步步攀登，而是借助于社會力量的推動。如果這些力量不能為數(shù)學(xué)家們注入活力，那么他們就立刻會身疲力竭，然后他們就僅僅只能維持這門學(xué)科處于孤立的境地。雖然在短時期內(nèi)還有可能光芒四射，但所有這些成就會是曇花一現(xiàn)。

數(shù)學(xué)的另一個重要特征是它的符號語言。如同音樂利用符號來代表和傳播聲音一樣，數(shù)學(xué)也用符號表示數(shù)量關(guān)系和空間形式。與日常講話用的語言不同，日常語言是習(xí)俗的產(chǎn)物，也是社會和政治運動的產(chǎn)物，而數(shù)學(xué)語言則是慎重的、有意的而且經(jīng)常是精心設(shè)計的，憑借數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)密性和簡潔性，數(shù)學(xué)家們就可以表達和研究數(shù)學(xué)思想，這些思想如果用普通語言表達出來，就會顯得冗長不堪。這種簡潔性有助于思維的效率。J.K.杰羅姆〔J.K.杰羅姆(18591927)〕英國小說家、劇作家。主要作品有《懶漢的癡想》《三人出游記》等。，為了需要求諸于代數(shù)符號，在下面一段描寫中，盡管與數(shù)學(xué)無關(guān)，卻清楚地表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實用性和明了性：

當(dāng)一個20世紀(jì)的青年墮入情網(wǎng)時，他不會后退三步，看著他心愛的姑娘的眼睛，對她說她是世界上最漂亮的人兒。他說他要冷靜下來，仔細考慮這件事。如果他在外面碰上一個人，并且打破了他的腦袋我指另外一個人的腦袋于是那就證明了他的前面那個小伙子姑娘是個漂亮姑娘。如果是另外一個小伙子打破了他的腦袋不是他自己的，你知道，而是另外那個人的對第二個小伙子來說的另外一個。因為另外一個小伙子只是對他來說是另外一個，而不是對前面那個小伙子那么，如果他打破了他的頭，那么他的姑娘不是另外一個小伙子，而是那個小伙子，他瞧：如果A打破了B的腦袋，那么A的姑娘是一個漂亮的姑娘。但如果B打破了A的頭，那么A的姑娘就不是一個漂亮的姑娘，而B的姑娘是一個漂亮的姑娘。

簡潔的符號能夠使數(shù)學(xué)家們進行復(fù)雜的思考時應(yīng)付自如，但也會使門外漢聽數(shù)學(xué)討論如墮五里云霧。

數(shù)學(xué)語言中使用的符號十分重要，它們能區(qū)別日常語言中經(jīng)常引起混亂的意義。例如，英語中使用“is”一詞時，就有多種不同的意義。在“他在這兒”（Heishere）這個句子中，“is”就表示一種物理位置。在“天使是白色的”（Anangeliswhite）這個句子中，它表示天使的一種與位置或物理存在無關(guān)的屬性。在“那個人正在跑”（Themanisrunning）這個句子中，這個詞“is”表示的是動詞時態(tài)。在“二加二等于四”（Twoandtwoarefour）這個句子中，is的形式被用于表示數(shù)字上的相等。在“人是兩足的能思維的哺乳動物”（Menarethetwoleggedthinkingmammals）這個句子中，is的形式被用來斷言兩組之間的等同。當(dāng)然，在一般日常會話中引用各種各樣不同的詞來解釋is的所有這些意義，不過是畫蛇添足，因為盡管有這些意義上的混亂，人們也不會因此產(chǎn)生什么誤會。但是，數(shù)學(xué)的精確性它與科學(xué)和哲學(xué)的精確性一樣，要求數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究者們更加謹(jǐn)慎。數(shù)學(xué)語言是精確的，它是如此精確，以致常常使那些不習(xí)慣于它特有形式的人覺得莫名其妙。如果一個數(shù)學(xué)家說：“今天我沒看見一個人”（Ididnotseeonepersontoday），那么他的意思可能是，他要么一個人也沒看見，要么他看見了許多人。一般人則可能簡單地認為他一個人也沒看見。數(shù)學(xué)的這種精確性，在一個還沒有認識到它對于精密思維的重要性的人看來，似乎顯得過于呆板，過于拘泥于形式。然而任何精密的思維和精確的語言都是不可分割的。畢達哥拉斯定理（勾股定里）數(shù)學(xué)風(fēng)格以簡潔和形式的完善作為其目標(biāo)，但有時由于過分地拘泥于形式上的完美和簡潔，以致喪失了精確竭力要達到的清晰。假定我們想用一般術(shù)語表述畢達哥拉斯定理所示的內(nèi)容，我們很有可能說：“有一個直角三角形，畫兩個以該三角形的直角邊作為其邊的正方形，然后再畫一個以該三角形斜邊作為其邊的正方形，那么第三個正方形的面積就等于前面兩個正方形面積之和。”但是沒有一個數(shù)學(xué)家會用這樣的方式來表達自己的想法。他會這樣說：“直角三角形直角邊的平方和等于斜邊的平方�！边@種簡潔的用詞使表述更為精練，而且這種數(shù)學(xué)表達式具有重要的意義，因為它的確是言簡意賅。還有，由于這種惜墨如金的做法，任何數(shù)學(xué)文獻的讀者有時會發(fā)現(xiàn)自己的耐心受到了極大的考驗。數(shù)學(xué)不僅是一種方法、一門藝術(shù)或一種語言，數(shù)學(xué)更主要的是一門有著豐富內(nèi)容的知識體系，其內(nèi)容對自然科學(xué)家、社會科學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家十分有用，同時影響著政治家和神學(xué)家的學(xué)說；滿足了人類探索宇宙的好奇心和對美妙音樂的冥想；甚至可能有時以難以察覺到的方式但無可置疑地影響著現(xiàn)

代歷史的進程。在最廣泛的意義上說，數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，使得人類的思維得以運用到最完善的程度，也正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會生活；試圖回答有關(guān)人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻的和最完美的內(nèi)涵。

數(shù)學(xué)還有一個更加典型的特征與我們的論述密切相關(guān)。數(shù)學(xué)是一棵富有生命力的樹，它隨著文明的興衰而榮枯。它從史前誕生之時起，就為自己的生存而斗爭，這場斗爭經(jīng)歷了史前的幾個世紀(jì)和隨后有文字記載歷史的幾個世紀(jì)，最后終于在肥沃的希臘土壤中扎穩(wěn)了生存的根基，并且在一個較短的時期里茁壯成長起來了。在這個時期，它綻出了一朵美麗的花歐氏幾何。其他的花蕾也含苞欲放。如果你仔細觀察，還可以看到三角和代數(shù)學(xué)的雛形；但是這些花朵隨著希臘文明的衰亡而枯萎了，這棵樹也沉睡了一千年之久。這就是數(shù)學(xué)那時的狀況。后來這棵樹被移植到了歐洲本土，又一次很好地扎根在肥沃的土壤中。到公元1600年，她又獲得了在古希臘頂峰時期曾有過的旺盛的生命力，而且準(zhǔn)備開創(chuàng)史無前例的光輝燦爛的前景。如果我們將17世紀(jì)以前所了解的數(shù)學(xué)稱為初等數(shù)學(xué)，那么我們能說，初等數(shù)學(xué)與從那以后創(chuàng)造出的數(shù)學(xué)相比是微不足道的。事實上，一個人擁有牛頓處于頂峰時期所掌握的知識，在今天不會被認為是一位數(shù)學(xué)家。因為與普通的觀點相反，現(xiàn)在應(yīng)該說數(shù)學(xué)是從微積分開始，而不是以此為結(jié)束。在我們這個世紀(jì)，這門學(xué)科已具有非常廣泛的內(nèi)容，以致沒有任何數(shù)學(xué)家能夠宣稱他已精通全部數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)發(fā)展的這幅素描，盡管簡略，但卻表明數(shù)學(xué)的生命力正是根植于養(yǎng)育她的文明的社會生活之中。事實上，數(shù)學(xué)一直是文明和文化的重要組成部分，因此許多歷史學(xué)家通過數(shù)學(xué)這面鏡子，了解了古代其他主要文化的特征。以古典時期的古希臘文化為例，它大約從公元前600年延續(xù)到公元前300年。由于古希臘數(shù)學(xué)家強調(diào)嚴(yán)密的推理以及由此得出的結(jié)論，因此他們所關(guān)心的并不是這些成果的實用性，而是教育人們?nèi)ミM行抽象的推理，和激發(fā)人們對理想與美的追求。因此，看到這個時代具有很難為后世超越的優(yōu)美文學(xué)，極端理性化的哲學(xué)，以及理想化的建筑與雕刻，也就不足為奇了。

數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的缺乏也表現(xiàn)在一個時代文明的文化里，這一點也是真實的�？纯戳_馬的情況吧。在數(shù)學(xué)史上，羅馬人在一定時期內(nèi)曾作出過貢獻，但從那以后他們就開始停滯不前了。阿基米德，最偉大的古希臘數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，在公元前221年被突然闖入的羅馬士兵殺害了，當(dāng)時他正在研究畫在沙盤中的幾何圖形。對此，A.N.懷特�！睞.N.懷特海(18611947)〕英國數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家，過程哲學(xué)的創(chuàng)始人。曾任美國哈佛大學(xué)哲學(xué)教授，英國科學(xué)院院士。主要著作有《數(shù)學(xué)原理》(與羅素合著)《數(shù)學(xué)導(dǎo)論》《相對論原理》《科學(xué)與近代世界》等。說過：

阿基米德死于一個羅馬士兵之手，是一個世界發(fā)生頭等重要變化的標(biāo)志；愛好抽象科學(xué)、擅長推理的古希臘在歐洲的霸主地位，被重實用的羅馬取代了。洛德繁瓤纖狗貧?LordBeaconsfield)，在他的一部小說中，曾把重實用的人稱為是重復(fù)其先輩錯誤的人。羅馬是一個偉大的民族，但是他們卻由于只重實用而導(dǎo)致了創(chuàng)造性的缺乏。他們沒有發(fā)展其祖先的知識，他們所有的進步都局限于工程技術(shù)的細枝末節(jié)。他們并不是那種能夠提出新觀點的夢想家，這些新觀點能給人以更好地主宰自然界的力量。沒有一個羅馬人因為沉湎于數(shù)學(xué)圖形而喪命。事實上，西塞羅〔西塞羅(公元前106前43年)〕古羅馬共和國末期的政

治家和哲學(xué)家。公元前63年任執(zhí)政官，公元前51年任西里西亞總督。主要哲學(xué)著作有《論目的》《神學(xué)論》《論命運》等。夸耀自己的同胞感謝上帝不是像希臘人一樣的夢想家，而是把他們的數(shù)學(xué)研究派上實際用場的人。注重實用的羅馬帝國，將其精力用于權(quán)術(shù)和征服外邦。為迎接軍隊勝利歸來的拱形的凱旋門，也許是羅馬帝國的最好象征，但它們不是顯得得體優(yōu)雅，而是顯得毫無生氣。羅馬最突出的特征也許是麻木不仁，羅馬人幾乎沒有真正的獨創(chuàng)精神。簡言之，羅馬文化是外來的，羅馬時期的大多數(shù)成就主要淵源于小亞細亞的希臘，此時小亞細亞的希臘正處于羅馬政權(quán)統(tǒng)治之下。這幾個例子告訴我們，一個時代的總的特征在很大程度上與這個時代的數(shù)學(xué)活動密切相關(guān)。這種關(guān)系在我們這個時代尤為明顯。在不抹煞歷史學(xué)家、經(jīng)濟學(xué)家、哲學(xué)家、作家、詩人、畫家和政治家功績的前提下，我們可以這樣說：其他文明已經(jīng)產(chǎn)生了在能力和成就方面同等的效果。另一方面，盡管歐幾里得和阿基米德無疑地是極其卓越的思想家，盡管我們的數(shù)學(xué)家得以達到更高的水平，這僅僅是因為像牛頓所說的那樣，他們是站在巨人的肩膀上。然而，正是在我們這個時代，數(shù)學(xué)才達到了它應(yīng)該達到的范圍，而且有著不同尋常的用途。這樣，由于數(shù)學(xué)已經(jīng)廣泛地影響著現(xiàn)代生活和思想，今天的西方文明與以往任何歷史上的文明都有著明顯的區(qū)別。

數(shù)學(xué)文化欣賞

數(shù)學(xué)作為一種文化現(xiàn)象，早已是人們的常識。歷史地看，古希臘和文藝復(fù)興時期的文化名人，往往本身就是數(shù)學(xué)家。最著名的如柏拉圖和達芬奇。晚近以來，愛因斯坦、希爾伯特、羅素、馮諾依曼等文化名人也都是20世紀(jì)數(shù)學(xué)文明的締造者。

一、數(shù)學(xué)文化的存在價值

在公布的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，數(shù)學(xué)文化是一個單獨的板塊，給予了特別的重視。許多老師會問為什么要這樣做？一個重要的原因是，20世紀(jì)初年的數(shù)學(xué)曾經(jīng)存在著脫離社會文化的孤立主義傾向，并一直影響到今天的中國。數(shù)學(xué)的過度形式化，使人錯誤地感到數(shù)學(xué)只是少數(shù)天才腦子里想象出來的“自由創(chuàng)造物”，數(shù)學(xué)的發(fā)展無須社會的推動，其真理性無須實踐的檢驗，當(dāng)然，數(shù)學(xué)的進步也無須人類文化的哺育。于是，西方的數(shù)學(xué)界有“經(jīng)驗主義的復(fù)興”。懷特（L.A.White）的數(shù)學(xué)文化論力圖把數(shù)學(xué)回歸到文化層面�？巳R因（M.Kline）的《古今數(shù)學(xué)思想》、《西方文化中的數(shù)學(xué)》、《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》相繼問世，力圖營造數(shù)學(xué)文化的人文色彩。

國內(nèi)最早注意數(shù)學(xué)文化的學(xué)者是北京大學(xué)的教授孫小禮，她和鄧東皋等合編的《數(shù)學(xué)與文化》，匯集了一些數(shù)學(xué)名家的有關(guān)論述，也記錄了從自然辯證法研究的角度對數(shù)學(xué)文化的思考。稍后出版的有齊民友的《數(shù)學(xué)與文化》，主要從非歐幾何產(chǎn)生的歷史闡述數(shù)學(xué)的文化價值，特別指出了數(shù)學(xué)思維的文化意義。鄭毓信等出版的專著《數(shù)學(xué)文化學(xué)》，特點是用社會建構(gòu)主義的哲學(xué)觀，強調(diào)“數(shù)學(xué)共同體”產(chǎn)生的文化效應(yīng)。

以上的著作以及許多的論文，都力圖把數(shù)學(xué)從單純的邏輯演繹推理的圈子中解放出來，重點是分析數(shù)學(xué)文明史，充分揭示數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，肯定數(shù)學(xué)作為文化存在的價值。

二、認識和實施數(shù)學(xué)文化教育

進入21世紀(jì)之后，數(shù)學(xué)文化的研究更加深入。一個重要的標(biāo)志是數(shù)學(xué)文化走進中小學(xué)課堂，滲入實際數(shù)學(xué)教學(xué)，努力使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中真正受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，體會數(shù)學(xué)的文化品位，體察社會文化和數(shù)學(xué)文化之間的互動。

那么，如何在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中進行數(shù)學(xué)文化教育呢？筆者認為應(yīng)該從以下幾個方面加以認識和實施。

（一）認識數(shù)學(xué)文化的民族性和世界性

每個民族都有自己的文化，也就一定有屬于這個文化的數(shù)學(xué)。古希臘的數(shù)學(xué)和中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)都有輝煌的成就、優(yōu)秀的傳統(tǒng)。但是，它們之間有著明顯的差異。古希臘和古代中國的不同政治文明孕育了不同的數(shù)學(xué)。

古希臘是奴隸制國家。當(dāng)時希臘的雅典城邦實行奴隸主的民主政治（廣大奴隸不能享受這種民主）。男性奴隸主的全體大會選舉執(zhí)政官，對一些戰(zhàn)爭、財政

大事實行民主表決。這種政治文明包含著某些合理的因素。奴隸主之間講民主，往往需要用理由說服對方，使學(xué)術(shù)上的辯論風(fēng)氣濃厚。為了證明自己堅持的是真理，也就需要證明。先設(shè)一些人人皆同意的“公理”，規(guī)定一些名詞的意義，然后把要陳述的命題，稱為公理的邏輯推論。歐氏的《幾何原本》正是在這樣的背景下產(chǎn)生的。

中國在春秋戰(zhàn)國時期也有百家爭鳴的學(xué)術(shù)風(fēng)氣，但是沒有實行古希臘統(tǒng)治者之間的民主政治，而是實行君王統(tǒng)治制度。春秋戰(zhàn)國時期，也是知識分子自由表達見解的黃金年代。當(dāng)時的思想家和數(shù)學(xué)家，主要目標(biāo)是幫助君王統(tǒng)治臣民、管理國家。因此，中國的古代數(shù)學(xué)，多半以“管理數(shù)學(xué)”的形式出現(xiàn)，目的是為了丈量田畝、興修水利、分配勞力、計算稅收、運輸糧食等國家管理的實用目標(biāo)。理性探討在這里退居其次。因此，從文化意義上看，中國數(shù)學(xué)可以說是“管理數(shù)學(xué)”和“木匠數(shù)學(xué)”，存在的形式則是官方的文書。

古希臘的文化時尚，是追求精神上享受，以獲得對大自然的理解為最高目標(biāo)。因此，“對頂角相等”這樣的命題，在《幾何原本》里列入命題15，借助公理3（等量減等量，其差相等）給予證明。在中國的數(shù)學(xué)文化里，不可能給這樣的直觀命題留下位置。

同樣，中國數(shù)學(xué)強調(diào)實用的管理數(shù)學(xué)，卻在算法上得到了長足的發(fā)展。負數(shù)的運用、解方程的開根法，以及楊輝（賈憲）三角、祖沖之的圓周率計算、天元術(shù)那樣的精致計算課題，也只能在中國誕生，而為古希臘文明所輕視。

我們應(yīng)當(dāng)充分重視中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的實用與算法的傳統(tǒng)，同時又必須吸收人類一切有益的數(shù)學(xué)文化創(chuàng)造，包括古希臘的文化傳統(tǒng)。當(dāng)進入21世紀(jì)的時候，我們作為地球村的村民，一定要溶入世界數(shù)學(xué)文化，將民族性和世界性有機地結(jié)合起來。

（二）揭示數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，走出數(shù)學(xué)孤立主義的陰影

數(shù)學(xué)的內(nèi)涵十分豐富。但在中國數(shù)學(xué)教育界，常常有“數(shù)學(xué)=邏輯”的觀念。據(jù)調(diào)查，學(xué)生們把數(shù)學(xué)看作“一堆絕對真理的總集”，或者是“一種符號的游戲”�！皵�(shù)學(xué)遵循記憶事實-運用算法-執(zhí)行記憶得來的公式-算出答案”的模式[1]，“數(shù)學(xué)=邏輯”的公式帶來了許多負面影響。正如一位智者所說，一個充滿活力的數(shù)學(xué)美女，只剩下一副X光照片上的骨架了！

數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，包括用數(shù)學(xué)的觀點觀察現(xiàn)實，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的語言、圖表、符號表示，進行數(shù)學(xué)交流。通過理性思維，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)素質(zhì)，追求創(chuàng)新精神，欣賞數(shù)學(xué)之美。

半個多世紀(jì)以前，著名數(shù)學(xué)家柯朗（R.Courant）在名著《數(shù)學(xué)是什么》的序言中這樣寫道：“今天，數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位陷入嚴(yán)重的危機。數(shù)學(xué)教學(xué)有時竟變成一種空洞的解題訓(xùn)練。數(shù)學(xué)研究已出現(xiàn)一種過分專門化和過于強調(diào)抽象的趨勢，而忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及與其他領(lǐng)域的聯(lián)系。教師學(xué)生和一般受過教育的人都要求有一個建設(shè)性的改造，其目的是要真正理解數(shù)學(xué)是一個有機整體，是科學(xué)思考與行動的基礎(chǔ)�！�

201*年8月20日，丘成桐接受《東方時空》的采訪時說：“我把《史記》當(dāng)作歌劇來欣賞”，“由于我重視歷史，而歷史是宏觀的，所以我在看數(shù)學(xué)問題時常常采取宏觀的觀點，和別人的看法不一樣�！边@是一位數(shù)學(xué)大家的數(shù)學(xué)文化闡述。

《文匯報》201*年8月21日摘要刊出錢偉長的文章《哥丁根學(xué)派的追求》，其中提到：“這使我明白了：數(shù)學(xué)本身很美，然而不要被它迷了路。應(yīng)用數(shù)學(xué)的

任務(wù)是解決實際問題，不是去完善許多數(shù)學(xué)方法，我們是以解決實際問題為己任的。從這一觀點上講，我們應(yīng)該是解決實際問題的優(yōu)秀‘屠夫’，而不是制刀的‘刀匠’，更不是那種一輩子欣賞自己的刀多么鋒利而不去解決實際問題的刀匠�！边@是一個力學(xué)家的數(shù)學(xué)文化觀。

和所有文化現(xiàn)象一樣，數(shù)學(xué)文化直接支配著人們的行動。孤立主義的數(shù)學(xué)文化，一方面拒人于千里之外，使人望數(shù)學(xué)而生畏；另一方面，又孤芳自賞，自言自語，令人把數(shù)學(xué)家當(dāng)成“怪人”。學(xué)校里的數(shù)學(xué)，原本是青少年喜愛的學(xué)科，卻成為過濾的“篩子”、打人的“棒子”。優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化，會是美麗動人的數(shù)學(xué)王后、得心應(yīng)手的仆人、聰明伶俐的寵物。伴隨著先進的數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)教學(xué)會變得生氣勃勃、有血有肉、光彩照人。（三）多側(cè)面地開展數(shù)學(xué)文化研究

談到數(shù)學(xué)文化，往往會聯(lián)想到數(shù)學(xué)史。確實，宏觀地觀察數(shù)學(xué)，從歷史上考察數(shù)學(xué)的進步，確實是揭示數(shù)學(xué)文化層面的重要途徑。但是，除了這種宏觀的歷史考察之外，還應(yīng)該有微觀的一面，即從具體的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想中揭示數(shù)學(xué)的文化底蘊。以下將闡述一些新視角，力求多側(cè)面地展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化。

1.數(shù)學(xué)和文學(xué)。數(shù)學(xué)和文學(xué)的思考方法往往是相通的。舉例來說，中學(xué)課程里有“對稱”，文學(xué)中則有“對仗”。對稱是一種變換，變過去了卻有些性質(zhì)保持不變。軸對稱，即是依對稱軸對折，圖形的形狀和大小都保持不變。那么對仗是什么？無非是上聯(lián)變成下聯(lián)，但是字詞句的某些特性不變。王維詩云：“明月松間照，清泉石上流”。這里，明月對清泉，都是自然景物，沒有變。形容詞“明”對“清”，名詞“月”對“泉”，詞性不變。其余各詞均如此。變化中的不變性質(zhì)，在文化中、文學(xué)中、數(shù)學(xué)中，都廣泛存在著。數(shù)學(xué)中的“對偶理論”，拓撲學(xué)的變與不變，都是這種思想的體現(xiàn)。文學(xué)意境也有和數(shù)學(xué)觀念相通的地方。徐利治先生早就指出：“孤帆遠影碧空盡”，正是極限概念的意境。

2.歐氏幾何和中國古代的時空觀。初唐詩人陳子昂有句云：“前不見古人，后不見來者，念天地之悠悠，獨愴然而涕下�！边@是時間和三維歐幾里得空間的文學(xué)描述。在陳子昂看來，時間是兩頭無限的，以他自己為原點，恰可比喻為一條直線。天是平面，地是平面，人類生活在這悠遠而空曠的時空里，不禁感慨萬千。數(shù)學(xué)正是把這種人生感受精確化、形式化。詩人的想象可以補充我們的數(shù)學(xué)理解。

3.數(shù)學(xué)與語言。語言是文化的載體和外殼。數(shù)學(xué)的一種文化表現(xiàn)形式，就是把數(shù)學(xué)溶入語言之中。“不管三七二十一”涉及乘法口訣，“三下二除五就把它解決了”則是算盤口訣。再如“萬無一失”，在中國語言里比喻“有絕對把握”，但是，這句成語可以聯(lián)系“小概率事件”進行思考。“十萬有一失”在航天器的零件中也是不允許的。此外，“指數(shù)爆炸”“直線上升”等等已經(jīng)進入日常語言。它們的含義可與事物的復(fù)雜性相聯(lián)系（計算復(fù)雜性問題），正是所需要研究的�！笆聵I(yè)坐標(biāo)”“人生軌跡”也已經(jīng)是人們耳熟能詳?shù)脑~語。

4.數(shù)學(xué)的宏觀和微觀認識。宏觀和微觀是從物理學(xué)借用過來的，后來變成一種常識性的名詞。以函數(shù)為例，初中和高中的函數(shù)概念有變量說和對應(yīng)說之分，其實是宏觀描述和微觀刻畫的區(qū)別。初中的變量說，實際上是宏觀觀察，主要考察它的變化趨勢和性態(tài)。高中的對應(yīng)則是微觀的分析。在分段函數(shù)的端點處，函數(shù)值在這一段，還是下一段，差一點都不行。政治上有全局和局部，物理上有牛頓力學(xué)與量子力學(xué)，電影中有全景和細部，國畫中有潑墨山水畫和工筆花鳥畫，其道理都是一樣的。是否要從這樣的觀點考察函數(shù)呢？

5.數(shù)學(xué)和美學(xué)。“1/2+1/3=2/5？”是不是和諧美？二次方程的求根公式美不美？這涉及到美學(xué)觀。三角函數(shù)課堂上應(yīng)該提到音樂，立體幾何課總得說說繪畫，如何把立體的圖形畫在平面上。欣賞艾舍爾（M.C.Escher）的畫、計算機畫出的分形圖，也是數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)。

總之，數(shù)學(xué)文化離不開數(shù)學(xué)史，但是不能僅限于數(shù)學(xué)史。當(dāng)數(shù)學(xué)文化的魅力真正滲入教材、到達課堂、溶入教學(xué)時，數(shù)學(xué)就會更加平易近人，數(shù)學(xué)教學(xué)就會通過文化層面讓學(xué)生進一步理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)。

從《數(shù)學(xué)與文化》中感受數(shù)學(xué)之美

數(shù)學(xué)是我們從小就開始學(xué)習(xí)的學(xué)科，但很少有人去關(guān)注它所蘊含的文化。其實，數(shù)學(xué)是一種文化，它是人類文明的重要組成部分。而在當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂，原本屬于文化范疇的數(shù)學(xué)，如今正漸漸喪失著它的文化性，變得不那么“文化”了。教育語境下的數(shù)學(xué)，已經(jīng)開始和文化背道而馳。對數(shù)學(xué)知識積累、數(shù)學(xué)技巧訓(xùn)練等工具性價值的過分關(guān)注，正在使數(shù)學(xué)本該擁有的文化氣質(zhì)和氣度一點點剝落、喪失�！白寯�(shù)學(xué)變得文化些，還數(shù)學(xué)以文化之本來面目”，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育亟須關(guān)注、思考和探索的問題。

在西方文明中，數(shù)學(xué)一直是一種主要的文化力量。幾乎每個人都知道，數(shù)學(xué)在工程設(shè)計中具有極其重要的實用價值。但是卻很少有人懂得數(shù)學(xué)在科學(xué)推理中的重要性，以及它在重要的物理科學(xué)理論中所起的核心作用。至于數(shù)學(xué)決定了大部分哲學(xué)思想的內(nèi)容和研究方法，摧毀和構(gòu)建了諸多宗教教義，為政治學(xué)說和經(jīng)濟理論提供了依據(jù)，塑造了眾多流派的繪畫、音樂、建筑和文學(xué)風(fēng)格，創(chuàng)立了邏輯學(xué)，而且為我們必須回答的人和宇宙的基本問題提供了最好的答案，這些就更加鮮為人知了。作為理性精神的化身，數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到以前由權(quán)威、習(xí)慣、風(fēng)俗所統(tǒng)治的領(lǐng)域，而且取代它們成為思想和行動的指南。最為重要的是，作為一種寶貴的、無可比擬的人類成就，數(shù)學(xué)在使人賞心悅目和提供審美價值方面，至少可與其他任何一種文化門類媲美�？巳R因的眼光是深邃的，他敏銳地把握住“數(shù)學(xué)是西方文化中的一種主要的文化力量”！事實上，正是這種力量孕育了希臘的理性精神，構(gòu)建了縝密思維的邏輯體系，催生了文藝復(fù)興的人文主義，從而迎來從哥白尼到牛頓科學(xué)革命的新的曙光，并把西方文明推向了近代科技發(fā)展的快車道。所以，克萊因在書中著重考察了數(shù)學(xué)如何影響了直到20世紀(jì)的人類生活和思想。全書按照歷史的順序?qū)��?shù)學(xué)思想進行考察，涉及的內(nèi)容從古巴比倫、古埃及，到希臘數(shù)學(xué)精神的誕生，從文藝復(fù)興時期數(shù)學(xué)與藝術(shù)的關(guān)系，一直到現(xiàn)代的相對論。

對于我們學(xué)生來說，理解數(shù)學(xué)不一定非要去啃大量數(shù)學(xué)書。事實上，就算讀完了大學(xué)數(shù)學(xué)系四年的課程，也未必能夠了解到數(shù)學(xué)與文化的關(guān)系。因為，“千錘百煉”的數(shù)學(xué)教科書早已割斷了數(shù)學(xué)與歷史、數(shù)學(xué)與文化的血脈聯(lián)系。文化不是外在附屬品。數(shù)學(xué)文化也不是簡單意義上的“數(shù)學(xué)十文化”。在關(guān)注數(shù)學(xué)歷史性和數(shù)學(xué)美的同時，我們更應(yīng)該對數(shù)學(xué)文化有一種更為家常的樸素理解:文化者，以文化人也。數(shù)學(xué)真正的文化要義在于，它可以最大限度地張揚數(shù)學(xué)思考的魅力，并改變一個人思考的方式、方法、視角。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一旦使學(xué)生感受到了思維的樂趣，使學(xué)生領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識的豐富、數(shù)學(xué)方法的精巧、數(shù)學(xué)思想的博大、數(shù)學(xué)思考的美妙，那么，數(shù)學(xué)的文化價值必顯露無遺。從這一意義上講，數(shù)學(xué)文化又怎會僅屬于“圓”和“軸對稱圖形”?任何數(shù)學(xué)課堂.我們都可以觸摸到數(shù)學(xué)文化的脈搏，因為，擁有思考，便擁有了數(shù)學(xué)的文化力量。

細細想來，數(shù)學(xué)不只是知識和方法的簡單匯聚，它應(yīng)該是一個開放的文化體系，是人類智慧和創(chuàng)造力的結(jié)晶。它在給予我們知識與方法的同時，更以一種文化的姿態(tài)改變?nèi)祟惖乃伎计焚|(zhì)，拓展人類的視野，豐富人類的精神世界，增進人的本質(zhì)力量。數(shù)學(xué)的文化特征不僅僅只在于數(shù)學(xué)的歷史性和美學(xué)價值，凝聚在數(shù)學(xué)之中的美妙絕倫的數(shù)學(xué)思維方法、探索不止的數(shù)學(xué)精神、求真臻善達美的數(shù)學(xué)品格，對于一個人全面和諧的發(fā)展，都具有極為重要的意義。可以說，數(shù)學(xué)是“真”、“善”、“美”的完美集合!因而，我們在承認和弘揚數(shù)學(xué)工具價值的同時，更應(yīng)該看到它的文化價值，并借助日常的數(shù)學(xué)教育實踐，使其外化為一種現(xiàn)實的數(shù)學(xué)影響，努力彰顯數(shù)學(xué)的文化品性，真正使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為學(xué)生獲得知識、形成方法、感悟價值、提升精神的生命歷程。

仔細閱讀《數(shù)學(xué)與文化》這篇文章，就可以讓我們更好地理解數(shù)學(xué)所蘊含的文化，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，從而愛上數(shù)學(xué).

三角函數(shù)歷史

起源

歷史表明，重要數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用是不可估量的，函數(shù)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展，看一看函數(shù)概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程，是一件十分有益的事情，它不僅有助于我們提高對函數(shù)概念來龍去脈認識的清晰度，而且更能幫助我們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巨大作用．

（一）馬克思曾經(jīng)認為，函數(shù)概念來源于代數(shù)學(xué)中不定方程的研究．由于羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當(dāng)研究，所以函數(shù)概念至少在那時已經(jīng)萌芽．自哥白尼的天文學(xué)革命以后，運動就成了文藝復(fù)興時期科學(xué)家共同感興趣的問題，人們在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運行的軌道是橢圓，原理是什么?還有，研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達到的高度，以及炮彈速度對于高度和射程的影響等問題，既是科學(xué)家的力圖解決的問題，也是軍事家要求解決的問題，函數(shù)概念就是從運動的研究中引申出的一個數(shù)學(xué)概念，這是函數(shù)概念的力學(xué)來源．

（二）早在函數(shù)概念尚未明確提出以前，數(shù)學(xué)家已經(jīng)接觸并研究了不少具體的函數(shù)，比如對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等等．1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義．

1673年，萊布尼茲首次使用函數(shù)一詞表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長等曲線上點的有關(guān)幾何量．由此可以看出，函數(shù)一詞最初的數(shù)學(xué)含義是相當(dāng)廣泛而較為模糊的，幾乎與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用另一名詞“流量”來表示變量間的關(guān)系，直到1689年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰貝努里才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對函數(shù)概念進行了明確定義，貝努里把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為yx.當(dāng)時，由于連接變數(shù)與常數(shù)的運算主要是算術(shù)運算、三角運算、指數(shù)運算和對數(shù)運算，所以后來歐拉就索性把用這些運算連接變數(shù)x和常數(shù)c而成的式子，取名為解析函數(shù)，還將它分成了“代數(shù)函數(shù)”與“超越函數(shù)”．

8世紀(jì)中葉，由于研究弦振動問題，達朗貝爾與歐拉先后引出了“任意的函數(shù)”的說法．在解釋“任意的函數(shù)”概念的時候，達朗貝爾說是指“任意的解析式”，而歐拉則認為是“任意畫出的一條曲線”．現(xiàn)在看來這都是函數(shù)的表達方式，是函數(shù)概念的外延．

（三）函數(shù)概念缺乏科學(xué)的定義，引起了理論與實踐的尖銳矛盾．例如，偏微分方程在工程技術(shù)中有廣泛應(yīng)用，但由于沒有函數(shù)的科學(xué)定義，就極大地限制了偏微分方程理論的建立．1833年至1834年，高斯開始把注意力轉(zhuǎn)向物理學(xué)．他在和W威伯爾合作發(fā)明電報的過程中，做了許多關(guān)于磁的實驗工作，提出了

“力與距離的平方成反比例”這個重要的理論，使得函數(shù)作為數(shù)學(xué)的一個獨立分支而出現(xiàn)了，實際的需要促使人們對函數(shù)的定義進一步研究．

后來，人們又給出了這樣的定義：如果一個量依賴著另一個量，當(dāng)后一量變化時前一量也隨著變化，那么第一個量稱為第二個量的函數(shù)．“這個定義雖然還沒有道出函數(shù)的本質(zhì)，但卻把變化、運動注入到函數(shù)定義中去，是可喜的進步．”在函數(shù)概念發(fā)展史上，法國數(shù)學(xué)家富里埃的工作影響最大，富里埃深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì)，主張函數(shù)不必局限于解析表達式．1822年，他在名著《熱的解析理論》中說，“通常，函數(shù)表示相接的一組值或縱坐標(biāo)，它們中的每一個都是任意的，我們不假定這些縱坐標(biāo)服從一個共同的規(guī)律；他們以任何方式一個挨一個．”在該書中，他用一個三角級數(shù)和的形式表達了一個由不連續(xù)的“線”所給出的函數(shù)．更確切地說就是，任意一個以2π為周期函數(shù)，在〔－π，π〕區(qū)間內(nèi)，可以由表示出，其中富里埃的研究，從根本上動搖了舊的關(guān)于函數(shù)概念的傳統(tǒng)思想，在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界引起了很大的震動．原來，在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝，級數(shù)把解析式和曲線溝通了，那種視函數(shù)為解析式的觀點終于成為揭示函數(shù)關(guān)系的巨大障礙．通過一場爭論，產(chǎn)生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數(shù)定義．1834年，俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x一起變化．函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應(yīng)值的方法．函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的．”這個定義建立了變量與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，是對函數(shù)概念的一個重大發(fā)展，因為“對應(yīng)”是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分．

1837年，德國數(shù)學(xué)家狄里克萊（Dirichlet）認為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，所以他的定義是：“如果對于x的每一值，y總有完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)．”

根據(jù)這個定義，即使像如下表述的，它仍然被說成是函數(shù)（狄里克萊函數(shù)）：f（x）=1（x為有理數(shù)），

0（x為無理數(shù)）．

在這個函數(shù)中，如果x由0逐漸增大地取值，則f（x）忽0忽1．在無論怎樣小的區(qū)間里，f（x）無限止地忽0忽1．因此，它難用一個或幾個式子來加以表示，甚至究竟能否找出表達式也是一個問題．但是不管其能否用表達式表示，在狄里克萊的定義下，這個f（x）仍是一個函數(shù)．狄里克萊的函數(shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無條件地接受．至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義．

（四）生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗的進一步發(fā)展，又引起函數(shù)概念新的尖銳矛盾，本世紀(jì)20年代，人類開始研究微觀物理現(xiàn)象．1930年量子力學(xué)問世了，在量子力學(xué)中需要用到一種新的函數(shù)δ-函數(shù)，即ρ（x）＝0，x≠0，∞,x=0．

且δ-函數(shù)的出現(xiàn)，引起了人們的激烈爭論．按照函數(shù)原來的定義，只允許數(shù)與數(shù)之間建立對應(yīng)關(guān)系，而沒有把“∞”作為數(shù)．另外，對于自變量只有一個點不為零的函數(shù)，其積分值卻不等于零，這也是不可想象的．然而，δ-函數(shù)確實是實際模型的抽象．例如，當(dāng)汽車、火車通過橋梁時，自然對橋梁產(chǎn)生壓力．從

理論上講，車輛的輪子和橋面的接觸點只有一個，設(shè)車輛對軌道、橋面的壓力為一單位，這時在接觸點x=0處的壓強是

P（0）=壓力／接觸面=1／0=∞．其余點x≠0處，因無壓力，故無壓強，即P（x）=0.另外，我們知道壓強函數(shù)的積分等于壓力，即

函數(shù)概念就在這樣的歷史條件下能動地向前發(fā)展，產(chǎn)生了新的現(xiàn)代函數(shù)定義：若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應(yīng)，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f（x）.元素x稱為自變元，元素y稱為因變元．函數(shù)的現(xiàn)代定義與經(jīng)典定義從形式上看雖然只相差幾個字，但卻是概念上的重大發(fā)展，是數(shù)學(xué)發(fā)展道路上的重大轉(zhuǎn)折，近代的泛函分析可以作為這種轉(zhuǎn)折的標(biāo)志，它研究的是一般集合上的函數(shù)關(guān)系．

函數(shù)概念的定義經(jīng)過二百多年來的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義，應(yīng)該說已經(jīng)相當(dāng)完善了．不過數(shù)學(xué)的發(fā)展是無止境的，函數(shù)現(xiàn)代定義的形式并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，近二十年來，數(shù)學(xué)家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念“關(guān)系”．

設(shè)集合X、Y，我們定義X與Y的積集XY為XY=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．積集XY中的一子集R稱為X與Y的一個關(guān)系，若（x,y）∈R，則稱x與y有關(guān)系R，記為xRy.若（x,y）R，則稱x與y無關(guān)系．現(xiàn)設(shè)f是X與Y的關(guān)系，即fXY，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那么稱f為X到Y(jié)的函數(shù)．在此定義中，已在形式上回避了“對應(yīng)”的術(shù)語，全部使用集合論的語言了．

從以上函數(shù)概念發(fā)展的全過程中，我們體會到，聯(lián)系實際、聯(lián)系大量數(shù)學(xué)素材，研究、發(fā)掘、拓廣數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是何等重要．

三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的，其定義域為整個實數(shù)域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全�，F(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到復(fù)數(shù)系。

由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。在物理學(xué)中，三角函數(shù)也是常用的工具。

基本初等內(nèi)容

它有六種基本函數(shù)(初等基本表示)：函數(shù)名正弦余弦正切余切正割余割

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，從點O引出一條射線OP，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為θ，設(shè)OP=r，P點的坐標(biāo)為（x，y）有正弦函數(shù)sinθ=y/r余弦函數(shù)cosθ=x/r正切函數(shù)tanθ=y/x余切函數(shù)cotθ=x/y正割函數(shù)secθ=r/x余割函數(shù)cscθ=r/y

（斜邊為r，對邊為y，鄰邊為x。）

以及兩個不常用，已趨于被淘汰的函數(shù)：正矢函數(shù)versinθ=1-cosθ

余矢函數(shù)coversθ=1-sinθ

正弦（sin）:角α的對邊比上斜邊余弦（cos）:角α的鄰邊比上斜邊正切（tan）:角α的對邊比上鄰邊余切（cot）:角α的鄰邊比上對邊正割（sec）:角α的斜邊比上鄰邊余割（csc）:角α的斜邊比上對邊同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式：平方關(guān)系：

sin²(α)+cos²(α)=1cos²(a)=(1+cos2a)/2tan²(α)+1=sec²(α)sin²(a)=(1-cos2a)/2cot²(α)+1=csc²(α)積的關(guān)系：

sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα倒數(shù)關(guān)系：tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對邊比鄰邊,三角函數(shù)恒等變形公式兩角和與差的三角函數(shù)：

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)三角和的三角函數(shù)：

sin(α+β+γ)=sinαcosβcosγ+cosαsinβcosγ+cosαcosβsinγ-sinαsinβsinγ

cos(α+β+γ)=cosαcosβcosγ-cosαsinβsinγ-sinαcosβsinγ-sinαsinβcosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanαtanβtanγ)/(1-tanαtanβ-tanβtanγ-tanγtanα)

輔助角公式：

Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A²+B²)^(1/2)cost=A/(A²+B²)^(1/2)tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B倍角公式：

sin(2α)=2sinαcosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin³(α)cos(3α)=4cos³(α)-3cosα半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα降冪公式

sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))萬能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]

cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]積化和差公式：

sinαcosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosαcosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαsinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化積公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]推導(dǎo)公式

tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos²α1-cos2α=2sin²α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)++sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)++cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及

sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

cosx+cos2x+...+cosnx=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx證明：

左邊=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx（積化和差）=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右邊等式得證

sinx+sin2x+...+sinnx=-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx證明:

左邊=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)

=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)

=-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右邊等式得證

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一：

設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：

設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：

任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)正余弦定理

正弦定理是指在一個三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R．

余弦定理是指三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bccosA

角A的對邊于斜邊的比叫做角A的正弦，記作sinA，即sinA=角A的對邊/斜邊

斜邊與鄰邊夾角a

sin=y/r無論y>x或y≤x

無論a多大多小可以任意大小，正弦的最大值為1，最小值為-。部分高等內(nèi)容

高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級數(shù)易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

泰勒展開有無窮級數(shù)，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2�。珃^3/3！＋z^4/4�。�＋z^n/n�。�

此時三角函數(shù)定義域已推廣至整個復(fù)數(shù)集。三角函數(shù)作為微分方程的解：

對于微分方程組y=-y"";y=y""""，有通解Q,可證明Q=Asinx+Bcosx，因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。補充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)雙曲函數(shù)，其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。特殊角的三角函數(shù):

角度a0°30°45°60°90°120°180°1.sina01/2√2/2√3/21√3/202.cosa1√3/2√2/21/20-1/2-13.tana0√3/31√3無限大-√304.cota/√31√3/30-√3/3/三角函數(shù)的計算冪級數(shù)

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)

它們的各項都是正整數(shù)冪的冪函數(shù),其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數(shù),這種級數(shù)稱為冪級數(shù).

泰勒展開式(冪級數(shù)展開法):

f(x)=f(a)+f"(a)/1!*(x-a)+f""(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...實用冪級數(shù)：

ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...

ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|

正切第一，三象限為正第二，四象限為負三角函數(shù)定義域和值域

sin(x),cos(x)的定義域為R,值域為〔-1,1〕tan(x)的定義域為x不等于π/2+kπ,值域為Rcot(x)的定義域為x不等于kπ,值域為R初等三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y=sinx---y"=cosxy=cosx---y"=-sinx

y=tanx---y"=1/(cosx)²=(secx)²y=cotx---y"=-1/(sinx)²=-(cscx)²y=secx---y"=secxtanxy=cscx---y"=-cscxcotx

y=arcsinx---y"=1/√1-x²y=arccosx---y"=-1/√1-x²y=arctanx---y"=1/(1+x²)y=arccotx---y"=-1/(1+x²)反三角函數(shù)

三角函數(shù)的反函數(shù)，是多值函數(shù)。它們是反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx，反正割A(yù)rcsecx=1/cosx，反余割A(yù)rccscx=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割為x的角。為限制反三角函數(shù)為單值函數(shù)，將反正弦函數(shù)的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，將y為反正弦函數(shù)的主值，記為y=arcsinx；相應(yīng)地，反余弦函數(shù)y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函數(shù)y=arctanx的主值限在-π/2

解析幾何建立的故事

一句話，科學(xué)的需要和對方法論的興趣，推動了費爾馬和笛卡爾對坐標(biāo)幾何的研究。

費爾馬，出身于商人家庭，學(xué)法律并以律師為職業(yè)，數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好。雖然他只能利用閑暇時間研究數(shù)學(xué)，但他對數(shù)論和微積分做出了第一流的貢獻。并同巴斯卡(Passcal)一同開創(chuàng)了概率論的研究工作，他和笛卡爾都是坐標(biāo)幾何的發(fā)明者。

費爾馬關(guān)于曲線的工作，是從研究古希臘幾何學(xué)家，特別是阿波羅尼(Apollonius)開始的。阿波羅尼的《論平面軌跡》一書久已失傳，而費爾馬是把它重新寫出來的人之一。他用代數(shù)來研究曲線。他說，他打算發(fā)起一個關(guān)于軌跡的一般研究，在這種研究是古希臘人沒有做到的。1629年他寫了一本《平面和立體的軌跡引論》（1679年發(fā)表）書中說，他找到了一個研究有關(guān)曲線問題的普遍方法。

費爾馬的坐標(biāo)幾何研究怎樣產(chǎn)生的，我們不知道，很可能把阿波羅尼的結(jié)果，直接翻譯成代數(shù)的形式。他考慮任意曲線和它上面的一般點J，J的位置用A、E兩個字母定出：A是從原點O沿底線到點Z的距離，E是從Z到J的距離。它所用的坐標(biāo)，就是我們現(xiàn)在的斜坐標(biāo)。但是Y軸沒有明白出現(xiàn)，而且不用負數(shù)，它的A，E就是我們現(xiàn)在的X,Y.

費爾馬把他的一般原理，敘述為“只要在最后的方程里出現(xiàn)兩各未知量，我們就得到一個軌跡，這兩個量之一，其末端描繪出一條直線或曲線�！鼻拔闹袑Σ煌�位置的E,其末端J,J‘,J’‘就把“線”描出，它的未知量A和E，實際是變數(shù)�；蛘呖梢哉f，聯(lián)系A(chǔ)和E的方程是不定的。他寫出聯(lián)系A(chǔ)、E的各種方程，并指明它們所描繪的曲線。例如，他給出方程（用我們現(xiàn)在的寫法就是）dx=by，并指出這代表一條直線。他又給出d(a-x)=by,并指出它也表示一條直線。方程p2-x2=y2代表一個圓。a2+x2=ky2和xy=a各代表一條雙曲線，x2=ay代表一條拋物線，而且費爾馬確實領(lǐng)悟到坐標(biāo)軸可以平移和旋轉(zhuǎn)。因為他給出一些較復(fù)雜的二次方程，并給出它們可以簡化到的簡單形式。他肯定地得到如下結(jié)論：一個聯(lián)系著A、E的方程，如果是一次的就代表直線，如果是二次的就代表圓錐曲線。

笛卡爾，首先是一位杰出的近代哲學(xué)家。他是近代生物學(xué)的奠基人、第一流的物理學(xué)家，同時也是一位數(shù)學(xué)家。它的父親是一位相當(dāng)富有的律師。笛卡爾大學(xué)畢業(yè)后去巴黎當(dāng)律師，在那里他花了一年的時間，跟兩位神甫一起研究數(shù)學(xué)。其后九年中，他曾在幾個軍隊中服役，但他一直研究數(shù)學(xué)。在荷蘭布萊達地方的招貼牌有一個挑戰(zhàn)性的問題，被他解決了。這使他自信有數(shù)學(xué)才能，從而開始用心于數(shù)學(xué)�；氐桨屠韬�，他為望遠鏡的威力所激動，又一心鉆研光學(xué)儀器的理論和構(gòu)造。1682年他32歲時移居荷蘭，得到較為安靜自由的學(xué)術(shù)環(huán)境，在那里住了二十年，寫出了著名的作品。1649年他被邀請去做瑞典女皇的教師，第二年

在那里患肺炎逝世，享年五十四歲。1637年笛卡爾寫的《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》一書出版，這是一本文學(xué)和哲學(xué)的經(jīng)典著作，包括三個著名的附錄：《幾何》、《折光》和《隕星》�！稁缀巍肥撬�所寫的唯一一本數(shù)學(xué)書，他關(guān)于坐標(biāo)幾何的思想，就包括在它的這本《幾何》中。笛卡爾的其他著作有《思想的指導(dǎo)法則》，《世界體系》，《哲學(xué)原理》，《音樂概要》。

笛卡爾是通過三個途徑來研究數(shù)學(xué)的，作為一個哲學(xué)家，他把數(shù)學(xué)方法看作是在一切領(lǐng)域建立真理的方法來研究。作為自然科學(xué)的研究者，它廣泛地研究了力學(xué)、水靜力學(xué)、光學(xué)和生物學(xué)等各個方面，它的《幾何》的一部分和《折光》都是講光學(xué)的。作為一個關(guān)心科學(xué)用途的人，他強調(diào)把科學(xué)成果付之應(yīng)用。在這一點上，他同希臘人明白地公開決裂。由于他注意到數(shù)學(xué)的力量，他就是要去尋找數(shù)學(xué)的用途。他不推崇純粹數(shù)學(xué)，他認為數(shù)學(xué)不是思維訓(xùn)練，而是一門建設(shè)性的有用科學(xué)。他認為把數(shù)學(xué)方法用到數(shù)學(xué)本身是沒有價值的，因為這不算是研究自然。那些為數(shù)學(xué)而搞數(shù)學(xué)的人，是白費精力的盲目研究者。

笛卡爾對當(dāng)時幾何和代數(shù)的研究方法進行了分析和比較，他認為沒有任何東西比幾何圖形更容易印入人的腦際了。因此用這種方式表達事物是非常有益的，但他對歐幾里德幾何中的每一個證明都要求某種新的往往是奇巧的想法，這一點深感不安。他還批評希臘人的幾何過多地依賴于圖形。他完全看到了代數(shù)的力量，看到他在提供廣泛的方法論方面，高出希臘人的幾何方法。他同時強調(diào)代數(shù)的一般性，以及它把程序機械化和把解題工作量減小的價值。他看到代數(shù)具有作為一門普遍的科學(xué)方法的潛力。他對當(dāng)時通行的代數(shù)也加以批評，說它完全受公式和法則的控制，不像一門改進思想的科學(xué)。因此它主張采取代數(shù)和幾何中一切最好的東西，互相以長補短。它所作的工作就是把代數(shù)用到幾何上去。在這里，他對方法的普遍興趣和他對代數(shù)的專門知識，就組成了聯(lián)合力量，于是就產(chǎn)生了它的《幾何》一書。

在《幾何》一書中，他開始仿照韋達(Vjeta)的方法，用代數(shù)解決幾何作圖題，后來才逐漸出現(xiàn)了用方程表示曲線的思想。

在《幾何》第一卷的前一半中，笛卡爾用代數(shù)解決的只是古典的幾何作圖題，這只不過是代數(shù)在幾何上的一個應(yīng)用，并不是現(xiàn)代意義下的解析幾何。下一步，笛卡爾考慮了不確定的問題，其結(jié)果可以有很多長度作為答案。這些長度的端點充滿一條曲線。他說：“也要求發(fā)現(xiàn)并描出這條包括所有端點的曲線”。曲線的描出，根據(jù)于最后得到的不定方程，笛卡爾指出：對于每一個ｘ，長度ｙ滿足一個確定的方程，因而可以畫出。

笛卡爾的做法，是選定一條直線作為基線，以點Ａ為原點，ｘ值是基線上從Ａ量起一個線段的長度。ｙ是由基線出發(fā)與基線作成一個固定角度的一個線段的長度。這個坐標(biāo)系我們現(xiàn)在叫作斜角坐標(biāo)系。笛卡爾的ｘ、ｙ只取正值，即圖形在第一象限內(nèi)。有了曲線方程的思想之后，笛卡爾進一步發(fā)展了它的思想。1、曲線的次數(shù)與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)。

2、同一坐標(biāo)系中兩個曲線的方程聯(lián)立，可解出交點。

3、曲線概念的推廣，古希臘人說平面曲線是可以用直尺和圓規(guī)畫出的曲線，而笛卡爾則排斥了這種認為只有用直尺和圓規(guī)畫出的曲線才是合法的思想，他提出，那些可用一個唯一的含x和y的有限次代數(shù)方程表示出的曲線，都是幾何曲線。這樣，例如蔓葉線（x3+y3-3axy=0)和蚌線都被承認是幾何曲線，其他如螺線等，笛卡爾稱之為機械曲線[萊布尼茲(Leibniz)后來把它們分別稱之為代數(shù)

曲線和超越曲線]。笛卡爾對曲線概念的這一推廣，取消了曲線是否存在看它是否可以用圓規(guī)和直尺畫出這個判別標(biāo)準(zhǔn)，不但接納了以前被排斥的曲線，而且開辟了整個曲線領(lǐng)域，牛頓(Newton)1707年稱這是“把所有何以用方程表示的線都接收到幾何里”。

從上面的敘述我們可以看出，費爾馬和笛卡爾良人各自都研究了坐標(biāo)幾何，但他們研究的目的和方法卻有明顯不同。費爾馬著眼于繼承古希臘的思想，認為自己的工作是重新表述了阿波羅尼的工作。而笛卡爾批評了希臘人的傳統(tǒng)，主張和這個傳統(tǒng)決裂。雖然用方程表示曲線的思想，在費爾馬的工作中更為明顯，但應(yīng)該說真正發(fā)現(xiàn)代數(shù)方法的威力的是笛卡爾。有種種原因，使坐標(biāo)幾何的思想用代數(shù)方程表示并研究曲線的思想，在當(dāng)時沒有很快地被數(shù)學(xué)家們熱情地接受并利用。一個原因是因為費爾馬的書《軌跡引論》到1679年才出版，而笛卡爾的《幾何》中對幾何作圖題的強調(diào)，遮蔽了方程和曲線的主要思想。事實上，許多和他同時代的人，都認為坐標(biāo)幾何主要是解決作圖問題的工具，甚至萊布尼茲說笛卡爾的工作是退回到古代。雖然笛卡爾本人確實知道，它的貢獻遠遠不限于提供一個解決作圖問題的工具，他在《幾何》的引言中說：“我在第二卷中所作的關(guān)于曲線性質(zhì)的討論，以及考察在這些性質(zhì)的方法，根據(jù)我看遠遠超出了普通幾何的論述�！钡�他利用曲線方程之處，確實被他的作圖問題所掩蓋。坐標(biāo)幾何傳播速度緩慢的另一個原因，是笛卡爾的書《幾何》寫得使人難懂。書中許多模糊不清之處，是他故意搞的。它說歐洲幾乎沒有一個數(shù)學(xué)家能讀懂他的著作，他只約略指出作圖法和證法，而留給別人去填寫入細節(jié)。他在一封信中把他的工作比作建筑師的工作，只是定出計劃，指明什么是應(yīng)該做的，而把手工操作留給木工和瓦工。他還說：“我沒有做過任何不經(jīng)心得刪節(jié)，但我預(yù)見到，對于那些自命無所不知的人，我如果寫的使他們能充分理解，他們將不失機會地說我寫的都是他們已經(jīng)知道的東西。”還有另一理由，在《幾何》中他說，他不愿意奪去讀者們自己進行加工的樂趣。的確，它的思想必須從它的書中許多解出的例題里去推測，他說，他之所以刪去絕大多數(shù)定理的證明，是因為如果有人不嫌麻煩而去系統(tǒng)地考察這些例題，一般定理的證明就成為顯然的了，而且照這樣去學(xué)習(xí)是更為有益的。

影響坐標(biāo)幾何被迅速接收的原因，還有一個是許多數(shù)學(xué)家反對把代數(shù)和幾何結(jié)合起來，認為數(shù)量運算和幾何量的運算要加以區(qū)別，不能混淆。再一個原因是當(dāng)時代數(shù)被認為是缺乏嚴(yán)密性的。上述種種原因，雖然阻礙了對費爾馬和笛卡爾的貢獻的了解，但也有很多人逐漸采用并擴展了坐標(biāo)幾何。二、解析幾何的重要性解析幾何出現(xiàn)以前，代數(shù)已有了相當(dāng)大的進展，因此解析幾何不是一個巨大的成就，但在方法論上卻是一個了不起的創(chuàng)建。1、笛卡爾希望通過解析幾何引進一個新的方法，他的成就遠遠超過他的希望。在代數(shù)的幫助下，不但能迅速地證明關(guān)于曲線的某些事實，而且這個探索問題的方式，幾乎成為自動的了。這套研究方法甚至是更為有利的。用字母表示正數(shù)、負數(shù)，甚至以后代表復(fù)數(shù)時，就有了可能把綜合幾何中必須分別處理的情形，用代數(shù)統(tǒng)一處理了。例如，綜合幾何中證明三角形的高交于一點時，必須分別考慮交點在三角形內(nèi)和三角形外，而解析幾何證明時，則不須加區(qū)別。

2、解析幾何把代數(shù)和幾何結(jié)合起來，把數(shù)學(xué)造成一個雙面的工具。一方面，

幾何概念可以用代數(shù)表示，幾何的目的通過代數(shù)來達到。反過來，另一方面，給代數(shù)概念以幾何解釋，可以直觀地掌握這些概念的意義。又可以得到啟發(fā)去提出新的結(jié)論（例如，笛卡爾就提出了用拋物線和圓的交點來求三次和四次方程的實根的著名方法），拉格朗日(Lagrange)曾把這些優(yōu)點寫進他的《數(shù)學(xué)概要》中：“只要代數(shù)和幾何分道揚鑣，他們的進展就緩慢，他們的應(yīng)用就狹窄。但當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)成伴侶時，他們就互相吸取新鮮的活力，就以快速走向完善�！钡拇_，十七世紀(jì)以來數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展，在很大程度上應(yīng)歸功于解析幾何，可以說微分學(xué)和積分學(xué)如果沒有解析幾何的預(yù)先發(fā)展是難以想象的。

3、解析幾何的顯著優(yōu)點在于它是數(shù)量工具。這個數(shù)量工具是科學(xué)的發(fā)展久已迫切需要的。十七世紀(jì)一直公開要求著的，例如當(dāng)開普勒發(fā)現(xiàn)行星沿橢圓軌道繞著太陽運動，伽利略發(fā)現(xiàn)拋出去的石子沿著拋物線的軌道飛出去時就必須計算這些橢圓和炮彈飛時所畫的拋物線了。這些都需要提供數(shù)量的工具，研究物理世界，似乎首先需求幾何。物體基本上是幾何的形象，運動物體的路線是曲線，研究它們都需要數(shù)量知識。而解析幾何能使人把形象和路線表示為代數(shù)形式，從而導(dǎo)出數(shù)量知識。三、一點啟示

解析幾何的重要性在于他的方法建立坐標(biāo)系，用方程來表示曲線，通過研究方程來研究曲線。

蘇聯(lián)著名幾何學(xué)家格列諾夫在他所編的《解析幾何》前言中說：“解析幾何沒有嚴(yán)格確定的內(nèi)容，對它來說，決定性的因素，不是研究對象，而是方法。”“這個方法的實質(zhì)，在于用某種標(biāo)準(zhǔn)的方式把方程（方程組）同幾何對象（即圖形）相對應(yīng)，使得圖形的幾何關(guān)系在其方程的性質(zhì)中表現(xiàn)出來�！庇捎诮馕鰩缀畏椒ń鉀Q各類問題的普遍性，它已成為幾何研究中的一個基本方法。不僅如此，它還被廣泛應(yīng)用于其他精確的自然科學(xué)領(lǐng)域，如力學(xué)和物理學(xué)之中。

因此我們學(xué)習(xí)解析幾何，主要是掌握它的基本思想、基本方法，而不僅僅在于記住它的某些具體結(jié)論。

解析幾何的基本方法，包括兩個方面：一是由圖形到方程，二是從方程到圖形，也就是選擇坐標(biāo)系，建立圖形方程。通過對方程的研究得到圖形的性質(zhì)，了解圖形的形狀。

解析幾何離不開代數(shù)，但又要隨時把各種代數(shù)表示的幾何涵義放在心中。學(xué)習(xí)中要特別注意，培養(yǎng)自己的幾何直觀能力。這種能力對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是極為重要的。

應(yīng)用解析幾何的方法，可以研究很多具體對象。因為我們應(yīng)把目的放在掌握基本方法上，采取“研究對象簡單一些，突出基本方法”的方針，避免發(fā)生因為研究對象復(fù)雜，引起很多枝節(jié)，從而淹沒了基本方法的現(xiàn)象。這也是笛卡爾留給我們的一個教訓(xùn)。它就是因為講了很多很多的作圖題，把它的關(guān)于解析幾何的基本思想淹沒了。

數(shù)學(xué)生活

數(shù)學(xué)的實質(zhì)就是教師與學(xué)生的特殊生活過程。新課程改革強調(diào)：教學(xué)是生活的內(nèi)容，學(xué)習(xí)是學(xué)生生活的方式，生活是教學(xué)的源頭，教學(xué)與生活是密不可分的。這為生活化教學(xué)的提出提供了依據(jù)。生活化教學(xué)就是將教學(xué)植根于學(xué)生生活世界，關(guān)注學(xué)生現(xiàn)實生活，引導(dǎo)學(xué)生不斷超越現(xiàn)實生活，改善當(dāng)前生存狀態(tài)，以提升生活質(zhì)量為主旨的教學(xué)狀態(tài)。生活化教學(xué)是學(xué)生的已知與學(xué)科知識未知的碰撞，在已知的基礎(chǔ)上構(gòu)建未知的一種教學(xué)手段。生活化教學(xué)關(guān)注學(xué)科教學(xué)中面向?qū)W生周圍的生活環(huán)境、生活經(jīng)驗及未來生活的發(fā)展趨勢，目的是實現(xiàn)書本知識與生活知識的融通�！镀胀ǜ咧袛�(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實際，從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的知識出發(fā)�！币虼�，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識運用到生活實際中去，能使學(xué)生依照生活經(jīng)驗實現(xiàn)對知識的有效建構(gòu)；能使學(xué)生深刻感悟所學(xué)數(shù)學(xué)知識的生活意義和價值，產(chǎn)生追求科學(xué)的內(nèi)在內(nèi)驅(qū)力；能使學(xué)生接近科學(xué)與生活間的距離并習(xí)得分析和解決實際問題的能力。

筆者在長期的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，力圖把數(shù)學(xué)生活化教學(xué)理念引入課堂，下面是幾點在平時課堂教學(xué)實踐中進行高中數(shù)學(xué)生活化教學(xué)的嘗試。一、數(shù)學(xué)生活化教學(xué)可用生活情境為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)修筑“跑道”

生活情境是指符合學(xué)生已有的知識、經(jīng)驗，有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流，便于師生互動和共同發(fā)展的學(xué)習(xí)氛圍。創(chuàng)設(shè)生活情境，要求數(shù)學(xué)教學(xué)注重現(xiàn)實性。從客觀上講，數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實生活，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為了解決生活中的實際問題；從主觀上講，學(xué)生可以通過自己熟悉的現(xiàn)實生活或教學(xué)的指導(dǎo)，借助生活情境，逐步發(fā)現(xiàn)和得出數(shù)學(xué)結(jié)論。譬如在進行指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)之前，學(xué)生在參觀本縣的博物館的課外活動中，有同學(xué)就問：“老師，博物館中的出土文物和古生物恐龍化石都有注明它們所處的年代，考古學(xué)家是如何測算它們所處的年代呢？”他這一問，同學(xué)們也都隨聲附和：“對呀，老師，這是怎樣推測出來呀？”我笑著說：“這可是一個非常有價值的問題，大家回去可以先查查資料，討論討論，當(dāng)一回考古學(xué)家�！痹诨貋砗�，我就順著學(xué)生的問題進入指數(shù)函數(shù)的課堂教學(xué)。在這樣的生活情境引導(dǎo)下，學(xué)生帶著好奇與興奮，順利進入了新課內(nèi)容。用學(xué)生熟悉的生活現(xiàn)象來修筑數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“跑道”，將文本知識還原為學(xué)生熟悉的生活情境，使學(xué)生的思想與課本之間有了一個斜坡。這樣更能促進課堂對話，形成課堂互動，使學(xué)習(xí)過程更具有吸引力。

在已知的基礎(chǔ)上建構(gòu)未知才能讓數(shù)學(xué)教學(xué)貼近生活，貼近學(xué)生。新課改下的高中數(shù)學(xué)生活教學(xué)注重從已知建構(gòu)未知的教學(xué)方式，從學(xué)生生活經(jīng)驗和已有的數(shù)學(xué)知識出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中感受數(shù)學(xué)知識的生活意義與價值，感受構(gòu)建求知的興趣與激情，從而激發(fā)學(xué)生探究的熱情和認知內(nèi)驅(qū)力。二、數(shù)學(xué)生活化教學(xué)可用形式多樣的生活材料為學(xué)生增添數(shù)學(xué)形象

新課程改革要求教師要“關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣”，也就需要教師積極開發(fā)利用各種生活材料，為學(xué)生增添趣味盎然、豐富多彩的數(shù)學(xué)形象。使呆板的數(shù)學(xué)概

念鮮活化；抽象的原理形象化；干澀的公式趣味化；為數(shù)學(xué)教學(xué)增添樂趣。數(shù)學(xué)生活化教學(xué)可運用形式多樣的生活材料為學(xué)生增添數(shù)學(xué)形象。如在數(shù)學(xué)歸納法原理講解中，本人就引入了“黃芩牙膏廣告中的動畫圖象”第一個牙齒倒了，第二個牙齒接著倒廣告圖象設(shè)計中用到了數(shù)學(xué)中的多米諾骨牌現(xiàn)象，其中滲透了數(shù)學(xué)歸納法原理。若①第一個牙齒倒了；②第k個牙齒必推倒第k+1個牙齒；則滿足這兩個條件，所有的牙齒都會倒下。

，的斜線段，A再如在分析201*浙江高考卷的第10題：如圖，AB是平面xab，內(nèi)運動，使得△ABP的面積為定為斜足，若點P在平面xab值，則動點P的軌跡是A圓B橢圓C一條直線D兩條平行直線

我設(shè)計了兩個問題。問題①：我們切甘蔗時，如果用刀角度不同（把甘蔗近似地看為圓柱體）它的切痕有何不同？（圓或橢圓）問題②：到一線段距離等于定長的點的軌跡什么？（圓柱）本小題其實就是一個平面斜截一

個圓柱表面的問題，由于線段AB是定長線段,而△ABP的面積為定值，所以動點P到線段AB的距離也是定值。由此可知空間點P在以AB為中心線的圓柱側(cè)面上.又因P在平面內(nèi)運動，所以這個問題相當(dāng)于一個平面去斜切一個圓柱(AB是平面的斜線段)，得到的切痕是橢圓。

這樣用形式多樣的生活材料為學(xué)生增添數(shù)學(xué)形象，激發(fā)了學(xué)生興趣，使課堂氣氛活躍，使教材中的數(shù)學(xué)知識通俗化、生活化，大大提高了教師的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

三、數(shù)學(xué)生活化教學(xué)可讓學(xué)生在生活經(jīng)驗的運用中研究數(shù)學(xué)

學(xué)生的認知內(nèi)驅(qū)力來自于觀念沖突，由于數(shù)學(xué)知識本身對學(xué)生注意力的吸引不夠，很難引起大多數(shù)高中生對數(shù)學(xué)知識本身的興趣，而學(xué)生往往對于生活的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)過程再現(xiàn)等表現(xiàn)出更強烈的好奇心和征服欲。因此在數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中，適當(dāng)?shù)乩�用生活資源手段來誘發(fā)學(xué)生好奇心與征服欲，產(chǎn)生觀念沖突，激勵學(xué)生參與解決問題的熱情。如為了鞏固學(xué)生對于二次函數(shù)和三角函數(shù)概念、圖像、性質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生在生活經(jīng)驗的運用中研究數(shù)學(xué)的能力。

我設(shè)計了這樣一個問題：201*年5月1日至10月31日要在上海召開世博會，上海201*年5月1日10月31日的氣溫成為人們關(guān)注的問題之一，有很多人士認為：上海這段時間是上海氣象災(zāi)難多發(fā)時間，會對參加世博會展出方和參展方造成一些不便，甚至對人員身體造成傷害。那么，上海的氣溫事實上果真如此嗎？讓學(xué)生成立一個“關(guān)注美好世博會，科學(xué)預(yù)測世博氣溫”的研究小組。

⑴收集數(shù)據(jù)。根據(jù)有關(guān)統(tǒng)計資料，上海地區(qū)201*年112月份的月平均氣溫如下表：

月份123456789101112溫度11.16.21.24.30.28.25.20.13.4.34.17.5(℃)529146982⑵確定研究中心①預(yù)測201*世博會開幕式（4月31日）和閉幕式（10月31日）的當(dāng)日氣溫

②上海當(dāng)年最高氣溫可能出現(xiàn)的時間

③5-10月份（世博會期間）上海地區(qū)的平均氣溫⑶數(shù)學(xué)構(gòu)建，擬合函數(shù)模型通過畫散點圖，計算機擬合。從擬合結(jié)果看：三角函數(shù)擬合效果明顯好于二次函數(shù)。

⑷數(shù)學(xué)應(yīng)用：利用函數(shù)計算出開幕式21.5℃，閉幕式15.3℃

上海當(dāng)年最高氣溫出現(xiàn)在7月15日左右，510月份的平均氣溫為25.2℃。

⑸學(xué)習(xí)交流：科學(xué)統(tǒng)計表明人體感覺最舒適的氣溫是21~24℃，因此可以這樣說，上海201*世博會期間氣溫非常理想，世界各地來展覽和參展的人在上海一定可以過得很好，上海這個城市會讓世界人民的生活更美好。

新課程改革要求改革學(xué)習(xí)方式，凸顯研究性學(xué)習(xí)。通過這種學(xué)習(xí)方式引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)科學(xué)思想，形成科學(xué)精神，培養(yǎng)研究能力。教師在引導(dǎo)學(xué)生進行研究性學(xué)習(xí)的過程就是幫助學(xué)生克服認知障礙，引導(dǎo)學(xué)生形成科學(xué)猜想和假設(shè)的過程。數(shù)學(xué)生活化教學(xué)可引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實生活中尋找問題，發(fā)現(xiàn)問題，按照一定的研究程序，綜合應(yīng)用多方面的知識分析、解決問題。激勵學(xué)生關(guān)注生活經(jīng)驗，提高了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決生活問題的能力，在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生研究數(shù)學(xué)的能力。

四、數(shù)學(xué)生活化教學(xué)可讓學(xué)生在生活問題的解決中運用數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)偉人華羅庚說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)�！边@段話闡明了學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用。應(yīng)用不但使知識的價值得以體現(xiàn)，而且也使學(xué)生分析問題和解決問題的能力得以提高。數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用性學(xué)科，因此在教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注課程內(nèi)、生活中數(shù)學(xué)知識的實際應(yīng)用，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論的同時了解相關(guān)知識的應(yīng)用性，有效地把抽象的數(shù)學(xué)模型與實際相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的知識解決問題。

如201*年5月12日四川汶川發(fā)生了8級地震，中國人民的生命財產(chǎn)遭到巨大損失。那么8級地震含義是什么？破壞力到底有多大？如何測量反映地震能量大小的地震能量尺度呢？20世紀(jì)30年代查爾斯里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為

10x，則x(12x)。其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”振幅（使用22標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測震儀距實際震中距離造成的偏差）。

⑴假設(shè)在一次地震中，一個距離震中100千米的測震儀記錄的地震最大振幅是20，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.001，計算這次地震的震級。（精確到0.1）

⑵5級地震給人的震感已比較明顯，計算汶川8級地震最大振幅是5級地震最大振幅的多少倍？（精確到1）

學(xué)生在課堂教學(xué)中成功地解決了生活的問題，在生活問題的解決中運用數(shù)學(xué)，體會數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和成就感。

數(shù)學(xué)是一門工具學(xué)科，它既可以幫我們追溯研究歷史，又可以幫我們分析解決現(xiàn)況，更可以幫我們預(yù)測指導(dǎo)未來。新課改下的高中數(shù)學(xué)生活化教學(xué)就是實施“從生活走向數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)走進生活”的教學(xué)理念。讓高中數(shù)學(xué)教學(xué)走向生活化，可在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中運用生活情境激發(fā)學(xué)生認識的內(nèi)驅(qū)力；可用形式多樣的生活材料為學(xué)生增添數(shù)學(xué)形象、豐富數(shù)學(xué)知識的生活內(nèi)涵；可讓學(xué)生在生活經(jīng)驗的運用中研究數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生的鉆研數(shù)學(xué)的欲望；可讓學(xué)生在生活問題的解決中運用數(shù)學(xué)，體會數(shù)學(xué)知識的實用性和運用數(shù)學(xué)的成就感。作為新課程背景下的數(shù)學(xué)教師，讓我們在數(shù)學(xué)生活化這一領(lǐng)域中進一步思索探究，更好地將教學(xué)的目標(biāo)與要求轉(zhuǎn)化為學(xué)生作為生活主體的內(nèi)在需要，使課堂充滿生命活力，使學(xué)生獲取有活力的知識。

參考文獻：

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半生癡迷數(shù)學(xué)著書立說

小欖一紙箱廠有個數(shù)學(xué)“奇?zhèn)b”，他的新著今年已出版

來源于：中山日報201*年5月7日第5590期B3版

紙箱廠送貨員鄧壽才的《新編平面解析幾何解題方法全書》今年由哈爾濱工業(yè)大

學(xué)出版社出版發(fā)行。

小欖一紙箱廠有個數(shù)學(xué)“奇?zhèn)b”。他在廠里負責(zé)送貨，平時不打牌，不看電視，什么也不舍得買，就喜歡看有關(guān)數(shù)學(xué)的“天書�！彼�曾因拿不出給出版社的“編印費”而未能出版約100萬字的數(shù)學(xué)專著，他在小欖鎮(zhèn)各工廠打工謀生期間繼續(xù)研究數(shù)學(xué)問題。從201*年開始，他有多篇文章發(fā)表。今年，他的新著《新編平面解析幾何解題方法全書》終于由哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社付梓出版了，該書在各大書店均有售。

■打工十年日日做數(shù)學(xué)題"別人下班后都去玩、去休息，唯獨他快六十歲了卻天天挑燈夜戰(zhàn)讀一些《高等數(shù)學(xué)》，看上去好像還挺過癮。大家都說這個老頭是個怪人，還想繼續(xù)出版數(shù)

學(xué)方面的專著。"近日，小欖鎮(zhèn)績東社區(qū)一位讀者鄭先生向本報報料說。

在緊鄰105國道的東達紙類包裝廠，記者打聽得知確有這樣一個怪人--58歲的四川瀘州人鄧壽才。老板稱他為"奇?zhèn)b"，工友戲稱其"肥佬"。外號"密斯田"廣西籍工友告訴記者，鄧壽才在廠里負責(zé)送貨，平時不打牌，不看電視，什么也不舍得買，就喜歡看"天書。"

工友所說的"天書"，其實是一些關(guān)于高等數(shù)學(xué)、奧林匹克數(shù)學(xué)習(xí)題的書籍。在這家工廠的宿舍內(nèi)，記者看到鄧壽才購買的書籍足足裝了3只大紙箱，全部是關(guān)于數(shù)學(xué)的。知道其底細的老鄉(xiāng)介紹，在單科分?jǐn)?shù)為100分的1981年，鄧壽才參加高考數(shù)學(xué)考了98分，但因總分不夠落榜。做了農(nóng)民，仍癡迷數(shù)學(xué)，妻子很早就以"不務(wù)正業(yè)"與其離了婚。"他曾在四川老家做過代課教師、在北京一家小飯館當(dāng)過會計，但他這一輩子除了數(shù)學(xué)學(xué)得好，其他啥都沒干好過。"

201*年，鄧壽才來到中山黃圃鎮(zhèn)一家磚廠工作。"因為磚廠晚上不加班，可以做做數(shù)學(xué)題。"鄧壽才回憶。近10年來，他一直在黃圃、民眾、小欖等鎮(zhèn)區(qū)打工，自稱唯一的休閑就是偶爾也因為想出數(shù)學(xué)專著的事情去成都、重慶跑跑。"我走過很多廠，遇到很多打工仔，他們幾乎沒有一個人不笑我的"，鄧壽才操著濃重的四川口音講，"他人笑我太癡顛，我笑他人看不穿。其實人類有很多消遣方式，由簡到繁地看，普通人都能理解的音樂是第一個臺階；很多人都可以理解的文學(xué)，是第二個臺階；數(shù)學(xué)肯定是比音樂、文學(xué)更高的一個娛樂方式。毛澤東說過，無限風(fēng)光在險峰，不是每一個人都能欣賞數(shù)學(xué)的美。"

■花甲農(nóng)民工今年出專著

記者隨后上網(wǎng)搜索發(fā)現(xiàn)，201*年11月10日《四川日報》"人物寫真"版曾經(jīng)報道過這個"山溝里的數(shù)學(xué)家"，稱其在當(dāng)年10月完稿一部約100萬字的數(shù)學(xué)專著，分為四部分，卻因拿不出給出版社的"編印費"而未能出版。此后，鄧壽才繼續(xù)在小欖鎮(zhèn)各工廠之間打工謀生，也繼續(xù)研究感興趣的數(shù)學(xué)問題。但其實，他一直沒有氣餒，并終于獲得了業(yè)內(nèi)專家的首肯。在哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社出版的《數(shù)學(xué)奧林匹克與數(shù)學(xué)文化》201*年第二輯（競賽卷）中，該書主編、哈工大出版社第四編輯室主任劉培杰這樣描述鄧壽才：

"與1913年哈代遇到的類似情景出現(xiàn)在201*年下半年，一天一只超重大口袋被收發(fā)室送來。從外觀看不像是來自高校或科研院所寄信件那樣外表整潔光鮮，倒像是經(jīng)常收到的"民科"們宣稱證明了哥德巴赫猜想或者費馬大定理那樣的稿件，作者注明的暫住地址是廣東省中山市小欖鎮(zhèn)泰豐工業(yè)大道南9

號，以編者的想象力要將這樣兩個地址與IMO（國際數(shù)學(xué)奧林匹克）、CMO（中國數(shù)學(xué)奧林匹克）聯(lián)系起來有些難度。然而就像哈代和李特伍德最后判定瘦高的作者是個天才一樣，讀完鄧壽才的稿子我也有了自己的判斷：來稿者是一個心懷夢想、酷愛數(shù)學(xué)并受生活所迫的青年，他應(yīng)該得到人們的認識與鼓勵。所以，編者推遲了本文集的出版時間，加入了鄧壽才的兩篇長文。"

從201*年開始，每年兩輯的《數(shù)學(xué)奧林匹克與數(shù)學(xué)文化》都會有鄧壽才的文章發(fā)表。今年，他的《新編平面解析幾何解題方法全書》終于由哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社付梓出版了。記者發(fā)現(xiàn)這本書在各大書店均有售。但58歲的鄧壽才還在為生活而奔波。

山溝里的數(shù)學(xué)家

傳奇他是個農(nóng)民，卻長期癡迷于數(shù)學(xué)，執(zhí)著追求，毫不動搖。在艱難的探索中，他寫出了100萬字專著，且有18篇論文在國家及省級刊物發(fā)表，被當(dāng)?shù)厝俗u為“數(shù)學(xué)奇才”。

■廖榮華文/圖鄧壽才是瀘州市納溪區(qū)上馬鎮(zhèn)銀坪一組人，兄妹6人，他排行老四。由于家道艱難，8歲才到水口寺小學(xué)發(fā)蒙讀書。

1979年，鄧壽才考入上馬中學(xué)讀高中。數(shù)學(xué)教師最令他佩服，那些枯燥乏味的數(shù)字、公式，經(jīng)他一講，就變成了潺潺小溪，茂密森林。1981年，鄧壽才參加高考，數(shù)學(xué)考98分，但最后以高考總分7分之差落榜。憑其天賦，他補習(xí)一年即可再考大學(xué)，但想到兄妹早輟學(xué)，自己讀完高中已實屬不易，再補習(xí)，不僅負擔(dān)不起，兄妹也有意見。不得已，他只好放棄學(xué)業(yè)，回到農(nóng)村。

別人視他為異類。有人甚至說：你都能當(dāng)數(shù)學(xué)家，我手板心煎魚給你吃離開學(xué)校時，數(shù)學(xué)老師送了鄧壽才一本《數(shù)學(xué)難題》。鄧壽才將其視為至寶。勞動間隙，別人嬉戲取樂，他便跑到一旁，琢磨破解之法。且像中了魔法，如癡如醉。因此出了不少事，他在山上放牛，由于埋頭算題，牛跑到別人田里，吃了半塊田秧子。牛被人家牽去，賠了50元錢，才了事。一次，他在家做飯,因為想題入迷，忘了時間。將飯燒成了鍋巴。被全家人臭罵一頓。在地里干活，有了靈感，他會丟下活路，找個田邊地角，坐下就算。別人視他為異類，他也不在意。

他扛著一捆柴，一邊走一邊想題，樹枝掛痛了行人胳膊。對方罵他：“一天到晚，神頭神腦，是不是神經(jīng)有問題？”一次，鄧壽才看書倦了，靠在床頭睡著了，插在墻縫里的松樹明子燃著了蚊帳，差點引起火災(zāi)，父親一氣之下，將他的書籍、手稿，統(tǒng)統(tǒng)付之一炬。一向孝順的鄧壽才，平生第一次與父親吵了架。在鄧壽才眼里，論文是寶貝，在家人眼里，則一文不值。這些年，他在《數(shù)學(xué)通訊》、《中等數(shù)學(xué)》等刊物上，共發(fā)表論文18篇。他將這些刊有他文章的刊物，珍藏在一個自制的木箱里，輕易不肯示人。他去深圳打工后，卻被侄子當(dāng)引火材料。妻子對其手稿，更是燒了多次，撕了多次。對于親人的不理解，鄧壽才很傷心，但他并不氣餒，依舊沉醉其中，自得其樂。1988年，鄧壽才的論文《舊題新解》，被《中等數(shù)學(xué)》刊用。收到編輯部寄來的雜志，整個大山都沸騰了。崇尚成功的山民紛紛向鄧壽才道賀，一些過去看不起他的人，也對他翹起了大拇指。

山溝名人多波折。家里人勸他務(wù)實，他不聽，妻一氣之下，便與他離了婚除了數(shù)學(xué)，鄧壽才對其它事均不敏感，遇事很迂。1984年秋，納溪縣招考鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部，離考試還有兩天時間，鄧壽才才臨陣磨槍，結(jié)果數(shù)學(xué)考了第一名，但政治不及格，未被錄取。論文發(fā)表后，水口寺小學(xué)，文昌中學(xué)請他代課，可惜他解題是把好手，講課卻不行。無論怎么講，學(xué)生都聽不懂。鄧壽才覺得自己不是教書的料。一個在北京做生意的兒時伙伴請他當(dāng)會計，他又覺得做賬太死板，不

久也辭了。家人見他東不成西不就，便為他張羅婚事。眼見周圍人一個一個富起來，有的建樓房，有的買車，有的在水口寺街上購鋪面，他家還是老樣子，妻子心里急，勸他不聽，還打了幾架，一氣之下，妻便與他離了婚。

今年10月4日，100萬字書稿殺青。他跑了多家出版社，編輯都說很有價值，但要墊付5萬元編印費，這對他真是個天文數(shù)字離婚后，鄧壽才同9歲兒子相依為命，又當(dāng)?shù)�又�?dāng)媽，生活搞得一團糟。為了擺脫困境，201*年春，鄧壽才將兒子托付給父親，孤身一人南下深圳打工，先在一家無線電加工廠當(dāng)包裝工，因?qū)�寫作不利，便辭了職，到一磚廠當(dāng)搬運工。為不影響工友休息，他將床從屋中挪到工棚門口，可借門外射光來寫作，經(jīng)過4年，十易其稿，廢稿紙裝滿了十麻袋。今年10月4日，書稿終于殺青，全書約100萬字，分為《國內(nèi)外數(shù)奧名題妙題既新編題的多種證明與初探》、《國際國內(nèi)名題專題研究與欣賞》、《三角形不等式的系統(tǒng)探討》、《平均值不等式縱橫論》四部。鄧壽才背著書稿，跑了重慶出版社，華東師大出版社等，編輯看了都說有價值，有兩家出版社也愿意出版，但要他先墊付5萬元編印費。以鄧壽才的現(xiàn)有收入，不吃不喝，至少也要五年才能湊齊。僅管如此，鄧壽才還是很興奮，說是只要有價值，既使每天打兩份工，也要湊齊這筆錢。

據(jù)中山商報報道，外來工鄧壽才癡迷數(shù)學(xué)研究20余載，5年來發(fā)表近百萬字文章。

看了這則新聞，筆者不由得心生敬意。試想，在物欲橫流、世人浮躁的當(dāng)下，他卻在打工之余，不打牌，不看電視，不逛街，在光線昏暗、擁擠狹小的房間，刻苦鉆研“天書”以及寫就有關(guān)數(shù)學(xué)的文章，僅僅高二文化程度，卻論著頗豐，數(shù)學(xué)專著一部接一部付梓出版，這在常人看來難以想像，殊難能可貴。

由此，我再次拜讀我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚的散文《取法務(wù)上，僅得乎中》，文中他舉了兩個例子：宋朝有一位蘇洵蘇老泉，到27歲的時候才發(fā)憤讀書，終于成為一位大文學(xué)家。

元朝有位王冕王元章，他從小貧窮，不能從師學(xué)畫，買了紙筆和顏料，放牛的時候看著荷花臨摹，經(jīng)過刻苦鍛煉，終于自學(xué)成為大畫家。

其實，華老本身就是自學(xué)成才的成功典范。他初中畢業(yè)后就失了學(xué)而自學(xué)，埋頭讀書，1930年在《科學(xué)》雜志上發(fā)表數(shù)學(xué)論文，得到我國老一輩數(shù)學(xué)家、教育家熊慶來首肯，被請進了清華園，安排其在清華大學(xué)數(shù)學(xué)系工作，這樣可以一面自學(xué)，一面聽課。后派遣其留學(xué)英國劍橋大學(xué)，學(xué)成回國，又推薦其當(dāng)西南聯(lián)大教授，往后歷任清華大學(xué)、中國科技大學(xué)教授，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所所長，中國科學(xué)院學(xué)部委員（后稱院士）。

古有伯樂相馬的故事，今有我國數(shù)學(xué)家薪盡火傳的佳話，說的是：熊慶來慧眼認珠（華羅庚），華羅庚睿目識采（陳景潤）。

誠然，以鄧壽才目前的成就尚不能與諸位數(shù)學(xué)大師并肩。不過，令人欽佩的是鄧壽才依然孜孜不倦，數(shù)年如一日，勇敢攀登險峰，前程萬里。

不用揚鞭自奮蹄，倘若有伯樂賞識，駿馬不是奔得更快？

數(shù)學(xué)家們的生活趣事

徐遲先生的一篇精彩報告文學(xué)，讓中國老百姓認識了一個叫“陳景潤”的數(shù)學(xué)家。陳景潤先生走路撞樹，或者張廣厚先生吃饅頭醮墨水之類的軼聞更為廣大人民群眾所熟知。

王元買瓜算得賣瓜人目瞪口呆

中關(guān)村每到盛夏，82樓門口總有個大號的西瓜攤，攤主是個歪脖子大興人，姓魏，挑西瓜不用敲，用耳朵貼上聽，十拿九穩(wěn)。大概是1987年或1988年，我爹讓我去買西瓜，我騎上車，直奔魏歪脖的瓜棚子畢竟他的瓜好。一看買的人不少，正要往里擠，忽然看到有兩位熟悉的人物，也在挑西瓜呢。誰呢？數(shù)學(xué)家王元先生和太太，兩位一邊挑一邊算價錢呢。

魏歪脖的西瓜賣得好，不免有些“作怪”。不稱重，分大瓜小瓜賣，大瓜3塊一個，小瓜1塊一個�？吹酱蠊闲」铣叽绮顒e不是很大，很多人都拼命往小瓜那邊擠。

王太太好像也是這樣，卻聽見王元先生說：“咱買那個大的�！薄按蟮馁F3倍呢”王太太猶豫�！按蟮谋刃〉闹怠！蓖跸壬�說。王太太挑了兩個大瓜，交了錢，看看別人都在搶小瓜，似乎又有些猶豫。王先生看出她猶豫，笑笑說：“你吃瓜吃的是什么？吃的是容積，不是面積。那小瓜的半徑是大瓜的2／3稍弱，容積可是按立方算的。小的容積不到大的30％，當(dāng)然買大的賺�！�

王太太點點頭，又搖搖頭：“你算得不對，那大西瓜皮厚，小西瓜還皮薄呢，算容積，恐怕還是買大的吃虧�！�

卻見王先生胸有成竹，點點頭道：“嘿嘿，你別忘了那小西瓜的瓜皮卻是3個瓜的，大西瓜只有1個，哪個皮多你再算算表面積看�！�

王太太說：“頭疼，我不算了�！眱蓚�人抱了西瓜回家，留下魏歪脖看得目瞪口呆。

鐘家慶“羞于見人”

鐘家慶研究員和我爹曾是課題搭檔。鐘為人俠義正直，敢說敢為而又懂得辦事的方式方法。

有一天，我爹所在的數(shù)學(xué)所分橘子，每人一箱，所里住平房宿舍的人多，鐘先生就帶著幾個學(xué)生拉著板車給大伙兒送。那天天熱，鐘先生光著個膀子，只剩一件二指背心，他喜歡游泳，全身曬得又黑又紅。他好像有事和我爹講，所以把學(xué)生和板車打發(fā)走。他幫著把橘子搬進我家，抓了一個橘子，正用嘴撕著扯掉橘子皮的時候，有一個目光炯炯的小丫頭湊上來了，問：大爺，您知道鐘家慶鐘老師在哪兒嗎？

我爹聽見了，剛要介紹，又打住了。他雖然迂，但是并不傻，看看鐘先生，曬得像個黑炭頭，二指背心大褲衩子，嘴里叼著一個橘子，這這什么形象啊。幸好我爹沒說什么，鐘先生馬上就接茬兒了唔，他不住這院兒啊。那小丫頭說：大爺，剛才碰上他的學(xué)生，說他在這兒呢，您能幫我看看他在不在這院嗎？求您了，我想找機會見見鐘教授，我從武漢來的。

啊鐘先生好像也不知道該怎么回答了。他回頭看見我爹，像看見救星一樣，沖我爹一指，說，哦，我是蹬三輪的，不認識什么鐘家慶，你問他吧，他住在這兒，可能知道。說完，鐘先生掉頭就跑，把我爹給撂在那兒了。

唔，你找他什么事啊？我是從武漢來的，我要考他的研究生。您認識鐘教授嗎？唔，認識，你認識他嗎？

當(dāng)然啦，您看我這個包。打開包，我爹看到厚厚一本剪報，都是鐘先生參加會議、授獎頒獎的報道和照片，鐘先生西服革履，神采奕奕。我爹就只會唔唔了。那小丫頭還問呢：你們科學(xué)院的研究員都住在哪兒��？我來這兒好幾天了，怎么一個教授都沒看見呢？這時候，她后面有一個搬橘子的，是呂以輦研究員，也是二指背心的形象

好歹把小丫頭哄走了，我爹和鐘先生一說，鐘先生就跳起來了，不行不行，我那天那個形象，怎么見這個學(xué)生�。∥业�說要是人家考上了，你能不要？鐘先生那些日子就很苦惱，直到發(fā)榜，那小丫頭的分?jǐn)?shù)沒有上線，才松了口氣。那個小丫頭后來去了蘭州，多次給鐘先生來信，討教問題，兼敘崇拜之情，鐘先生非常熱情認真地回復(fù)，對她極盡幫助指點，但始終不肯和這學(xué)生見面，直到鐘先生去世。

左手畫方右手畫圓

我爹是數(shù)學(xué)所的普通人士，后來又半道出家去了其他領(lǐng)域工作了，就不再介紹他的真實姓名了。我爹的記憶力十分驚人，學(xué)打撲克我爹就占了上風(fēng)，一盤“爭上游”下來，沒弄明白規(guī)則，一不留神，就用上了他那個背100位圓周率不打磕巴的怪腦袋，問人家：第三輪出牌，你為什么出10、J、Q�。咳思艺f為什么不能出呢？我爹說你第九輪還出了一個梅花Q，為什么把兩個Q破開呢？教牌的人一愣，您記得這么清楚？老爺子說湊合吧，短短一局牌嘛。人家說那從頭到尾我們打的牌您都記得？我爹點點頭，就從出一對三開局，一直說到了結(jié)尾某人連甩三條大順子。打牌的人頻頻吃驚點頭，我娘當(dāng)場崩潰，高掛免戰(zhàn)牌。

我娘聰明也是稱得上的，高考數(shù)學(xué)、物理滿分，按照我娘恩師劉素校長的說法，我爹除了記憶力驚人以外別無所長，學(xué)什么東西我娘總比我爹快得多，兩人比起來那整個一個龜兔賽跑。

有一天，我想起金庸小說《射雕英雄傳》里周伯通教郭靖雙手互搏，入門課是一手畫方，一手畫圓。后來我在同學(xué)中試驗，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)人都是不成的，無論聰明與否。跟老太太一說，有個智力測試，如此如此，果然把我娘的興趣勾了

起來。半個小時以后，我爹回來，看見一大沓被糟蹋掉的白紙，好奇地問：你畫這么多梨子做什么？問明原委后，我爹隨手抓過筆來，左手如山，右臂如弓，抬手就畫，再看，赫然是左方右圓！

驚奇中，我爹擺擺手道：“這有什么新奇，當(dāng)初我們到德國學(xué)習(xí)計算機原理課程，教授有個練習(xí)就是讓我們左手寫英文，右手寫德文，體會計算機分時系統(tǒng)的工作方式呢�！�

“您練了多久？”“一個月以后才像點兒模樣。在國外舉目無親的，做點兒這種練習(xí)免得想家�！薄耙粋�月啊？”“那也得看誰”，我爹瞇起眼睛說，“回國了我傳授課程，也拿這個做例子，結(jié)果有人當(dāng)場就做出來了，還加上了發(fā)揮�！薄罢l啊？”“吳文俊啊，下課就上來在黑板上練起來�！�

吳先生德文稍差，英文法文都好，所以是左手英文，右手法文，居然是洋洋灑灑。而內(nèi)容，竟是現(xiàn)場翻譯《紅燈記》選段！嘴里還唱著《莫斯科郊外的晚上》。天，這哪是雙手互搏，這是四國大戰(zhàn)啊！

牛頓與萊布尼茨的數(shù)學(xué)微積分之爭

大多數(shù)現(xiàn)代歷史學(xué)家都相信，牛頓與萊布尼茨獨立發(fā)展出了微積分學(xué)，并為之創(chuàng)造了各自獨特的符號。根據(jù)牛頓周圍的人所述，牛頓要比萊布尼茨早幾年得出牛頓的方法，但在1693年以前牛頓幾乎沒有發(fā)表任何內(nèi)容，并直至1704年牛頓才給出了其完整的敘述。其間，萊布尼茨已在1684年發(fā)表了牛頓的方法的完整敘述。

此外，萊布尼茨的符號和“微分法”被歐洲大陸全面地采用，在大約1820年以后，英國也采用了該方法。萊布尼茨的筆記本記錄了牛頓的思想從初期到成熟的發(fā)展過程，而在牛頓已知的記錄中只發(fā)現(xiàn)了牛頓最終的結(jié)果。牛頓聲稱牛頓一直不愿公布牛頓的微積分學(xué)，是因為牛頓怕被人們嘲笑。

牛頓與瑞士數(shù)學(xué)家尼古拉法蒂奧丟勒（NicolasFatiodeDuillier）的聯(lián)系十分密切，后者一開始便被牛頓的引力定律所吸引。1691年，丟勒打算編寫一個新版本的牛頓《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，但從未完成它。一些研究牛頓的傳記作者認為牛頓們之間的關(guān)系可能存在愛情的成分。[7]不過，在1694年這兩個人之間的關(guān)系冷卻了下來。在那個時候，丟勒還與萊布尼茨交換了幾封信件。在1699年初，皇家學(xué)會（牛頓也是其中的一員）的其牛頓成員們指控萊布尼茨剽竊了牛頓的成果，爭論在1711年全面爆發(fā)了。牛頓所在的英國皇家學(xué)會宣布，一項調(diào)查表明了牛頓才是真正的發(fā)現(xiàn)者，而萊布尼茨被斥為騙子。但在后來，發(fā)現(xiàn)該調(diào)查評論萊布尼茨的結(jié)語是由牛頓本人書寫，因此該調(diào)查遭到了質(zhì)疑。這導(dǎo)致了激烈的牛頓與萊布尼茨的微積分學(xué)論戰(zhàn)，并破壞了牛頓與萊布尼茨的生活，直到后者在1716年逝世。

牛頓的一項被廣泛認可的成就是廣義二項式定理，它適用于任何冪。牛頓發(fā)現(xiàn)了牛頓恒等式、牛頓法，分類了立方面曲線（兩變量的三次多項式），為有限差理論作出了重大貢獻，并首次使用了分式指數(shù)和坐標(biāo)幾何學(xué)得到丟番圖方程的解。牛頓用對數(shù)趨近了調(diào)和級數(shù)的部分和（這是歐拉求和公式的一個先驅(qū)），并首次有把握地使用冪級數(shù)和反轉(zhuǎn)（revert）冪級數(shù)。牛頓還發(fā)現(xiàn)了π的一個新公式。

牛頓在1669年被授予盧卡斯數(shù)學(xué)教授席位。在那一天以前，劍橋或牛津的所有成員都是經(jīng)過任命的圣公會牧師。不過，盧卡斯教授之職的條件要求其持有者不得活躍于教堂（大概是如此可讓持有者把更多時間用于科學(xué)研究上）。牛頓

認為應(yīng)免除牛頓擔(dān)任神職工作的條件，這需要查理二世的許可，后者接受了牛頓的意見。這樣避免了牛頓的宗教觀點與圣公會信仰之間的沖突。

微積分的誕生，是在數(shù)學(xué)史上發(fā)生的一件具有劃時代意義的事件。巧的是，在17世紀(jì)中葉，牛頓、萊布尼茨兩位大數(shù)學(xué)家分別獨自建立起了微積分體系的基礎(chǔ)。歷史上關(guān)于究竟是誰是微積分的真正奠基人有著很長事件的爭論，目前我們普遍認為是牛頓、萊布尼茨兩人分別建立起各自的體系，沒有互相交流或抄襲，因此當(dāng)我們談起微積分的誕生的時候，牛頓、萊布尼茨兩人都占有著舉足輕重的地位。

牛頓的科學(xué)生涯中最光輝的歲月是1665年到1667年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間，在這個時間段中，他發(fā)明了流數(shù)術(shù)，也就是現(xiàn)在說的微積分。當(dāng)時牛頓正認真研究笛卡爾的《幾何學(xué)》，對里面求切線的方法產(chǎn)生了濃厚的興趣。然后他翻閱了古希臘留下的求解無限小問題的文獻，并將它總結(jié)為兩種運算：正流數(shù)術(shù)（微分）與反流數(shù)術(shù)（積分）。牛頓畢竟是一代偉大的科學(xué)家，經(jīng)過細致的研究，牛頓得以確定正流數(shù)術(shù)與反流數(shù)術(shù)的互為逆運算的關(guān)系。

微積分的誕生，是為了解決如瞬時速度、切線等問題，這些問題在微積分誕生以前主要由幾何法解決（尤其像切線問題是純幾何問題）。牛頓對微積分最大的貢獻在于，他大膽地采用了在解題面上遠遠廣于幾何法的代數(shù)方法。他的代數(shù)方法完全取代了卡瓦列里、巴羅等人的幾何法，實現(xiàn)了積分的代數(shù)化。

然而，在牛頓在微積分方面做出巨大貢獻的時候，也存在著很大的問題他的微積分體系實際上還并不健全。于是他在隨后的二十多年里還發(fā)表了幾篇論文來完善和改進他的微積分學(xué)說。盡管如此，即使牛頓完成微積分的著作比萊布尼茨要早，但現(xiàn)在普遍承認是他們兩人共同建立的微積分體系，一個重要原因是現(xiàn)代微積分采用的都是萊布尼茨的符號系統(tǒng)和規(guī)則。牛頓生活在英國，與歐洲大陸分離，與外界交流不如萊布尼茨方便是一個原因，不過更主要原因是牛頓在微積分的一些小細節(jié)問題上不如萊布尼茨用心，通俗地說就是：牛頓太天才了，他建立的符號系統(tǒng)與規(guī)則對于他理解與使用沒有問題，但對于一般的人來說理解起來有些困難，導(dǎo)致使用不方便。

與牛頓在數(shù)學(xué)、物理等方面都取得了巨大成就相比，萊布尼茨一生對數(shù)學(xué)、物理也有不少貢獻，不過物理方面顯然不能和經(jīng)典物理學(xué)奠基人牛頓相提并論。

但是在數(shù)學(xué)上，因為微積分的建立，他們還是享有同樣高的聲譽。萊布尼茨與牛頓一樣，很早便認識到微分與積分互為逆運算，并給出了微積分基本定理，也就是現(xiàn)在人們所說的“牛頓-萊布尼茨公式”。雖然萊布尼茨在提出這個公式接近20年后才給出它的證明，但是萊布尼茨能大膽提出公式還是說明他對微積分有著敏銳的嗅覺。

經(jīng)過考證，萊布尼茨所建立的微積分體系與牛頓所建立的流數(shù)術(shù)本質(zhì)上是一致的。然而，牛頓從物理學(xué)問題出發(fā)，應(yīng)用了運動學(xué)原理，造詣較高；萊布尼茨從幾何問題出發(fā)，用分析法引進微積分，得出運算法則，比牛頓的流數(shù)術(shù)要嚴(yán)密得多。

正如前面所提到的，萊布尼茨之所以被人們記住，一個很重要的原因是我們現(xiàn)在使用的微積分符號系統(tǒng)是萊布尼茨所創(chuàng)立的。不像牛頓一代大科學(xué)家，只要有解決問題的工具就可以使用得得心應(yīng)手，萊布尼茨深刻地認識到，好的數(shù)學(xué)符號能節(jié)省思維，運用符號的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。實踐也證明了，萊布尼茨精心選擇的微積分符號要比牛頓的更優(yōu)越，更具有啟示性。這些符號，也是萊布尼茨對微積分建立留下的一個巨大貢獻。

牛頓和萊布尼茨共同建立了微積分體系，然而可惜的是，他們并沒有進行深入的研究，把微積分弄清楚，更不用說讓微積分體系變得嚴(yán)密了。早期的微積分體系在嚴(yán)密性的缺陷導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第二次數(shù)學(xué)危機的發(fā)生，一直到19世紀(jì)初，以法國數(shù)學(xué)家柯西為主的科學(xué)家在仔細研究了微積分后，建立起極限理論后，再在德國數(shù)學(xué)家威爾斯特拉斯的完善下，使極限理論成為微積分的堅實基礎(chǔ)，讓微積分理論能繼續(xù)開展起來，數(shù)學(xué)才有了燦爛的今天。

怎樣才能學(xué)好數(shù)學(xué)呢？

首先，課內(nèi)重視聽講，課后及時復(fù)習(xí)。（初中時）新知識的接受，數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)主要在課堂上進行，所以要特別重視課內(nèi)的學(xué)習(xí)效率，尋求正確的學(xué)習(xí)方法。上課時要緊跟老師的思路，積極展開思維預(yù)測下面的步驟，比較自己的解題思路與教師所講有哪些不同。特別要抓住基礎(chǔ)知識和基本技能的學(xué)習(xí)，課后要及時復(fù)習(xí)不留疑點。首先要在做各種習(xí)題之前將老師所講的知識點回憶一遍，正確掌握各類公式的推理過程，慶盡量回憶而不采用不清楚立即翻書之舉。認真獨立完成作業(yè)，勤于思考，從某種意義上講，應(yīng)不造成不懂即問的學(xué)習(xí)作風(fēng)，對于有些題目由于自己的思路不清，一時難以解出，應(yīng)讓自己冷靜下來認真分析題目，盡量自己解決。在每個階段的學(xué)習(xí)中要進行整理和歸納總結(jié)，把知識的點、線、面結(jié)合起來交織成知識網(wǎng)絡(luò)，納入自己的知識體系。

其次，適當(dāng)多做題，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。

要想學(xué)好數(shù)學(xué)，多做題目是難免的，熟悉掌握各種題型的解題思路。剛開始要從基礎(chǔ)題入手，以課本上的習(xí)題為準(zhǔn)，反復(fù)練習(xí)打好基礎(chǔ)，再找一些課外的習(xí)題，以幫助開拓思路，提高自己的分析、解決能力，掌握一般的解題規(guī)律。對于一些易錯題，可備有錯題集，寫出自己的解題思路和正確的解題過程兩者一起比較找出自己的錯誤所在，以便及時更正。在平時要養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。讓自己的精力高度集中，使大腦興奮，思維敏捷，能夠進入最佳狀態(tài)，在考試中能運用自如。實踐證明：越到關(guān)鍵時候，你所表現(xiàn)的解題習(xí)慣與平時練習(xí)無異。如果平時解題時隨便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平時養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣是非常重要的。

第三、調(diào)整心態(tài)，正確對待考試。

1、應(yīng)把主要精力放在基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法這三個方面上，因為每次考試占絕大部分的也是基礎(chǔ)性的題目，而對于那些難題及綜合性較強的題目作為調(diào)劑，認真思考，盡量讓自己理出頭緒，做完題后要總結(jié)歸納。調(diào)整好自己的心態(tài)，使自己在任何時候鎮(zhèn)靜，思路有條不紊，克服浮躁的情緒。特別是對自己要有信心，永遠鼓勵自己，除了自己，誰也不能把我打倒，要有自己不垮，誰也不能打垮我的自豪感。

2、在考試前要做好準(zhǔn)備，練練常規(guī)題，把自己的思路展開，切忌考前去在保證正確率的前提下提高解題速度。對于一些容易的基礎(chǔ)題要有十二分把握拿全分；對于一些難題，也要盡量拿分，考試中要學(xué)會嘗試得分，使自己的水平正常甚至超常發(fā)揮。

由此可見，要把數(shù)學(xué)學(xué)好就得找到適合自己的學(xué)習(xí)方法，了解數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，使自己進入數(shù)學(xué)的廣闊天地中去。（高中時）

一、高中數(shù)學(xué)課的設(shè)置

高中數(shù)學(xué)內(nèi)容豐富，知識面廣泛，五本必修，三本選修，還有系列4，在高一、

高二全部學(xué)習(xí)完高中的所有高中三年的知識內(nèi)容，高三進行全面復(fù)習(xí)，高三將有數(shù)學(xué)“會考”和重要的“高考”。二、初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的差異。1、知識差異。

初中數(shù)學(xué)知識少、淺、難度容易、知識面笮。高中數(shù)學(xué)知識廣泛，將對初中的數(shù)學(xué)知識推廣和引伸，也是對初中數(shù)學(xué)知識的完善。如：初中學(xué)習(xí)的角的概念只是“01800”范圍內(nèi)的，但實際當(dāng)中也有7200和“300”等角，為此，高中將把角的概念推廣到任意角，可表示包括正、負在內(nèi)的所有大小角。又如：高中要學(xué)習(xí)《立體幾何》，將在三維空間中求一些幾何實體的體積和表面積；還將學(xué)習(xí)“排列組合”知識，以便解決排隊方法種數(shù)等問題。如：①三個人排成一行，有幾種排隊方法，（=6種）；②四人進行乒乓球雙打比賽，有幾種比賽場次？（答：=3種）高中將學(xué)習(xí)統(tǒng)計這些排列的數(shù)學(xué)方法。初中中對一個負數(shù)開平方無意義，但在高中規(guī)定了i21,就使-1的平方根為±i.即可把數(shù)的概念進行推廣，使數(shù)的概念擴大到復(fù)數(shù)范圍等。這些知識同學(xué)們在以后的學(xué)習(xí)中將逐漸學(xué)習(xí)到。2、學(xué)習(xí)方法的差異。

（1）初中課堂教學(xué)量小、知識簡單，通過教師課堂教慢的速度，爭取讓全面同學(xué)理解知識點和解題方法，課后老師布置作業(yè)，然后通過大量的課堂內(nèi)、外練習(xí)、課外指導(dǎo)達到對知識的反反復(fù)復(fù)理解，直到學(xué)生掌握。而高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)隨著課程開設(shè)多（有九們課學(xué)生同時學(xué)習(xí)），每天至少上六節(jié)課，自習(xí)時間三節(jié)課，這樣各科學(xué)習(xí)時間將大大減少，而教師布置課外題量相對初中減少，這樣集中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間相對比初中少，數(shù)學(xué)教師將相初中那樣監(jiān)督每個學(xué)生的作業(yè)和課外練習(xí)，就能達到相初中那樣把知識讓每個學(xué)生掌握后再進行新課。（2）模仿與創(chuàng)新的區(qū)別。初中學(xué)生模仿做題，他們模仿老師思維推理教多，而高中模仿做題、思維學(xué)生有，但隨著知識的難度大和知識面廣泛，學(xué)生不能全部模仿，即就是學(xué)生全部模仿訓(xùn)練做題，也不能開拓學(xué)生自我思維能力，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績也只能是一般程度�，F(xiàn)在高考數(shù)學(xué)考察，旨在考察學(xué)生能力，避免學(xué)生高分低能，避免定勢思維，提倡創(chuàng)新思維和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力培養(yǎng)。初中學(xué)生大量地模仿使學(xué)生帶來了不利的思維定勢，對高中學(xué)生帶來了保守的、僵化的思想，封閉了學(xué)生的豐富反對創(chuàng)造精神。如學(xué)生在解決：比較a與2a的大小時要不就錯、要不就答不全面。大多數(shù)學(xué)生不會分類討論。3、學(xué)生自學(xué)能力的差異初中學(xué)生自學(xué)那能力低，大凡考試中所用的解題方法和數(shù)學(xué)思想，在初中教師基本上已反復(fù)訓(xùn)練，老師把學(xué)生要學(xué)生自己高度深刻理解的問題，都集中表現(xiàn)在他的耐心的講解和大量的訓(xùn)練中，而且學(xué)生的聽課只需要熟記結(jié)論就可以做題（不全是），學(xué)生不需自學(xué)。但高中的知識面廣，知識要全部要教師訓(xùn)練完高考中的習(xí)題類型是不可能的，只有通過較少的、較典型的一兩道例題講解去融會貫通這一類型習(xí)題，如果不自學(xué)、不靠大量的閱讀理解，將會使學(xué)生失去一類型習(xí)題的解法。另外，科學(xué)在不斷的發(fā)展，考試在不斷的改革，高考也隨著全面的改革不斷的深入，數(shù)學(xué)題型的開發(fā)在不斷的多樣化，近年來提出了應(yīng)用型題、探索型題和開放型題，只有靠學(xué)生的自學(xué)去深刻理解和創(chuàng)新才能適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展。其實，自學(xué)能力的提高也是一個人生活的需要，他從一個方面也代表了一個人的素養(yǎng)，人的一生只有18---24年時間是有導(dǎo)師的學(xué)習(xí)，其后半生，最精彩的人生是人在一生學(xué)習(xí)，靠的自學(xué)最終達到了自強。

4、思維習(xí)慣上的差異

初中學(xué)生由于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的范圍小，知識層次低，知識面笮，對實際問題的思維受到了局限，就幾何來說，我們都接觸的是現(xiàn)實生活中三維空間，但初中只學(xué)了平面幾何，那么就不能對三維空間進行嚴(yán)格的邏輯思維和判斷。代數(shù)中數(shù)的范圍只限定在實數(shù)中思維，就不能深刻的解決方程根的類型等。高中數(shù)學(xué)知識的多元化和廣泛性，將會使學(xué)生全面、細致、深刻、嚴(yán)密的分析和解決問題。也將培養(yǎng)學(xué)生高素質(zhì)思維。提高學(xué)生的思維遞進性。5、定量與變量的差異初中數(shù)學(xué)中，題目、已知和結(jié)論用常數(shù)給出的較多，一般地，答案是常數(shù)和定量。學(xué)生在分析問題時，大多是按定量來分析問題，這樣的思維和問題的解決過程，只能片面地、局限地解決問題，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們將會大量地、廣泛地應(yīng)用代數(shù)的可變性去探索問題的普遍性和特殊性。如：求解一元二次方程時我們采用對方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解，討論它是否有根和有根時的所有根的情形，使學(xué)生很快的掌握了對所有一元二次方程的解法。另外，在高中學(xué)習(xí)中我們還會通過對變量的分析，探索出分析、解決問題的思路和解題所用的數(shù)學(xué)思想。三、如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)良好的開端是成功的一半，高中數(shù)學(xué)課即將開始與初中知識有聯(lián)系，但比初中數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)。高一數(shù)學(xué)中我們將學(xué)習(xí)函數(shù)，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點，它在高中數(shù)學(xué)中是起著提綱的作用，它融匯在整個高中數(shù)學(xué)知識中，其中有數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想方法；如：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，它也是高考的重點，近年來，高考壓軸題都以函數(shù)題為考察方法的。高考題中與函數(shù)思想方法有關(guān)的習(xí)題占整個試題的60%以上。1、有良好的學(xué)習(xí)興趣

兩千多年前孔子說過：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者�！币馑颊f，干一件事，知道它，了解它不如愛好它，愛好它不如樂在其中。“好”和“樂”就是愿意學(xué)，喜歡學(xué)，這就是興趣。興趣是最好的老師，有興趣才能產(chǎn)生愛好，愛好它就要去實踐它，達到樂在其中，有興趣才會形成學(xué)習(xí)的主動性和積極性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們把這種從自發(fā)的感性的樂趣出發(fā)上升為自覺的理性的“認識”過程，這自然會變?yōu)榱⒅緦W(xué)好數(shù)學(xué)，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功者。那么如何才能建立好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣呢？

（1）課前預(yù)習(xí)，對所學(xué)知識產(chǎn)生疑問，產(chǎn)生好奇心。

（2）聽課中要配合老師講課，滿足感官的興奮性。聽課中重點解決預(yù)習(xí)中疑問，把老師課堂的提問、停頓、教具和模型的演示都視為欣賞音樂，及時回答老師課堂提問，培養(yǎng)思考與老師同步性，提高精神，把老師對你的提問的評價，變?yōu)楸薏邔W(xué)習(xí)的動力。

（3）思考問題注意歸納，挖掘你學(xué)習(xí)的潛力。

（4）聽課中注意老師講解時的數(shù)學(xué)思想，多問為什么要這樣思考，這樣的方法怎樣是產(chǎn)生的？

（5）把概念回歸自然。所有學(xué)科都是從實際問題中產(chǎn)生歸納的，數(shù)學(xué)概念也回歸于現(xiàn)實生活，如角的概念、至交坐標(biāo)系的產(chǎn)生、極坐標(biāo)系的產(chǎn)生都是從實際生活中抽象出來的。只有回歸現(xiàn)實才能使對概念的理解切實可靠，在應(yīng)用概念判斷、推理時會準(zhǔn)確。

2、建立良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣。

習(xí)慣是經(jīng)過重復(fù)練習(xí)而鞏固下來的穩(wěn)重持久的條件反射和自然需要。建立良好的

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣，會使自己學(xué)習(xí)感到有序而輕松。高中數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣應(yīng)是：多質(zhì)疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應(yīng)用。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。另外還要保證每天有一定的自學(xué)時間，以便加寬知識面和培養(yǎng)自己再學(xué)習(xí)能力。3、有意識培養(yǎng)自己的各方面能力

數(shù)學(xué)能力包括：邏輯推理能力、抽象思維能力、計算能力、空間想象能力和分析解決問題能力共五大能力。這些能力是在不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境中得到培養(yǎng)的。在平時學(xué)習(xí)中要注意開發(fā)不同的學(xué)習(xí)場所，參與一切有益的學(xué)習(xí)實踐活動，如數(shù)學(xué)第二課堂、數(shù)學(xué)競賽、智力競賽等活動。平時注意觀察，比如，空間想象能力是通過實例凈化思維，把空間中的實體高度抽象在大腦中，并在大腦中進行分析推理。其它能力的培養(yǎng)都必須學(xué)習(xí)、理解、訓(xùn)練、應(yīng)用中得到發(fā)展。特別是，教師為了培養(yǎng)這些能力，會精心設(shè)計“智力課”和“智力問題”比如對習(xí)題的解答時的一題多解、舉一反三的訓(xùn)練歸類，應(yīng)用模型、電腦等多媒體教學(xué)等，都是為數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)開設(shè)的好課型，在這些課型中，學(xué)生務(wù)必要用全身心投入、全方位智力參與，最終達到自己各方面能力的全面發(fā)展。四、其它注意事項

1、注意化歸轉(zhuǎn)化思想學(xué)習(xí)。

人們學(xué)習(xí)過程就是用掌握的知識去理解、解決未知知識。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程都是用舊知識引出和解決新問題，當(dāng)新的知識掌握后再利用它去解決更新知識。初中知識是基礎(chǔ)，如果能把新知識用舊知識解答，你就有了化歸轉(zhuǎn)化思想了�？梢�，學(xué)習(xí)就是不斷地化歸轉(zhuǎn)化，不斷地繼承和發(fā)展更新舊知識。2、學(xué)會數(shù)學(xué)教材的數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)教材是采用蘊含披露的方式將數(shù)學(xué)思想溶于數(shù)學(xué)知識體系中，因此，適時對數(shù)學(xué)思想作出歸納、概括是十分必要的。概括數(shù)學(xué)思想一般可分為兩步進行：一是揭示數(shù)學(xué)思想內(nèi)容規(guī)律，即將數(shù)學(xué)對象其具有的屬性或關(guān)系抽取出來，二是明確數(shù)學(xué)思想方法知識的聯(lián)系，抽取解決全體的框架。實施這兩步的措施可在課堂的聽講和課外的自學(xué)中進行。課堂學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主戰(zhàn)場。課堂中教師通過講解、分解教材中的數(shù)學(xué)思想和進行數(shù)學(xué)技能地訓(xùn)練，使高中學(xué)生學(xué)習(xí)所得到豐富的數(shù)學(xué)知識，教師組織的科研活動，使教材中的數(shù)學(xué)概念、定理、原理得到最大程度的理解、挖掘。如初中學(xué)習(xí)的相反數(shù)概念教學(xué)中，教師的課堂教學(xué)往往有以下理解：①從定義角度求3、-5的相反數(shù)，相反數(shù)是的數(shù)是_____.②從數(shù)軸角度理解：什么樣的兩點表示數(shù)是互為相反數(shù)的。（關(guān)于原點對稱的點）③從絕對值角度理解：絕對值_______的兩個數(shù)是互為相反數(shù)的。④相加為零的兩個數(shù)互為相反數(shù)嗎？這些不同角度的教學(xué)會開闊學(xué)生思維，提高思維品質(zhì)。望同學(xué)們把握好課堂這個學(xué)習(xí)的主戰(zhàn)場。五、學(xué)數(shù)學(xué)的幾個建議。

1、記數(shù)學(xué)筆記，特別是對概念理解的不同側(cè)面和數(shù)學(xué)規(guī)律，教師為備戰(zhàn)高考而加的課外知識。

2、建立數(shù)學(xué)糾錯本。把平時容易出現(xiàn)錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、防錯。達到：能從反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把錯誤原因弄個水落石出、以便對癥下藥；解答問題完整、推理嚴(yán)密。3、記憶數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)小結(jié)論。

4、與同學(xué)建立好關(guān)系，爭做“小老師”，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“互助組”。5、爭做數(shù)學(xué)課外題，加大自學(xué)力度。

6、反復(fù)鞏固，消滅前學(xué)后忘。

7、學(xué)會總結(jié)歸類�？桑孩購臄�(shù)學(xué)思想分類②從解題方法歸類③從知識應(yīng)用上分類。

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法

進入高中以后，往往有不少同學(xué)不能適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，進而影響到學(xué)習(xí)的積極性，甚至成績一落千丈。出現(xiàn)這樣的情況，原因很多。但主要是由于學(xué)生不了解高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容特點與自身學(xué)習(xí)方法有問題等因素所造成的。在此結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的特點，談一下高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，供同學(xué)參考。一、高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)特點的變化1、數(shù)學(xué)語言在抽象程度上突變

初、高中的數(shù)學(xué)語言有著顯著的區(qū)別。初中的數(shù)學(xué)主要是以形象、通俗的語言方式進行表達。而高一數(shù)學(xué)一下子就觸及非常抽象的集合語言、邏輯運算語言、函數(shù)語言、圖象語言等。2、思維方法向理性層次躍遷

高一學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的另一個原因是高中數(shù)學(xué)思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師為學(xué)生將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步，因式分解先看什么，再看什么等。因此，初中學(xué)習(xí)中習(xí)慣于這種機械的，便于操作的定勢方式，而高中數(shù)學(xué)在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，數(shù)學(xué)語言的抽象化對思維能力提出了高要求。這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應(yīng)，故而導(dǎo)致成績下降。3、知識內(nèi)容的整體數(shù)量劇增

高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)又一個明顯的不同是知識內(nèi)容的“量”上急劇增加了，單位時間內(nèi)接受知識信息的量與初中相比增加了許多，輔助練習(xí)、消化的課時相應(yīng)地減少了。

4、知識的獨立性大

初中知識的系統(tǒng)性是較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)�，給我們學(xué)習(xí)帶來了很大的方便。因為它便于記憶，又適合于知識的提取和使用。但高中的數(shù)學(xué)卻不同了，它是由幾塊相對獨立的知識拼合而成（如高一有集合，命題、不等式、函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)、指數(shù)和對數(shù)方程、三角比、三角函數(shù)、數(shù)列等），經(jīng)常是一個知識點剛學(xué)得有點入門，馬上又有新的知識出現(xiàn)。因此，注意它們內(nèi)部的小系統(tǒng)和各系統(tǒng)之間的聯(lián)系成了學(xué)習(xí)時必須花力氣的著力點。

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