歸納思想

淺談化歸思想方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

黃發(fā)富摘要：化規(guī)思想是數(shù)學(xué)解題的一種方法，所謂的化規(guī)指的是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)，

把數(shù)學(xué)中未解決或者待解決的問(wèn)題通過(guò)恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到某個(gè)或某些已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題，從而最終解決原問(wèn)題的的一種思想。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。在教學(xué)中經(jīng)常進(jìn)行化歸思想教學(xué)，學(xué)生的解題能力和思維的靈活性就會(huì)逐步提高。重視化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用顯得尤其重要。

關(guān)鍵詞：化歸數(shù)學(xué)思想解題方法化歸思想解題能力

總結(jié)下我們處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程和經(jīng)驗(yàn)會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們常常是將待解決的

陌生問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)比較熟悉的問(wèn)題來(lái)解決。因?yàn)檫@樣就可以充分調(diào)動(dòng)和運(yùn)用我們已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法于問(wèn)題的解決，也常將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為一個(gè)或幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解決，等等。它們的科學(xué)概括就是數(shù)學(xué)上解決問(wèn)題的一般思想方法——化歸。近幾年高考試題十分重視數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是考查能力的試題，其解答過(guò)程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的

思維策略。所謂的化歸，指的是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)。即把數(shù)學(xué)中待解決或未解決的問(wèn)題，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過(guò)程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換、轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到某個(gè)或某些已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題，從而最終解決原問(wèn)題的一種思想。

化歸應(yīng)遵循一定的原則：（1）熟悉化原則：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以利運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決。（2）簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)以簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)。（3）和諧化原則：化歸問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律。（4）直觀化原則：將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題來(lái)解決。（5）正難則反原則：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲解

下面就化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用談幾點(diǎn)自己的體會(huì)：一、將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已知的知識(shí)

將未知的問(wèn)題向已知的知識(shí)轉(zhuǎn)化，并使未知和已知的知識(shí)發(fā)生聯(lián)系，使之能用熟悉的知識(shí)和方法解決新的問(wèn)題。這種轉(zhuǎn)化經(jīng)�？蛇_(dá)到事半功倍的效果。例如要求空間兩條異面直線所成的角，只須通過(guò)作平行線轉(zhuǎn)化成大家所熟悉的兩相交直線所成的角。又如復(fù)雜的三角函數(shù)的最值問(wèn)題有時(shí)也可以通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)最值問(wèn)題，再如還可以用三角法解決幾何量的最值問(wèn)題等等。

例1、求函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的最值

12(t1)2（分析）引入代換t=sinx+cosx，則sinxcosx=

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)最值問(wèn)題，極易求解。

t21解：設(shè)sinx+cosx=t,則sinxcosx=2t2112(t1)1∴y=2+t=2

∵t∈[2，2]

1∴1≤y≤2＋2

1且當(dāng)t=2即x=2kπ+4時(shí)，ymax=2+2(k為整數(shù))當(dāng)t=1即x=

k2或kπ時(shí)，ymin=1(k為奇數(shù))

二、正與反的相互轉(zhuǎn)化

對(duì)有些從“正面進(jìn)攻”很難奏效或運(yùn)算較繁的問(wèn)題，可以用迂回戰(zhàn)術(shù)攻其反面，再利用“對(duì)立互補(bǔ)”的思想使正面得以解決。

例2.某射手射擊1次擊中目標(biāo)的概率是0.9他連續(xù)射擊4次且他各次射擊是否

擊中目標(biāo)是相互獨(dú)立的，則他至少擊中目標(biāo)1次的概率為。

[分析]至少擊中目標(biāo)一次的情況包括1次、2次、3次、4次擊中目標(biāo)共四種情

況，可轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事件：一次都未中，來(lái)求解[略解]他四次射擊未中1次的概率P1=C40.14=0.14∴他至少射擊擊中目標(biāo)1次的概率為1－P1=1－0.14=0.9999三、數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化

注意數(shù)形的相互轉(zhuǎn)化，使數(shù)形達(dá)到和諧的統(tǒng)一，以增強(qiáng)直觀性和形象性及深刻了解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，便于發(fā)現(xiàn)和解決實(shí)質(zhì)問(wèn)題。某些代數(shù)問(wèn)題、三角問(wèn)題，往往潛在著幾何背景，而借助其背景圖形的性質(zhì)，可使那些抽象的概念，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系幾何直觀，以便于探求解題思路或找到問(wèn)題的結(jié)論。

4242x3x6x13xx1的最大值。例3：求函數(shù)f(x)=

4分析：將函數(shù)式變形，得：

f(x)(x22)2(x3)2(x21)2(x0)2

上式可看作“在拋物線y=x2上的點(diǎn)P(x,x2)到點(diǎn)A(3,2)，B(0,1)的距離之差”如圖：由

|PA||PB||AB|知，當(dāng)P在AB的延長(zhǎng)線上的P0處時(shí)，f(x)取到最

yP大值|AB|所以fmax(x)=

(30)2(21)210

AP00Bx四、高維轉(zhuǎn)化為低維

例4.如圖，正三棱錐P-ABC中，各條棱的長(zhǎng)都是2，E是側(cè)棱PC的中點(diǎn)，D是

側(cè)棱PB上任一點(diǎn)，求△ADE的最小周長(zhǎng)。

[分析]：把空間問(wèn)題化歸成平面問(wèn)題，是立體幾何中化歸思想最重要的內(nèi)容，有這種思想作指導(dǎo)，結(jié)合圖形如圖1，由于AE是定長(zhǎng)：

2332，故只要

把側(cè)面PAB、PBC展開(kāi)，那么當(dāng)A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)的AE長(zhǎng)，即AD+DE的最小值。在圖2的AED中，PA=2，PE=1，APE=1200，故依余弦定理有AE2=22+12-221COS1200=7。所以AE=7，于是得AED的最小周長(zhǎng)為37

五、實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化歸結(jié)

將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，使之能用數(shù)學(xué)理論解決具體的實(shí)際問(wèn)題。解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題。要善于調(diào)整應(yīng)用題中的條件關(guān)系和題型結(jié)構(gòu)，使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。若有些較復(fù)雜的應(yīng)用題采用直接設(shè)元列方程轉(zhuǎn)化較困難，則可合理地設(shè)置間接未知數(shù)來(lái)設(shè)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以尋求解決問(wèn)題的新途徑。

例5：某織布工廠有工人200名，為改善經(jīng)營(yíng)，增設(shè)制衣項(xiàng)目，已知每人每天能

織布30米，或利用所織布制衣4件，制衣一件需布1.5米，將布直接出售每米可獲利2元，將布制成衣出售，每件可獲利25元，若每名工人只能做一項(xiàng)工作，且不計(jì)其他因素，設(shè)安排x名工人制衣，問(wèn)該廠一天所獲總利潤(rùn)S（元）最多為多少？

分析：該廠一天所獲總利潤(rùn)包括兩部分，分別是一天制衣所獲利潤(rùn)和剩余布所獲

利潤(rùn)。由此可得S＝25×4x+2[30(200x)1.5×4x]=28x+1201*這樣就將獲利問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x和S的一次函數(shù)關(guān)系。但要注意其中的x受到x中，經(jīng)常地進(jìn)行化歸思想教學(xué)，針對(duì)不同的問(wèn)題，縝密思考，及時(shí)總結(jié)各種“轉(zhuǎn)化歸結(jié)”方法，學(xué)生解題能力及靈活性就會(huì)逐步地得到提高參考文獻(xiàn)

1、普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀，江蘇教育出版社，201*.42、數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，錢佩玲邵光華編，北京師范大學(xué)出版社201*年5月

3、高考數(shù)學(xué)解題技法大全，袁亞良編，中國(guó)少年兒童出版社，201*.94、學(xué)海導(dǎo)航-高考二輪復(fù)習(xí)-數(shù)學(xué)，李瑞坤編，海南出版社，201*.125、狀元之路-高考總復(fù)習(xí)-數(shù)學(xué)，北京教育出版社，201*.

擴(kuò)展閱讀：歸納思想1

歸納思想

在研究一般性問(wèn)題之前，先研究幾個(gè)簡(jiǎn)單的、個(gè)別的、特殊的情況，從而歸納出一般的規(guī)律和性質(zhì)，這種從特殊到一般的思維方式稱為歸納思想。歸納思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，不少學(xué)、數(shù)學(xué)方面的新發(fā)現(xiàn)就是通過(guò)歸納猜想面獲得的。因此，歸納的過(guò)程就是創(chuàng)新的過(guò)程，這對(duì)解決復(fù)雜問(wèn)題能起到事半功倍的效果。

歸納思想方法常用于探索規(guī)律問(wèn)題，因?yàn)橛行┮?guī)律探究型問(wèn)題，若直接從所要求解的問(wèn)題出發(fā)，往往無(wú)從下手，這時(shí)可從較為簡(jiǎn)單的情形開(kāi)始探究，采用“由少及多”即由特殊到一般的解題方法，逐步過(guò)渡到復(fù)雜的情形，并從中總結(jié)出規(guī)律，這樣的解題策略既可以使問(wèn)題得到解決，同進(jìn)又考查了學(xué)生的探究能力、歸納概括能力和類比推理能力。

歸納思想的最大優(yōu)點(diǎn)是易理解、易掌握、易操作，從感性到理性，清晰地展現(xiàn)思維的過(guò)程，容易從中發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，從中提煉出有血有肉的規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生的創(chuàng)造精神和自我發(fā)現(xiàn)能力的生成。自學(xué)運(yùn)用歸納思想，能幫助學(xué)生由淺入深地體驗(yàn)、感悟數(shù)學(xué)思想的真諦。

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