常用數(shù)學(xué)思想與方法及小技巧總結(jié)

常用數(shù)學(xué)思想與方法及小技巧總結(jié)

1.整體與局部思想：也就是從整體上考慮題目中的數(shù)量關(guān)系及性質(zhì)的方法。運(yùn)用整體思想解題可使我們不糾纏于局部細(xì)節(jié)，而能拓寬思路，開(kāi)闊眼界，洞察題目中的整體與局部的關(guān)系。

2.分類(lèi)討論思想：在解數(shù)學(xué)題時(shí)，如不分情況討論，解題過(guò)程就無(wú)法進(jìn)行的時(shí)候，我們就要考慮分類(lèi)的思想。利用分類(lèi)的方法思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，這就是分類(lèi)思想。在分類(lèi)之前，我們首先要確定一個(gè)合適的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，一定要使分類(lèi)有利用于解題。

3.等價(jià)轉(zhuǎn)化化歸思想：我們?cè)诮忸}中的困難，一般來(lái)說(shuō)，都是或由于這個(gè)問(wèn)題比較復(fù)雜，或由于這個(gè)問(wèn)題不太熟悉。當(dāng)你遇到較復(fù)雜或者你從未見(jiàn)過(guò)的一些題目時(shí)，一定別害怕，仔細(xì)分析，往往能把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成另一種你所熟知的問(wèn)題，變換其敘述的方式，或改變思考的角度，或把它轉(zhuǎn)化成另一種你所熟悉的問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決，這種思考方法，我們稱(chēng)之為轉(zhuǎn)化思想。

4.量不變（找不變量）思想：在較復(fù)雜的應(yīng)用題、數(shù)學(xué)競(jìng)賽及智力趣題中，當(dāng)遇到問(wèn)題中的某些條件前后發(fā)生變化時(shí)，有的學(xué)生往往抓不住數(shù)量關(guān)系，無(wú)從下手列式。對(duì)這類(lèi)題目，按通常的方法（分析法、綜合法、線段圖示法、類(lèi)比法等）進(jìn)行分析，往往難以奏效。如若采取“抓不變量”的思路，在數(shù)量關(guān)系的分析中，集中全力抓住“變”中“不變”的量作為突破口，�？墒箚�(wèn)題迎刃而解。

5.數(shù)形結(jié)合思想：就是通過(guò)“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)、轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想。所謂“數(shù)”，就是指數(shù)或式，所謂“形”，就是指圖形或圖像。“數(shù)”與“形”之間互相依存，對(duì)應(yīng)：“數(shù)”是“形”的抽象和概括，“形”是“數(shù)”的幾何表現(xiàn)；同時(shí)，在一定的條件下，它們又可以互相轉(zhuǎn)化：“數(shù)”借助于圖形的性質(zhì)，可以使許多抽象的概念和數(shù)量關(guān)系直接化、形象化、簡(jiǎn)單化，而“形”的問(wèn)題經(jīng)過(guò)數(shù)量化處理，并借助于計(jì)算，可以使較深的問(wèn)題歸結(jié)為較容易處理的數(shù)量關(guān)系來(lái)研究。

6.特殊化（令特殊值-1、0、1、i或特殊函數(shù)x、、2、常函數(shù)C）思想：看上去似乎很難的某些問(wèn)題，采用傳統(tǒng)的方法去解相當(dāng)麻煩，但是我們假若放開(kāi)思想，從特殊情況入手去分析，就有可能使問(wèn)題迎刃而解。我們稱(chēng)這種思想方法為特殊化思想。由于特殊問(wèn)題常常比較簡(jiǎn)單，而且特殊問(wèn)題的解決孕育著一般問(wèn)題的解決，因此，特殊化是一種常用的解題思想和探索解題途徑的重要方法

7.（構(gòu)造）函數(shù)與方程思想：把等式或不等式移到一邊，然后設(shè)其為某個(gè)函數(shù)f或方程f=0。把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求解函數(shù)（與導(dǎo)數(shù)相聯(lián)系）極值、最值、與x軸交點(diǎn)、兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)等問(wèn)題。

8.換元法：局部換元、三角換元、均值換元等。均值換元，如遇到x＋y＝S形式時(shí)，設(shè)x＝1

SS＋t，y＝－t等等。三角換元，如求函數(shù)y＝x＋1x的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x∈[0,1]，222設(shè)x＝sinα，α∈[0,

222]，如變量x、y適合條件x＋y＝r（r>0）時(shí)，則可作三角2代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問(wèn)題�；�高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式。

9.配方（拼湊或拆項(xiàng)添項(xiàng)）法：把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和形式。兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)（表達(dá)式），兩邊同時(shí)乘上或除去同一個(gè)數(shù)（表達(dá)式）

10.待定系數(shù)法：要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來(lái)確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法。11.類(lèi)比和類(lèi)推法12.分析與綜合13.發(fā)散與聚合14.逆向思維

15.歸納思想：論證的第一步是證明命題在n＝1(或n0)時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n＝k時(shí)命題成立，再證明n＝k＋1時(shí)命題也成立，這是無(wú)限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無(wú)限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)（或n≥n0且n∈N）結(jié)論都正確”。16.一般與特殊

17.遞推思想，建立遞推關(guān)系公式

(+)(+)

=+(11+

),一般為a=1或a=2

18.字母代數(shù)思想

19.集合與映射思想=1+(12)++(21)+120.觀察與實(shí)驗(yàn)21.比較聯(lián)想=

11221

1，1與

1

均為n的表達(dá)式且可求和或積

22.隱含條件思想23.建模思想

24.變形的方法:它的應(yīng)用十分非常廣泛，在因式分解、化簡(jiǎn)根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。

25.因式分解法：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具。公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用求根分解。

26.反證法：反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論→推導(dǎo)出矛盾→結(jié)論成立。實(shí)施的具體步驟是：

第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；

第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過(guò)一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說(shuō)明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。27.面積法,尤其是三角形面積S=(1/2)absinC=(1/2)acsinB=(1/2)bcsinA及S=()()(),t=(1/2)(a+b+c)28.幾何變換法：(1)平移;(2)旋轉(zhuǎn);(3)對(duì)稱(chēng)29.窮舉法

30.篩選與排除法31.a+0=a0

32.a×1=a÷1，1=tan4=2+2=22=22

33.f=+或f=[]+

34.|f±|=+±=f+±≤±+

|±|或|f±|≤|±|+|±|35.分子分母有理化

36.||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|或||||||≤|±|≤||+||，a、b為任意維

aaa

數(shù)的向量。三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。37．≤（≥）1≤（≥）22≤（≥）≤（≥）1138.x±2112＝(x±)2x2x2222222239．（1）a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab、a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋

3ab＝(a＋

22b213222222)＋（b）；a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋2222222a)]、a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝（2）22=+,3±3=±2+2,1=(1)(1+

2++1)

40．參數(shù)法：指在解題過(guò)程中，通過(guò)適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對(duì)象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問(wèn)題。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。

41．定義法：就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來(lái)。

42．1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）

43．消元法

44．兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，a>0,>0,>0,>0,≥,53．=sin(+2),=cos(+/2)

54．當(dāng)x很小時(shí)，sinx≈x,tanx≈x,ln(1+x)≈x,≈1+x,(1+)≈1+αx,1cosx≈55．

22

,cosx≈1

=00

,（x,f(x)）到原點(diǎn)連線的斜率

56．泰勒展開(kāi)與二項(xiàng)式展開(kāi)

57．分子分母同乘或同除一個(gè)非0數(shù)或表達(dá)式

58．等式或不等式兩邊相加、相減、相乘、相除（相比）59．(a±

)=(

x+1+1

1)

60．=，尤其a為一個(gè)復(fù)雜函數(shù)表達(dá)式時(shí)61.極限法

62.假設(shè)法，如ab0,b81.

82.求解微積分方程，首先可采用分離變量法，其次考慮令u=或u=,再次考慮令p=′,最后考慮可降階的微分方程和全微分方程。

83.對(duì)級(jí)數(shù)兩邊同時(shí)求導(dǎo)或求積，化為初等函數(shù)處理。84.復(fù)變函數(shù)中充分利用

(1)z=r=(+),表示夾角(2)|z|2=z,=+

(3)(+)=+(4)cosz=

+2

,sinz=

2

(5)cosiy=chy,siniy=ishy,chiy=cosy,shiy=isiny(6)chz=

+2,=2

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在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想教學(xué)方法技巧

摘要：數(shù)學(xué)思想方法是人類(lèi)思想文化寶庫(kù)中的瑰寶，是數(shù)學(xué)的精髓�！靶�學(xué)數(shù)學(xué)思想方法”是在小學(xué)數(shù)學(xué)中運(yùn)用的研究問(wèn)題的思想和方法。探討在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法有利于深刻地理解數(shù)學(xué)的內(nèi)容和知識(shí)體系；有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)；有利于對(duì)學(xué)生進(jìn)行美育的滲透和辨證唯物主義的啟蒙教育；有利于教師以較高的觀點(diǎn)分析處理小學(xué)教材。本論文從分析教材和參考教育資料上探討小學(xué)數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)思想方法的重要性，搜索和概括小學(xué)數(shù)學(xué)中幾種常用的數(shù)學(xué)思想方法及教學(xué)策略，例如符號(hào)化思想、數(shù)學(xué)模型、統(tǒng)計(jì)思想等；滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)中證明：有目的、有計(jì)劃的滲透數(shù)學(xué)思想方法可以讓不同程度的學(xué)生從中受益，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率及教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法滲透青益茶葉網(wǎng)學(xué)習(xí)普及茶葉知識(shí)，弘揚(yáng)茶文化小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要傳授學(xué)生知識(shí)，而且也要在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)不可分割的有機(jī)組成部分，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，蘊(yùn)含了許多數(shù)學(xué)思想和方法，如符號(hào)化思想、數(shù)學(xué)模型思想、統(tǒng)計(jì)思想、化歸思想、組合思想、變換思想、對(duì)應(yīng)思想、極限思想、集合思想、轉(zhuǎn)化建模的思想以及猜想、驗(yàn)證的方法和反證法等。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不單純是知識(shí)的獲得和反復(fù)的操練，貫穿始終的還有數(shù)學(xué)思想方法。如果說(shuō)數(shù)學(xué)教材中的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是一條明線的話，那么蘊(yùn)含在教材中的數(shù)學(xué)思想方法就是一條暗線。教師要注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，抓住教學(xué)內(nèi)容中的有利因素，有意識(shí)地加以引導(dǎo)，有目的、有選擇、適時(shí)地進(jìn)行滲透,使學(xué)生在潛移默化中掌握數(shù)學(xué)思想方法。一、教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法是必然趨勢(shì)。

所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)。所謂數(shù)學(xué)方法，是指某一數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的途徑、程序、手段，它具有過(guò)程性、層次性和可操作性等特點(diǎn)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段，因此，人們把它們稱(chēng)為數(shù)學(xué)思想方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的必要性主要有以下四點(diǎn)：

1、創(chuàng)新人才培養(yǎng)的需要。當(dāng)今世界，科技發(fā)展突飛猛進(jìn)，知識(shí)經(jīng)濟(jì)初見(jiàn)端倪，國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈，人的素質(zhì)的提高和“人才高地”的構(gòu)筑，越來(lái)越成為經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和社會(huì)發(fā)展的決定性因素。素質(zhì)教育的重要性被凸現(xiàn)出來(lái)。數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)實(shí)施素質(zhì)教育，我國(guó)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程致力于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與自然及人類(lèi)社會(huì)的密切聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心；學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問(wèn)題；形成勇于探索，勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神；獲得對(duì)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)，（包括數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）以及基本的思想方法和必要的應(yīng)用技能。創(chuàng)新人才需要高素質(zhì)的人，高素質(zhì)的人必須具備優(yōu)秀的思維品質(zhì)，而數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，思維能力是數(shù)學(xué)能力的核心。在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)最根本的途徑。

2、數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需要。根據(jù)有關(guān)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不受重視。相當(dāng)一部份教師根本沒(méi)有把數(shù)學(xué)思想方法納入教學(xué)目標(biāo)。而加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的需

要。從數(shù)學(xué)教材體系看，整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中貫穿著兩條主線，一是寫(xiě)進(jìn)教材的最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)，它是明線，一貫很受重視，必須切實(shí)保證學(xué)生學(xué)好。另一條是數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透，這是條暗線，少或沒(méi)有直接寫(xiě)進(jìn)教材，但對(duì)小學(xué)生的成長(zhǎng)卻十分重要，也越來(lái)越引起人們的重視。在教學(xué)中不能只

adaishuxue。com注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，忽視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。兩條線應(yīng)在課堂教學(xué)中并進(jìn)，無(wú)形的數(shù)學(xué)思想將有形的數(shù)學(xué)知識(shí)貫穿始終。重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)有利于教師從整體上把握數(shù)學(xué)教學(xué)目的，將數(shù)學(xué)的本質(zhì)、知識(shí)形成的過(guò)程，解決問(wèn)題的過(guò)程展示給學(xué)生，教學(xué)達(dá)到事半功倍�，F(xiàn)在教學(xué)中存在重知識(shí)結(jié)論的教學(xué)，輕知識(shí)發(fā)生過(guò)程的教學(xué)；重知識(shí)達(dá)標(biāo)評(píng)價(jià)，輕數(shù)學(xué)思想形成的評(píng)價(jià)；重學(xué)生眼前的分?jǐn)?shù)利益，輕學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)素質(zhì)發(fā)展等的現(xiàn)狀。一些教師對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解不深透，數(shù)學(xué)思想方法的滲透教學(xué)在課堂教學(xué)中短時(shí)期難以見(jiàn)成效。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)難以規(guī)范有序的實(shí)施，成為被人遺忘、冷落的“角落”。數(shù)學(xué)教學(xué)若是堅(jiān)持“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)”則遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維能力，而數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)需要數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)與滲透�；�于以上現(xiàn)狀，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法中有必要進(jìn)行實(shí)踐與探索。

3、在認(rèn)知心理學(xué)里，思想方法屬于元認(rèn)知范疇，它對(duì)認(rèn)知活動(dòng)起著監(jiān)控、調(diào)節(jié)作用，對(duì)培養(yǎng)能力起著決定性的作用。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的“就意味著解題”（波利亞語(yǔ)），解題關(guān)鍵在于找到合適的解題思路，數(shù)學(xué)思想方法就是幫助構(gòu)建解題思路的指導(dǎo)思想。因此，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的元認(rèn)知水平，是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的重要途徑。

4、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是全面提高學(xué)生素質(zhì)，其中最重要的因素是思維素質(zhì)，而數(shù)學(xué)思想方法就是增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念，形成良好思維素質(zhì)的關(guān)鍵。如果將學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)看作一個(gè)坐標(biāo)系，那么數(shù)學(xué)知識(shí)、技能就好比橫軸上的因素，而數(shù)學(xué)思想方法就是縱軸的內(nèi)容。淡化或忽視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，不僅不利于學(xué)生從縱橫兩個(gè)維度上把握數(shù)學(xué)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，也必將影響其能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高。因此，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的新視角，是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的突破口。二、現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材中主要數(shù)學(xué)思想方法的知識(shí)分布及其教學(xué)策略。

現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)無(wú)論是新教材還是舊教材從教材內(nèi)容看，小學(xué)數(shù)學(xué)解題常用到數(shù)學(xué)模型、符號(hào)化思想、統(tǒng)計(jì)思想、化合思想、組合思想等。這些數(shù)學(xué)思想方法對(duì)幫助學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題有著重要的作用。1、符號(hào)化思想。

英國(guó)著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素說(shuō)過(guò)：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯”。小學(xué)教材中大致出現(xiàn)如下幾類(lèi)符號(hào)：（1）個(gè)體符號(hào)：表示數(shù)的符號(hào)，如：1、2、3、4…，0；a,b,c,…，π，χ以及表示小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的符號(hào)。（2）數(shù)的運(yùn)算符號(hào)：+，-，×（），÷（/，:）。（3）關(guān)系符號(hào)：=，≈，>，是全村耕地面積的60%全分析轉(zhuǎn)化75，求這個(gè)數(shù)是多少？χ公頃。村耕地面積是多少公頃？X60%=75日常語(yǔ)言數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

因此，教師在教學(xué)當(dāng)中要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述生活語(yǔ)言，而不要機(jī)械的把數(shù)學(xué)符號(hào)灌輸給學(xué)生，從而培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力。③在填數(shù)中滲透變?cè)�思想。小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)在不同階段，對(duì)變?cè)�思想有不同水平、不同形式的滲透，以便讓學(xué)生逐步了解變?cè)�思想。例如�?.□7>3.27，45.16學(xué)生弄懂集合圖的含義后，在今后的學(xué)習(xí)中會(huì)嘗試用集合圖來(lái)表示概念間的聯(lián)系。如：平行四邊形長(zhǎng)方形正方形

在應(yīng)用題的解題中，教師也可以啟發(fā)學(xué)生用集合圖來(lái)幫助分析題意探尋解題方法。如：工程隊(duì)計(jì)劃修一條長(zhǎng)250千米公路，第一天修了全長(zhǎng)的20%，第二天修了全長(zhǎng)的40%，剩下的第三天修完，第三天修了多少千米？250千米（“1”）第一天第二天第三天20%40%？

從圖中可以看出，第三天修的路長(zhǎng)是全長(zhǎng)250千米的（1-20%-40%），此題迎刃而解：250×（1-20%-40%）=100（千米）。

②方程模型在教學(xué)中的滲透。列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)模型來(lái)模擬數(shù)量關(guān)系，即根據(jù)條件用兩種不同的方式表示同一量列出已知數(shù)與未知量之間的關(guān)系式。在小學(xué)中高年級(jí)已逐步用方程來(lái)解答文字題與應(yīng)用題。例如：一個(gè)工廠原來(lái)每天制造機(jī)器零件1800個(gè)，比現(xiàn)在少10%，現(xiàn)在每天制造機(jī)器零件多少個(gè)？

解：設(shè)現(xiàn)在每天制造機(jī)器零件χ個(gè)�，F(xiàn)在每天制造原來(lái)每天制造原來(lái)每天制造機(jī)機(jī)器零件比現(xiàn)在少10%，=器零件1800個(gè)χ10%χ1800

于是列出方程：χ-10%χ=1800。也就是原來(lái)每天制造機(jī)器零件1800個(gè)相當(dāng)于現(xiàn)在的（1-10%）。還可列出方程χ（1-10%）=1800。

③幾何模型在教學(xué)中的滲透。解應(yīng)用題時(shí)，若能將難題的數(shù)學(xué)問(wèn)題化為與之相關(guān)的圖形，通過(guò)作圖來(lái)構(gòu)造幾何模型，再根據(jù)圖形的性質(zhì)和特點(diǎn)解題，將會(huì)使問(wèn)題的解答簡(jiǎn)易直觀。例如：一臺(tái)壓路機(jī)輪寬6米，如果它一分鐘行駛200米，照這樣計(jì)算，一小時(shí)它壓過(guò)路面是多少平方米？200米輪寬6米

adaishuxue。com從圖中可以看出，這題實(shí)際就是求60個(gè)長(zhǎng)200米、寬6米的長(zhǎng)方形的面積。6×200×60=3201*（平方米）。

④公式模型在教學(xué)中的滲透。數(shù)學(xué)公式既是反映客觀世界數(shù)學(xué)關(guān)系的符號(hào)，又是現(xiàn)實(shí)世界抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型，因?yàn)樗�摒棄了各個(gè)事物的個(gè)別屬性，因此它更具有典型的意義。例如：工作總量=工作效率×工作時(shí)間，路程=速度×?xí)r間，總產(chǎn)量=單產(chǎn)量×公頃數(shù)等。利用這些抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型可以解決許多相關(guān)的題。例題“一件工作，甲單獨(dú)做要6小時(shí)，乙單獨(dú)做要用4小時(shí)，甲做完1/3后，兩人合作，還要幾小時(shí)做完？”解決這道題將工作總量看作單位“1”，甲的工作效率看作1/6，乙的效率看作1/4，根據(jù)工作總量=工作效率×工作時(shí)間這個(gè)公式模型，列式得出：（1-1/3）÷（1/6+1/4）=1.6（小時(shí)）。3、統(tǒng)計(jì)思想

統(tǒng)計(jì)的基本思想是：從局部觀測(cè)資料的統(tǒng)計(jì)特征來(lái)推斷整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)，或判斷某一論斷以多大的概率來(lái)保證其正確性，或者算出發(fā)生錯(cuò)誤判斷的概率。統(tǒng)計(jì)方法是由“局部到整體”、“由特殊到一般”的科學(xué)方法。小學(xué)數(shù)學(xué)中統(tǒng)計(jì)思想體現(xiàn)在：簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)整理和求平均數(shù)，簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖。學(xué)生在會(huì)整理、制表、作圖的同時(shí)要能從數(shù)據(jù)、圖表中發(fā)現(xiàn)一些相關(guān)的問(wèn)題，得出一些結(jié)論。在教材的編排上，在低中年級(jí)讓學(xué)生領(lǐng)悟略樸素的統(tǒng)計(jì)思想后，在中年級(jí)學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)整理的方法上到高年級(jí)進(jìn)一步按數(shù)據(jù)的大小分組統(tǒng)計(jì)的整理方法和復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖以及折線統(tǒng)計(jì)圖。除了按課本的安排教學(xué)外，教師也可在平時(shí)的教學(xué)中有機(jī)的滲透統(tǒng)計(jì)的思想。例如：在課前布置學(xué)生收集有關(guān)的資料。如《億以?xún)?nèi)數(shù)的讀寫(xiě)》一課，可讓學(xué)生收集生活中有關(guān)億以?xún)?nèi)數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)，通過(guò)課前收集、課上的交流與整理不僅學(xué)生學(xué)會(huì)了讀寫(xiě)這些數(shù)，而且在接受?chē)?guó)情教育中體會(huì)了統(tǒng)計(jì)的思想。在有些課上也可當(dāng)堂收集資料統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，為教學(xué)內(nèi)容服務(wù)。如《三步應(yīng)用題》一課，課上調(diào)查同學(xué)們的定報(bào)情況，包括人數(shù)，單價(jià)，數(shù)量，報(bào)刊的種類(lèi)等。通過(guò)圖表等形式，提出問(wèn)題，圍繞著三步應(yīng)用題的解題思路進(jìn)行教學(xué)。這樣的教學(xué)，教師有意識(shí)的滲透統(tǒng)計(jì)思想，學(xué)生學(xué)到生活中的數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)的有效性大大提高。當(dāng)然，在小學(xué)數(shù)學(xué)中統(tǒng)計(jì)思想的滲透只能是初步的，僅僅涉及到整理樣本數(shù)據(jù)的一些最簡(jiǎn)單的方法。至于總體推測(cè)，只是引導(dǎo)學(xué)生作些初步的想象和估算，以逐步接受統(tǒng)計(jì)思想的熏陶，同時(shí)也為今后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。4、.化歸思想

化歸思想是把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題通過(guò)某種轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，把一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題。應(yīng)當(dāng)指出，這種化歸思想不同于一般所講的“轉(zhuǎn)化”、“轉(zhuǎn)換”。它有不可逆轉(zhuǎn)的單向性。例1、狐貍和黃鼠狼進(jìn)行跳躍比賽，狐貍每次可向前跳41／2米，黃鼠狼每次可向前跳23／4米。它們每秒種都只跳一次。比賽途中，從起點(diǎn)開(kāi)始，每隔123／8米設(shè)有一個(gè)陷阱，當(dāng)它們之中有一個(gè)掉進(jìn)陷阱時(shí)，另一個(gè)跳了多少米？

這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，但通過(guò)分析知道，當(dāng)狐貍（或黃鼠狼）第一次掉進(jìn)陷阱時(shí)，它所跳過(guò)的距離即是它每次所跳距離41／2（或23／4）米的整倍數(shù)，又是陷阱間隔123／8米的整倍數(shù)，也就是41／2和123／8的“最小公倍數(shù)”（或23／4和123／8的“最小公倍數(shù)”）。針對(duì)兩種情況，再分別算出各跳了幾次，確定誰(shuí)先掉入陷阱，問(wèn)題就基本解決了。上面的思考過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題通過(guò)分析轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)求“最小公倍數(shù)”的問(wèn)題，即把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這種化歸思想正是數(shù)學(xué)能力的表現(xiàn)之一。

5、在實(shí)際的教學(xué)中由于執(zhí)教者對(duì)教材的理解不同，對(duì)同一教學(xué)內(nèi)容會(huì)用不同的思想方法進(jìn)行教學(xué)。有的教學(xué)內(nèi)容往往通過(guò)幾種數(shù)學(xué)思想方法去分析與解答。因此，教師在教學(xué)中要充分理解教材的教育功能，

adaishuxue。com挖掘其隱藏的數(shù)學(xué)思想方法，在導(dǎo)出結(jié)論、尋找方法、揭示規(guī)律的過(guò)程中，使學(xué)生掌握其來(lái)龍去脈，培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)。除以上例舉的五種思想方法外，變換思想、對(duì)應(yīng)思想、極限思想、集合思想、聯(lián)想思想、、歸納猜想方法、演繹法轉(zhuǎn)化建模的思想以及猜想、驗(yàn)證的方法和反證法等在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也時(shí)常應(yīng)用，教師也應(yīng)注意有意識(shí)地在教學(xué)中滲透。三、在日常教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法。

新一輪基礎(chǔ)教育課程改革制定的新《課程標(biāo)準(zhǔn)》特別關(guān)注學(xué)生在知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀這三個(gè)維度�！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》中提到：義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程應(yīng)突出體現(xiàn)基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性，使數(shù)學(xué)教育面向全體學(xué)生，實(shí)現(xiàn)人人學(xué)到有價(jià)值的數(shù)學(xué)；人人都獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。這就要求我們教師在教學(xué)中不能只關(guān)注知識(shí)與技能，更要關(guān)注技能與方法。1、滲透數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的原則（1）過(guò)程性原則。

在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法時(shí)，不直接點(diǎn)明所應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法，而是通過(guò)精心設(shè)計(jì)的教學(xué)過(guò)程，有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生潛移默化地領(lǐng)會(huì)蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想和方法。例如：在教學(xué)加法交換律時(shí)，通過(guò)一個(gè)猜球的小游戲，讓學(xué)生用日常生活語(yǔ)言敘述游戲中：“變與不變的道理”。然后，進(jìn)一步讓學(xué)生用圖形或數(shù)學(xué)符號(hào)表示，進(jìn)而抽象出數(shù)學(xué)模型A+B=B+A。（2）反復(fù)性原則。

數(shù)學(xué)方法屬于邏輯思維的范疇，學(xué)生對(duì)它的領(lǐng)會(huì)和掌握具有一個(gè)“從個(gè)別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級(jí)到高級(jí)”的認(rèn)知過(guò)程。那么，教師在教學(xué)中應(yīng)作到滲透與反復(fù)相結(jié)合。例如：在教學(xué)運(yùn)算定律的應(yīng)用、典型應(yīng)用題及解決一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，反復(fù)滲透集合模型、方程模型、集合模型、公式模型等各種數(shù)學(xué)模型方法。（3）系統(tǒng)性原則。

數(shù)學(xué)思想方法的滲透要由淺入深，不能隨意性太強(qiáng)，對(duì)一種數(shù)學(xué)思想方法挖掘到什么程度，學(xué)生能理解到什么程度，教師要心中有數(shù)。所以，教師在制定教學(xué)計(jì)劃時(shí)，要充分了解這一冊(cè)教材中可以結(jié)合哪些內(nèi)容進(jìn)行什么數(shù)學(xué)思想方法的滲透，再結(jié)合后續(xù)的教學(xué)整理出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的系統(tǒng)。（3）明確性原則。

數(shù)學(xué)思想方法如果長(zhǎng)期、反復(fù)、不明確的滲透，學(xué)生就不會(huì)有意識(shí)的領(lǐng)會(huì)與使用。所以，在一個(gè)教學(xué)階段，教師就要有意識(shí)的總結(jié)我們解題時(shí)所應(yīng)用到的思想方法，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的規(guī)律、運(yùn)用方法適度明確化，利于今后的學(xué)習(xí)。2、滲透數(shù)學(xué)思方法的有效途徑

（1）在知識(shí)的發(fā)生過(guò)程中，適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法。

在教學(xué)中教師不要簡(jiǎn)單的給出定義，不要過(guò)早的下結(jié)論，不要死板的找關(guān)聯(lián)，這利于培養(yǎng)學(xué)生的分析、觀察、比較、抽象、概括的邏輯思維加工的能力。例如：在教學(xué)“小數(shù)的性質(zhì)”一課，教師不是簡(jiǎn)單地告訴

adaishuxue。com學(xué)生什么是小數(shù)的性質(zhì)，而是通過(guò)比較0.10與0.100的大小，由學(xué)生自己揭示小數(shù)的性質(zhì)。學(xué)生分小組討論0.10與0.100相等的理由有五、六種之多。有的利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)驗(yàn)證；有的用實(shí)際測(cè)量的方法驗(yàn)證；有的用商不變的性質(zhì)類(lèi)比驗(yàn)證；有的用反證法驗(yàn)證等等。（2）通過(guò)小結(jié)、復(fù)習(xí)提煉概括數(shù)學(xué)思想方法。

在每一個(gè)單元整理與復(fù)習(xí)時(shí)，除了讓學(xué)生整理數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，還要讓學(xué)生回憶解題是所應(yīng)用到的一些典型的思想方法。從而讓學(xué)生運(yùn)用這些方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。（3）在教學(xué)中注意多種數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用。

在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，往往需要多種方法同時(shí)運(yùn)用才能奏效。那么，在教學(xué)時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用的能力。

（4）注意總結(jié)與評(píng)價(jià)。

在進(jìn)行一段時(shí)間的訓(xùn)練后，結(jié)合學(xué)生的作業(yè)、測(cè)試，教師要及時(shí)的給學(xué)生總結(jié)與評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)時(shí)不要簡(jiǎn)單的對(duì)結(jié)果做出是非的評(píng)價(jià)，而要通過(guò)分析學(xué)生的解題思路及運(yùn)用到的一些數(shù)學(xué)思想方法給予肯定。以此激勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)新能力，激發(fā)他的學(xué)習(xí)動(dòng)力。

已經(jīng)有人通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究一學(xué)期的教學(xué)，在研究過(guò)程中不斷的改進(jìn)與總結(jié)，初步看見(jiàn)一些成效。從學(xué)生的成績(jī)可以看出，在教學(xué)中有目的、有計(jì)劃、有序列的進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，學(xué)生能夠接受，可以讓不同程度的學(xué)生受益，鍛煉他們的思維能力，增強(qiáng)解決問(wèn)題的能力，從而提高教學(xué)質(zhì)量。四、結(jié)論

在小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法隨著新一輪課程改革的進(jìn)行已放在重要而顯性的地位。每一個(gè)教師都要在實(shí)踐中積極地改革與嘗試。通過(guò)有效的實(shí)踐與研究，在小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法是可行的，學(xué)生是完全可以接受的，并且通過(guò)有目的、有計(jì)劃、有序列的滲透，學(xué)生的思維能力得以增強(qiáng)，不同的學(xué)生都得到不同的收獲，他們得到的不僅是“魚(yú)”，還有“漁”，對(duì)學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展有著積極的意義及深遠(yuǎn)的影響。教師在這一研究中，提高了自身的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，提升了教學(xué)理念，真正以“人”為本提高了課堂效益與教學(xué)質(zhì)量。

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