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復變函數(shù)簡單總結

網(wǎng)站:公文素材庫 | 時間:2019-05-29 07:36:41 | 移動端:復變函數(shù)簡單總結

復變函數(shù)簡單總結

對于某些專業(yè)的工科學生,學習復變函數(shù)是非常有意義的。復變函數(shù)的記號是w=f(z)。從幾何的角度上看,復變函數(shù)是一個復平面上的點集到另一個復平面上的一個映射。

在直角坐標系復平面上,自變量記作z=x+iy,函數(shù)值記作w=u+iv。那么復變函數(shù)w=f(z)就等價于兩個二元函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y),即一個復變函數(shù)的映射,等同于兩個二元實函數(shù)的映射。在物理學或力學中,可以用復變函數(shù)來建立“平面場”的數(shù)學模型,例如在流體力學中,平面流速場的速度分布可用復函數(shù)V=V(z)=Vx(x,y)+iVy(x,y)來表示,其中,Vx(x,y)和Vy(x,y)是坐標軸方向的速度分量(不是偏導數(shù)記號),V(z)則稱為復速度。

在靜電學中,平面靜電場也可以用復函數(shù)E(z)=Ex(x,y)+iEy(x,y)來表示,Ex(x,y)和Ey(x,y)是坐標軸方向的場強分量,E(z)稱為復場強。

對于理科的物理專業(yè),以及工科與流體力學、電工電子學有關的各類專業(yè),“復變函數(shù)與數(shù)學物理方法”課程(也有分為兩門的,甚至三門的,即積分變換)都是很基礎的一門課程。

復變函數(shù)泛談

首先,復變函數(shù)以復數(shù)為中心進行一系列討論和分析,而復數(shù)的獨特之處在于它的虛部,也就是虛數(shù)部分;之前對虛數(shù)域的認識,完全在于一個虛字。而對于復變產(chǎn)生的意義,書中是這樣給出的:由于解代數(shù)方程的需要,人們引出了復數(shù)。

復數(shù)的出現(xiàn),使得基本運算中的開方運算不再存在無解情況,n此多項式也不再存在增根,這為人類在某些邏輯領域的運算提供了幫助。

復數(shù)的集合復平面是一個二維平面,但卻并非我們所在的三維世界中的任何一個二維平面?梢哉f復平面在現(xiàn)實世界中完全找不到具體的一一對應,是一個純粹締造出來的二維平面。

而就在最近我弄清了兩個概念:數(shù)學與科學。結論為:數(shù)學不是科學。數(shù)學不屬于科學的范疇,是一種邏輯學,作為工具的學科;而科學則是理論的集合。哪怕是假命題如地心說,也是科學。而區(qū)別一個學科是否是科學的,則需要另一門學科作為其判定依據(jù):證偽學。最終令我信服秉潔說的一個理論是:可被證明或證偽的屬于科學;而數(shù)學,是不可被證偽的。這一定程度上說明了數(shù)學是一門形而上學的學科,甚至包括幾何學在內(nèi)。而在數(shù)學當中,在我看來復數(shù)領域的形而上學興則更加突出。

曾見過有人在論述形而上學時拿虛數(shù)和量子理論作為例證。我也曾一度認為量子理論中無觀察者的不可知的事物量子狀態(tài)可以用虛數(shù)來表示。當然現(xiàn)在看來,這是一種很淺薄的想法。就好比將著名的佯謬薛定諤的貓的生死與否映射到復數(shù)域上。我曾看到有人對此作過一個類似性形而上學的證明,若將貓的生死,即鈾的衰變與否映射到復數(shù)域上,那么為了對應鈾的衰變概率分布的均勻,不妨將其對應到一隊共軛復數(shù)上。當觀察者出現(xiàn),貓的生死被確定,不確定性即消失,那么其映射的復數(shù)的不存在性也應該消失,即將復數(shù)反映到實數(shù)域上,相應的運算即取模,可知共軛復數(shù)的模是相等的,這與確定后貓的生死的不同是矛盾的。當然,這種簡單的推理本身便不甚科學。但結論應為正解:不確定不等于不存在,二者不可相互映射。

“虛數(shù)”是人類在發(fā)展數(shù)學上的解題技術時,以人為定義方式發(fā)明的一種虛擬的數(shù),在現(xiàn)實生活中不存在,在實務的商用數(shù)學中也用不著!皬蛿(shù)”可以解決一些物理數(shù)學上的問題,解題到最后經(jīng)過轉化所得到的實數(shù)解,才有物理上的意義,帶有虛數(shù)的復數(shù)屆時沒有意義的。

至此,虛數(shù)在物理學中不存在的理論在我的認識中仍然是正確的。直到到看到時間的空間矢量代數(shù)法則:“時間有空間的方向性,它能做矢量代數(shù)!弊龃鷶(shù)運算時,虛數(shù)就是時間。多普勒效應是證明四維時間存在的實驗基礎之一。

虛數(shù)是的確不存在于三維世界中的,但卻被定義為第四維的時間。虛數(shù)時間只是用數(shù)學呈現(xiàn)的方法,是一種處理方式。就像RCL電路我們也用虛數(shù)去處理相角關系,但電感本身并不是虛的。這是人為的定義,但這也在一定意義上揭示了虛數(shù)有可能存在的某些物理特征。

之后我又得到了物理學中有關快子的概念:快子是理論上預言的粒子。它具有超過光速的局部速度(瞬時速度)。它的質量是虛數(shù),但能量和動量是實數(shù)。有人認為這種粒子無法檢測,但實際未必如此。影子和光斑的例子就說明超過光速的東西也是可以觀測到的。目前尚無快子存在的實驗證據(jù),絕大多數(shù)人懷疑它們的存在。有人聲稱在測氚的貝塔衰變放出的中微子質量的實驗中有證據(jù)表明這些中微子是快子。這很讓人懷疑,但不能完全排除這種可能?熳与m未被科學界認可,但至少已經(jīng)人類已將虛數(shù)應用到物理學中。其一旦被證明,虛數(shù)不存在物理意義的觀點即被打破。

虛數(shù)是有很大的的現(xiàn)實意義的,通過引入虛數(shù),那些沒有意義”的根式也變得有理可尋?墒窃跉v史上虛數(shù)的存在性及它的意義曾經(jīng)引起一場激烈的論戰(zhàn)。虛數(shù)被譏笑為數(shù)的鬼魂,一些象笛卡爾這樣的大數(shù)學也拒絕承認它。這場爭論一直要到一八零零年左右?guī)缀谓忉屘摂?shù)成功后才慢慢平靜下來。對實用主義者而言,虛數(shù)當然是一個計算的工具,只要它有用就行了,但對于嚴肅的數(shù)學家來說卻并非如此。高斯就曾經(jīng)說過,關鍵不在于應用,而在于如果歧視這些虛量,整個分析學就會失去大量的美和靈活性。為什么認為“歧視虛數(shù)”就不美呢?我想這是由于數(shù)學中第二個關于美的法則在起作用:對稱性法則。當我們把虛數(shù)和實數(shù)認為是同樣真實,只是分別屬于一個統(tǒng)一的復平面的橫軸和豎軸時,所有的代數(shù)方程的解對于實數(shù)和虛數(shù)而言就具有了一種對稱性。而任何人為的歧視都將打破這種對稱!

通過課程的學習,我們可以了解到,復數(shù)可以應用的現(xiàn)實中的數(shù)學建模,其在很多運算中都有著不可思議的性質和規(guī)律。復數(shù)的引入為人們解決實數(shù)域和物理科學提供了許多新的途徑,打開了很多原本無法暢通的道路,無論是神奇的留數(shù),還是保角映射,都為人類在解決非復領域上的問題提供了全新的思路與方便。

擴展閱讀:復變函數(shù)總結

第一章復數(shù)的運算與復平面上的拓撲

1.復數(shù)的定義

一對有序實數(shù)(x,y)構成復數(shù)zxiy,其中xRez,yImz.i21,X稱為復數(shù)的實部,y稱為復數(shù)的虛部。復數(shù)的表示方法1)模:

zx2y2;

2)幅角:在z0時,矢量與x軸正向的夾角,記為是位于(,]中的幅角。

argzArgz(多值函數(shù));主值

3)argz與

arctanyx之間的關系如下:

yx;

當x0,

argzarctany0,argzarctanx0,y0,argzarctan當yxyx

4)三角表示:zzcosisin,其中argz;注:中間一定是“+”5)指數(shù)表示:

2.復數(shù)的四則運算

1).加減法:若z1x1iy1,z2x2iy2,則z1z2x1x2iy1y22).乘除法:

3)若z1x1iy1,z2x2iy2,則

z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2zzei,其中argz

;。

z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y4)若

z1z1ei1,z2z2ei2,則

z1z2z1z2ei12;

z1i12z1ez2z2

5.無窮遠點得擴充與擴充復平面

復平面對內(nèi)任一點z,用直線將z與N相連,與球面相交于P點,則球面上除N點外的所有點和復平面上的所有點有一一對應的關系,

而N點本身可代表無窮遠點,記作.這樣的球面稱作復球面這樣的球面稱作復球面.

擴充復平面---引進一個“理想點”:無窮遠點∞復平面的開集與閉集

復平面中領域,內(nèi)點,外點,邊界點,聚點,閉集等概念復數(shù)序列的極限和復數(shù)域的完備性復數(shù)的極限,,柯西收斂定理,魏爾斯特拉斯定理,聚點定理等從實數(shù)域里的推廣,可以結合實數(shù)域中的形式來理解。

第二章復變量函數(shù)

1.復變量函數(shù)的定義

設G是一個復數(shù)zxiy的集合.如果有一個確定的法則存在,按這個法則,對于集合G中的每一個復數(shù)z,就有一個或幾個復數(shù)wuiv與之對應,那末稱復變數(shù)w是復變數(shù)z的函數(shù)(簡稱復變函數(shù)),記作wf(z).

1)復變函數(shù)的反演變換(了解)2)復變函數(shù)性質

反函數(shù)有界性周期性,3)極限與連續(xù)性極限:

設函數(shù)wf(z)定義在z0的去心鄰域

連續(xù)性

0zz0內(nèi),如果有一確定的數(shù)A存在,對于任意給定的0,相應地必有一正數(shù)()使得當0zz0(0)時,有f(z)A那末稱A為f(z)當z趨向于z0時的極限.

如果limf(z)f(z0),那末我們就說f(z)zz0在z0處連續(xù).如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù),我們說f(z)在D內(nèi)連續(xù).2.復變量函數(shù)的形式偏導

1)復初等函數(shù)ezexcosyisinye2)指數(shù)函數(shù):,在z平面處處可導,處處解析;且注:e是以2i為周期的周期函數(shù)。(注意與實函數(shù)不同)3)對數(shù)函數(shù):主值:

zzez。

Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)(多值函數(shù));

。(單值函數(shù))

lnzlnziargzLnz的每一個主值分支lnz在除去原點及負實軸的z平面內(nèi)處處解析,且

lnz1z;

注:負復數(shù)也有對數(shù)存在。(與實函數(shù)不同)

4)乘冪與冪函數(shù):

abebLna(a0);zbebLnz(z0)

bb1注:在除去原點及負實軸的z平面內(nèi)處處解析,且

zbz。

eizeizeizeiz5)三角函數(shù):

sinz2i,cosz2,tgzsinzcosz,ctgzcoszsinzsinz,cosz在z平面內(nèi)解析,且sinzcosz,coszsinz

注:有界性

sinz1,cosz1不再成立;(與實函數(shù)不同)

ezezezez6)雙曲函數(shù)

shz2,chz2;shz奇函數(shù),chz是偶函數(shù)。shz,chz在z平面內(nèi)解析shzchz,chzshz

第三章解析函數(shù)的定義

1.復變量函數(shù)的導數(shù)

設函數(shù)wf(z)定義于區(qū)域D,z0為D中的一

點,點z0z不出D的范圍,f(z0z)f(z0)

如果極限limz0z存在,

那末就稱f(z)在z0可導.這個極限值稱為f(z)在z0的導數(shù),復變量函數(shù)的解析性

如果函數(shù)f(z)在z0及z0的鄰域內(nèi)處處可導,那末稱f(z)在z0解析.如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點解析,則稱

f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析.或稱f(z)是區(qū)域D內(nèi)的一

個解析函數(shù)(全純函數(shù)或正則函數(shù)).

2.函數(shù)可導與解析的充要條件1)函數(shù)可導的充要條件:

fzux,yivx,y在zxiy可導

ux,y和vx,y在x,y可微,且在x,y處滿足CD條件:

uv,xyuvuvfziyx此時,有xx。

2)函數(shù)解析的充要條件:

fzux,yivx,y在區(qū)域內(nèi)解析

ux,y和vx,y在x,y在D內(nèi)可微,且滿足CD條件:

uv,xyfzuvyx;uvixx。

此時

注意:若

ux,y,vx,y在區(qū)域D具有一階連續(xù)偏導數(shù),則

ux,y,vx,y在區(qū)

域D內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時,只要能說明u,v具有一階連續(xù)偏導且滿足CR條件時,函數(shù)f(z)uiv一定是可導或解析的。

解析映射的幾何意義

保角性:任何兩條相交曲線的夾角(即在交點的切線的夾角)在解析映射下的夾角保持不變

第四章柯西定理和柯西公式

1.復變函數(shù)積分的性質

fzdz1)

ccc1fzdz(c與c的方向相反);

cc1

[fzgz]dzfzdzgzdz,,2)是常數(shù);

3)若曲線c由c1與c2連接而成,則c2.復變函數(shù)積分的一般計算法

ccfzdzfzdzfzdzc1c2。

fzdzudxvdyivdxudy1)化為線積分:;(常用于理論證明)

c2)參數(shù)方法:設曲線c:

zzt(t),其中對應曲線c的起點,對

應曲線c的終點,則c

3.積分與路徑無關的條件和原函數(shù)1)條件:見書中定理(1.1)(1.2)命題(1.1)(1.2)這幾個定理及命題都只有理論上的意義?挛-古爾薩定理及其應用4.柯西古薩基本定理:

fzdzf[zt]z(t)dt設

fz在單連域B內(nèi)解析,c為B內(nèi)任一閉曲線,則

fzdz0c

5.復合閉路定理:設

fz在多連域D內(nèi)解析,c為D內(nèi)任意一條簡單閉曲線,

c1,c2,cn是c內(nèi)的簡單閉曲線,它們互不包含互不相交,并且以c1,c2,cn為邊界的區(qū)域全含于D內(nèi),則

fzdz,fzdzcnk1ck其中c與ck均取正向;

fzdz01cc,其中由及(k1,2,n)所組成的復合閉路。

6.閉路變形原理:一個在區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)

fz沿閉曲線c的積分,不

因c在D內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值,只要在變形過程中c不經(jīng)過使的奇點。

7.解析函數(shù)沿非閉曲線的積分:設

fz不解析

fzGzfz在單連域B內(nèi)解析,為在B(z1,z2B)內(nèi)的一個原函數(shù),則

說明:解析函數(shù)數(shù)即可。

8.柯西積分公式:設

z2z1fzdzGz2Gz1

fz沿非閉曲線的積分與積分路徑無關,計算時只要求出原函

fz在區(qū)域D內(nèi)解析,c為D內(nèi)任一正向簡單閉曲線,cfzdz2ifz0czzz0的內(nèi)部完全屬于D,0為c內(nèi)任意一點,則9.高階導數(shù)公式:解析函數(shù)

fz的導數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導數(shù)為fz2indzc(zz0)n1n!fz0其中c為

(n1,2)

fz的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡單閉曲線,而且它的內(nèi)

部完全屬于D。10重要結論:

2i,1dzn1(za)0,cn0n0。(c是包含a的任意正向簡單閉曲線)

8.復變函數(shù)積分的計算方法1)若2)設

fzfz在區(qū)域D內(nèi)處處不解析,用一般積分法在區(qū)域D內(nèi)解析,

cfzdzf[zt]ztdt

cc是D內(nèi)一條正向簡單閉曲線,則由柯西古薩定理,fzdz0

c是D內(nèi)的一條非閉曲線,z1,z2對應曲線c的起點和終點,則有

cfzdzz2z1fzdzFz2Fz1

3)設

fz在區(qū)域D內(nèi)不解析

fzdz2ifz0czz0fz2indzfz0c(zz)n1n!0曲線c內(nèi)僅有一個奇點:(f(z)在c內(nèi)解析)

曲線c內(nèi)有多于一個奇點:cnfzdzfzdzk1ckkn(ci內(nèi)只有一個奇點zk)

或:

fzdz2iRes[f(z),z]ck1(留數(shù)基本定理)

fzn1(zz)o若被積函數(shù)不能表示成,則須改用第五章留數(shù)定理來計算。

在柯西定理的基礎上還有莫拉雷定理,柯西不等式,劉維爾定理最大模原理

解析函數(shù)的模不能再區(qū)域內(nèi)達到極大值,除非它是一個常函數(shù)

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