高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)經(jīng)典知識點總結(jié)

三角函數(shù)知識要點

1.①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：|k360,kZ

|k180,kZ③終邊在y軸上的角的集合：|k18090,kZ④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：|k90,kZ⑤終邊在y=x軸上的角的集合：|k18045,kZ⑥終邊在yx軸上的角的集合：|k18045,kZ

②終邊在x軸上的角的集合：

▲y2sinx1cosxcosx3sinx4cosxcosxx⑦若角與角的終邊關(guān)于x軸對稱，則角與角的關(guān)系：360k⑧若角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，則角與角的關(guān)系：360k180⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：180k⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：360k90

2.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18．1°＝≈0.01745（rad）

1803、弧長公式：l2||r.扇形面積公式：s扇形lr||r

1sinxsinx342SIN\\COS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在區(qū)域ya的終邊P（x,y)r4、三角函數(shù)：設(shè)是一個任意角，在的終邊上任�。ó愑谠�點的）一點P（x,y）P與原點的距離為r，則siny；cosx；tany；cotx；secr；.cscr.

xrxryy5、三角函數(shù)在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）

1212oxyPT++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切y16.幾個重要結(jié)論:(1)y(2)y|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|xOMAx6、三角函數(shù)線

正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT.7.三角函數(shù)的定義域：三角函數(shù)f(x)sinx

cosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o公式組四公式組五公式組六sin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)cotx

sin2(x)sinxcos2(x)cosxtan2(x)tanxcot2(x)cotx

sin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)coxt

（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

coscos()coscossinsinsin22sin222co2ssin2co2s112sincos()coscossinsincos21tan1cossin()sincoscossinsin

22sin()sincoscossintan22tan

tan()tan()tantan1coscos

1tantan22tantan1cossin1costan1tantan21cos1cossin公式組三公式組四公式組五1sincossinsin12tan2cos()sin221sincossinsinsin221tan12sin()cos12coscoscoscos2121tantan()cot212sinsincoscoscos221tan2

sinsin2sinsinsin2cos2cos2sin222tancoscos2coscos221tan22coscos2sinsin222tan1cos()sin21tan()cot21sin()cos262,tan15cot7523,tan75cot1523.410.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：注意：①ysinx與ysinx的單調(diào)性正好相反；ycosx與ycosx的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若yf(x)在[a,b]sin15cos7562,sin75cos154上遞增（減），則yf(x)在[a,b]上遞減（增）.②ysinx與ycosx的周期是.

▲yx)或ycos(x)（0）的周期T③ysin(ytan2.

xOx的周期為2（TT2，如圖，翻折無效）.

2os(x)的對稱軸方程是xk（kZ）④ysin(，對稱中心（k,0）；yc2x)的對稱軸方程是xk（kZ），

k,0）.ycos2x原點對稱ycos(2x)cos2x2tan1,k(kZ)；tantan1,k(kZ).⑤當(dāng)tan

對稱中心（k1,0）；

2ytan(x)的對稱中心（

221⑥ycosx與ysinx2k是同一函數(shù),而y(x)是偶函數(shù)，則y(x)sin(xk)cos(x).

22⑦函數(shù)

ytanx在R上為增函數(shù).（×）[只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個定義域，ytanx為增函數(shù)，同樣也是

錯誤的].

⑧定義域關(guān)于原點對稱是

，f(x)具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關(guān)于原點對稱（奇偶都要）

二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：f(x)f(x)，奇函數(shù)：f(x)f(x)）奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：奇函數(shù)特有性質(zhì)：若0ytanx是奇函數(shù)，ytan(x1)是非奇非偶.（定義域不關(guān)于原點對稱）

3▲x的定義域，則f(x)一定有f(0)0.（0x的定義域，則無此性質(zhì)）

y⑨ysinx不是周期函數(shù)；ysinx為周期函數(shù)（T）；；ycosx為周期函數(shù)（T）；ycosx是周期函數(shù)（如圖）

1/2xycos2x1的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：yf(x)5f(xk),y=|.kcos2x+1/2R|圖象2▲y⑩yacosbsina2b2sin()cos定義域值域周期性奇偶性單調(diào)性b有a2b2y.ay=cos|x|圖象xysinxycosxytanxycotxyAsinx（A、＞0）RRR1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ[1,1]2奇函數(shù)[1,1]RRA,A22偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)0,非奇非偶當(dāng)0,奇函數(shù)2k2k2k2k[22k,[2k1,2k][2k,；2[2k]上為增函數(shù)k,k1上為減函k,k數(shù)（kZ）22上為增函數(shù)（kZ）上為增函數(shù)；2k1]232k]22k,上為減函數(shù)（kZ）2(A),12(A)上為增函數(shù)；上為減函數(shù)（kZ）2(A),32(A)上為減函數(shù)（kZ）11、三角函數(shù)圖象的作法：1）、描點法五點作圖法2）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象．三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．

函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2，頻率f1||，相位x;初相（即當(dāng)x＝0時的相位）．（當(dāng)A＞

T2||0，ω＞0時以上公式可去絕對值符號），由y＝sinx的圖象上的點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)|A|＞1）或縮短（當(dāng)0＜|A|＜1）到原來的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）.由y＝sinx的圖象上的

1點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的||倍，得到y(tǒng)＝sinωx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx替換x).由y＝sinx的圖象上所有的點向左（當(dāng)φ＞0）或向右（當(dāng)φ＜0）平行移動｜φ｜個單位，得到y(tǒng)＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點向上（當(dāng)b＞0）或向下（當(dāng)b＜0）平行移動｜b｜個單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）.由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)經(jīng)典總結(jié)

三角函數(shù)知識點總結(jié)整理者:陳老師

1.①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：|k360,kZ

②終邊在x軸上的角的集合：|k180,kZ③終邊在y軸上的角的集合：|k18090,kZ

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：|k90,kZ

⑤終邊在y=x軸上的角的集合：|k18045,kZ⑥終邊在yx軸上的角的集合：|k18045,kZ

⑦若角與角的終邊關(guān)于x軸對稱，則角與角的關(guān)系：360k

⑧若角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，則角與角的關(guān)系：360k180

⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：180k

⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：360k902.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′3、弧長公式：l||r.扇形面積公式：s12扇形2lr12||r

4、三角函數(shù)在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）

yy+y+-+-+-o-x-o+x+o-x正弦、余割余弦、正割正切、余切

5.三角函數(shù)的定義域：

三角函數(shù)定義域f(x)sinxx|xRf(x)cosxx|xRf(x)tanxx|xR且xk1,kZ2

f(x)cotxx|xR且xk,kZ

sincos6、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

costan

sincot

tancot1sin2cos217、誘導(dǎo)公式：

把k的三角函數(shù)化為的三角函數(shù)，概括為：“奇變偶不變，符號看象限”2三角函數(shù)的公式：

（一）基本關(guān)系

公式組一sinxcscx=1tanx=sinx22

cosxsinx+cosx=1cosxsecx=1x=cosxsinx1+tan2x=sec2xtanxcotx=11+cot2x=csc2x

公式組二公式組三

sin(2kx)sinxsin(x)sinxcos(2kx)cosxcos(x)cosxtan(2kx)tanxtan(x)tanx

cot(2kx)cotxcot(x)cotx

公式組四公式組五公式組六

sin(x)sinxsin(2x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos(2x)cosxcos(x)cosxtan(x)tanxtan(2x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotx

cot(2x)cotxcot(x)cotx（二）角與角之間的互換

cos()coscossinsinsin22sincos

cos()coscossinsin-2-

cos2cos2sin2cos112sin

2tan1tan2222sin()sincoscossintan2sin()sincoscossintan()tantan1tantan

tantan1tantan

tan()

8.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：

ysinxycosxytanxycotxyAsinx（A、＞0）定義域RR值域周期性奇偶性單調(diào)性[1,1][1,1]1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZRRR奇函數(shù)A,A22奇函數(shù)2當(dāng)當(dāng)0,非奇非偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)0,上為上為上為增函上為增函數(shù)；上為增增函數(shù)；增函數(shù)；數(shù)；上為減函數(shù)函數(shù)；上為減函數(shù)上為減上為減上為減函數(shù)函數(shù)函數(shù)注意：①ysinx與ysinx的單調(diào)性正好相反；ycosx與ycosx的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上遞增（減），則yf(x)在[a,b]上遞減（增）.②ysinx與的ycosx周期是.

▲y

Ox

0）的周期T③ysin(x)或yx2cos(x)（2.

ytan的周期為2（TT2，如圖，翻折無效）.

④ysin(x)的對稱軸方程是xk2（

kZ），對稱中心（

12k,0）；

ycos(x)的對稱軸方程是xk（

kZ），對稱中心（k,0）；

yatn(

x)的對稱中心（

k2,0）.

三角函數(shù)圖像

數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2||，頻率f1T||2，相位x;初

相（即當(dāng)x＝0時的相位）．（當(dāng)A＞0，ω＞0時以上公式可去絕對值符號），

由y＝sinx的圖象上的點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)|A|＞1）或縮短（當(dāng)0＜|A|＜1）到原來的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）

由y＝sinx的圖象上的點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的|1|倍，得到y(tǒng)＝sinωx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用

ωx替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點向左（當(dāng)φ＞0）或向右（當(dāng)φ＜0）平行移動｜φ｜個單位，得到y(tǒng)＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點向上（當(dāng)b＞0）或向下（當(dāng)b＜0）平行移動｜b｜個單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）

由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。

三角函數(shù)復(fù)習(xí)題（一）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

1．已知x∈(－π2，0)，cosx＝4

5

，則tan2x等于（）

A.7

B.－724C.24

247

D.－24

7

2．3cos

π12－sinπ

12的值是（）A.0

B.－2C.

2

D.2

3．已知α，β均為銳角，且sinα＝

55，cosβ＝31010，則α＋β的值為（）A.π34或π

4

B.3π4C.π4D.2kπ＋π4

(k∈Z)

4．sin15°cos30°sin75°的值等于（）

A.3B.34

8C.1

D.1

84

5．若f(cosx)＝cos2x，則f(sin

π12

)等于（）A.12B.－12C.－332D.2

6．sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－3cos(120°－x)的值為（）

A.12

B.32

C.1

D.0

7．已知sinα＋cosα＝1

3

，α∈(0，π)，那么sin2α，cos2α的值分別為（）

A.89，179

B.－817

9，9

C.－89，－179D.－817

9，±9

8．在△ABC中，若tanAtanB>1，則△ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定cos（π＋α）－sin（π

＋α）

9．化簡44

的結(jié)果為（）

cos（π4－α）＋sin（π

4

－α）

A.tanα

B.－tanαC.cotα

D.－cotα

10．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，則cos(α－β)的值為（）A.－1

2

B.1

2

C.－1

D.1

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）．sin70＋cos150sin80

11cos70－sin150sin80的值等于_____________.

12．若

1－tanA1＋tanA

＝4＋5，則cot(π

4＋A)＝_____________.

-5-

4ππππ

13．已知tanx＝(π＜x＜2π)，則cos(2x－)cos(－x)－sin(2x－)sin(－x)＝_____.

33333ππππ

14．sin(－3x)cos(－3x)－cos(＋3x)sin(＋3x)＝_____________.

4364

2π1ππ

15．已知tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，則sin(α＋)sin(－α)的值為____________.

54444ββα－βα

16．已知5cos(α－)＋7cos＝0，則tantan＝_____________.

2222

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）π12ππ

17．（本小題滿分12分）已知cos(α－)＝，＜α＜，求cosα.

61362

π2

18．（本小題滿分14分）已知sin2α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，)，

2

求sinα、tanα.

19．（本小題滿分14分）在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，

ACAC

求tan＋tan＋3tantan的值.

2222

1217233

20．（本小題滿分15分）已知cosα＝－，cos(α＋β)＝，且α∈(π，π)，α＋β∈(π，2π)，求β.

132622

三角函數(shù)單元復(fù)習(xí)題（一）答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

1．D2．C3．C4．B5．C6．D7．C8．A9．B10．A二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11．2－312．4＋513．－32－6514．4

15．【解析】∵tan(α＋π4)＝tan［(α＋β)－(β－π3

4)］＝22

∴原式＝sin(α＋π4)cos(α＋π

4)

sin(α＋π)cos(α＋π)tan(α＋π

＝44)

＝4＝66

.sin2(α＋π4)＋cos2(α＋π2

π493

4)1＋tan(α＋4)

16．【解析】由5cos(α－ββ

2)＋7cos2

＝0得：

5cos（

α－β2＋α2）＋7cos（α－β2－α

2

）＝0展開得：12cos

α－β2cosβ2＋2sinα－β2sinβ

2

＝0，兩邊同除以cosα－β2cosβ2得tanα－β2tanα

2

＝－6.

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分12分）已知cos(α－π6)＝1213，π6＜α＜π

2

，求cosα.

【解】由于0＜α－π6＜ππ12

3，cos(α－6)＝13

所以sin(α－π

26

)＝

1－cos(α－π6)＝5

13

所以cosα＝cos［(α－π6)＋π123－5

6］＝26

18．（本小題滿分14分）已知sin2

2α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，π2

)，

求sinα、tanα.

【解】∵sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1∴4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0

即：cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0cos2α(sinα＋1)(2sinα－1)＝0又α∈(0，π2

)，∴cos2α>0，sinα＋1>0.

故sinα＝12，α＝π36，tanα＝3

.19．（本小題滿分14分）在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，

求tanACAC

2＋tan2＋3tan2tan2

的值.

-7-

【解】因為A、B、C成等差數(shù)列，A＋B＋C＝π，所以A＋C＝

2πACπ，＋＝3223

AC

tan＋tanAC22∴tan(＋)＝3，由兩角和的正切公式，得＝3

22AC

1－tantan

22ACAC

tan＋tan＝3－3tantan2222ACAC

tan＋tan＋3tantan＝3.2222

1217233

20．（本小題滿分15分）已知cosα＝－，cos(α＋β)＝，且α∈(π，π)，α＋β∈(π，2π)，求β.

132622

【分析】要求β就必須先求β的某一個三角函數(shù)值，對照已知與欲求的目標(biāo)，宜先求出cosβ的值，再由β的范圍得出β.

33

【解】∵π＜α＜π，π＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.

22又∵cosα＝－

12172572，cos(α＋β)＝，∴sinα＝－，sin(α＋β)＝－13261326

172127252（－）＋（－）（－）＝－.261326132

故cosβ＝cos［(α＋β)－α］＝3

而0＜β＜π，∴β＝π.

4

【評注】本題中若求sinβ，則由sinβ＝三角函數(shù)值得考慮.

23

及0＜β＜π不能直接推出β＝π，因此本類問題如何選擇24

三角函數(shù)復(fù)習(xí)題（二）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

1．下列函數(shù)中，最小正周期為π的偶函數(shù)是（）

A.y＝sin2xC.y＝sin2x＋cos2x

x

B.y＝cos

2

1－tan2xD.y＝2

1＋tanx

2．設(shè)函數(shù)y＝cos(sinx)，則（）

A.它的定義域是［－1，1］B.它是偶函數(shù)

C.它的值域是［－cos1，cos1］D.它不是周期函數(shù)

3．把函數(shù)y＝cosx的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的兩倍，然后把圖象

π

向左平移個單位.則所得圖象表示的函數(shù)的解析式為（）

4A.y＝2sin2x

B.y＝－2sin2x

xπ

D.y＝2cos(＋)

24π

C.y＝2cos(2x＋)

4π

4．函數(shù)y＝2sin(3x－)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是（）

4

πA.3

B.

2π

C.π3

D.

4π

3

5．若sinα＋cosα＝m，且－2≤m＜－1，則α角所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限6．函數(shù)y＝|cotx|sinx（0＜x≤

3π

且x≠π）的圖象是（）2

7．設(shè)y＝

cos2x

，則下列結(jié)論中正確的是（）

1＋sinx

A.y有最大值也有最小值B.y有最大值但無最小值

C.y有最小值但無最大值D.y既無最大值又無最小值π

8．函數(shù)y＝sin（－2x)的單調(diào)增區(qū)間是（）

4

A.［kπ－

3πππ5π，kπ＋］(k∈Z)B.［kπ＋，kπ＋］(k∈Z)8888

π3π3π7π

C.［kπ－，kπ＋］(k∈Z)D.［kπ＋，kπ＋］(k∈Z)

888812

9．已知0≤x≤π，且－＜a＜0，那么函數(shù)f(x)＝cosx－2asinx－1的最小值是（）

2

A.2a＋1

B.2a－1C.－2a－1

D.2a

π

10．求使函數(shù)y＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，且在［0，］上是增函數(shù)的θ的一個值為

4

（）A.5π

3B.

4π2πC.33

πD.3

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11．函數(shù)y＝

cosx

的值域是_____________.

1＋2cosx

cosx

12．函數(shù)y＝的定義域是_____________.

lg（1＋tanx）

13．如果x，y∈［0，π］，且滿足|sinx|＝2cosy－2，則x＝___________，y＝___________.14．已知函數(shù)y＝2cosx，x∈［0，2π］和y＝2，則它們的圖象所圍成的一個封閉的平面圖形的面積是

_____________

15．函數(shù)y＝sinx＋cosx＋sin2x的值域是_____________.π

16．關(guān)于函數(shù)f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)有下列命題：

3

①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整數(shù)倍；π②y＝f(x)的表達(dá)式可改為y＝4cos(2x－)；

6π

③y＝f(x)的圖象關(guān)于點（－，0)對稱；

6π

④y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－對稱.

6

其中正確的命題的序號是_____________.

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分12分）如圖為函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的一部分，試求該函數(shù)的一個解

析式.

18．（本小題滿分14分）已知函數(shù)y＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.(x∈R)

(1)當(dāng)y取得最大值時，求自變量x的取值集合.

(2)該函數(shù)圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？

3π

19．(本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點M（，

4π

0)對稱，且在區(qū)間［0，］上是單調(diào)函數(shù)，求φ和ω的值.

2

三角函數(shù)單元復(fù)習(xí)題（二）答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

1．D2．B3．B4．A5．C6．C7．C8．D9．C10．C

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

1ππ

11．（－∞，］∪［1，+∞)12．{x|－＋2kπ＜x＜2kπ或2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)}

3425

13．x＝0或π，y＝014．4π15．{y｜－≤y≤1＋2}16．②③

4

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分12分）如圖為函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的一部分，試求該函數(shù)的一個解

析式.

【解】由圖可得：A＝3，T＝2｜MN｜＝π.

2π

從而ω＝＝2，故y＝3sin(2x＋φ)

Tπ2π

將M（，0）代入得sin(＋φ)＝0

33取φ＝－

2π2π

得y＝3sin(2x－)33

5π

，0）代入y＝3sin(2x+φ)6

【評注】本題若將N（則可得：sin(

5π5π5π2π

＋φ)＝0.若取φ＝－，則y＝3sin(2x－)＝－3sin(2x－)，它與y＝33333

π

sin(2x－)的圖象關(guān)于x軸對稱，故求解錯誤！因此，將點的坐標(biāo)代入函數(shù)y＝3sin(2x＋φ)后，如何確

32π

定φ，要看該點在曲線上的位置.如：M在上升的曲線上，就相當(dāng)于“五點法”作圖中的第一個點，故＋φ

35π

＝0；而N點在下降的曲線上，因此相當(dāng)于“五點法”作圖中的第三個點，故＋φ＝π，由上可得φ的值

32π

均為－.

3

18．（本小題滿分14分）已知函數(shù)y＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.(x∈R)

(1)當(dāng)y取得最大值時，求自變量x的取值集合.

(2)該函數(shù)圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？

π

【解】y＝1＋sin2x＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋2＝2sin(2x＋)＋2.

4π

(1)要使y取得最大值，則sin(2x＋)＝1.

4πππ

即：2x＋＝2kπ＋x＝kπ＋(k∈Z)

428π

∴所求自變量的取值集合是{x｜x＝kπ＋，k∈Z}.

8(2)變換的步驟是：

ππ

①把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)y＝sin(x+)的圖象；

44

1π

②將所得的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得函數(shù)y＝sin(2x＋）的圖象；

24π

③再將所得的圖象上各點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），得函數(shù)y＝2sin(2x＋)的圖

4象；

π

④最后將所得的圖象向上平移2個單位，就得到y(tǒng)＝2sin(2x＋)+2的圖象.

4【說明】以上變換步驟不唯一！

3π

19．(本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點M（，

4π

0)對稱，且在區(qū)間［0，］上是單調(diào)函數(shù)，求φ和ω的值.

2【解】由f(x)是偶函數(shù)，得f(x)＝f(－x)即sin(ωx＋φ)＝sin(－ωx＋φ)∴－cosφsinωx＝cosφsinωx對任意x都成立.π且ω＞0，∴cosφ＝0，依題設(shè)0≤φ≤π，∴φ＝

2由f(x)的圖象關(guān)于點M（

3π

，0）對稱，得，4

3π3π3π

取x＝0，得f()＝－f()，∴f()＝0

444∴f(

3π3ωππ3ωπ

)＝sin(＋)＝cos＝0，又ω＞04424

3ωππ2

∴＝＋kπ，k＝0，1，2，，ω＝(2k＋1)，k＝0，1，2，42322ππ

當(dāng)k＝0時，ω＝，f(x)＝sin(x＋)在區(qū)間［0，］上是減函數(shù)；

3322ππ

當(dāng)k＝1時，ω＝2，f(x)＝sin(2x＋)在區(qū)間［0，］上是減函數(shù)；

2210ππ

當(dāng)k≥2時，ω≥，f(x)＝sin(ωx＋)在區(qū)間［0，］上不是單調(diào)函數(shù)；

3222

所以，ω＝或ω＝2.

3

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