一次函數(shù)總結(jié)

一次函數(shù)基本題型過(guò)關(guān)

題型一、點(diǎn)的坐標(biāo)

方法：x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為0；若兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則他們的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；若兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則它們的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；若兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)也互為相反數(shù)；

1.若點(diǎn)A（m,n）在第二象限，則點(diǎn)（|m|,-n）在第____象限；2.若點(diǎn)P（2a-1,2-3b）是第二象限的點(diǎn)，則a,b的范圍為______________________；3.已知A（4，b），B（a,-2），若A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，則a=_______,b=_________;若A,B關(guān)于y軸對(duì)稱，則a=_______,b=__________;若A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a=____,b=____；4.若點(diǎn)M（1-x,1-y）在第二象限，那么點(diǎn)N（1-x,y-1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在第___象限。題型二、關(guān)于點(diǎn)的距離的問(wèn)題

方法：點(diǎn)到x軸的距離用縱坐標(biāo)的絕對(duì)值表示，點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離用橫坐標(biāo)的絕對(duì)值表示；任意兩點(diǎn)

A(xA,yA),B(xB,yB)的距離為(xAxB)2(yAyB)2；若AB∥x軸，則

的距離為A(xA,0),B(xB,0)xAxB；若AB∥y軸，則

A(0,yA),B(0,yB)的距離為yAyB；點(diǎn)A(xA,yA)到原點(diǎn)之間的距離為xA2yA2

1.點(diǎn)B（2，-2）到x軸的距離是____；到y(tǒng)軸的距離是____；2.點(diǎn)C（0，-5）到x軸的距離是___；到y(tǒng)軸的距離是____；到原點(diǎn)的距離是____；3.點(diǎn)D（a,b）到x軸的距離是___；到y(tǒng)軸的距離是____；到原點(diǎn)的距離是____；4.兩點(diǎn)（3，-4）、（5，a）間的距離是2，則a的值為____；5.已知點(diǎn)A（0,2）、B（-3，-2）、C（a,b），若C點(diǎn)在x軸上，且∠ACB=90°，則C點(diǎn)坐標(biāo)為_______.6.已知點(diǎn)P（3,0），Q(-2,0),則PQ=__________,已知點(diǎn)M110,,N0,,則MQ=________;E2,1,F2,8,則EF兩

22點(diǎn)之間的距離是__________;已知點(diǎn)G（2，-3）、H（3,4），則G、H兩點(diǎn)之間的距離是_________；題型三、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的識(shí)別

方法：若y=kx+b(k,b是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的一次函數(shù)，特別的，當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)就成為y=kx(k是常數(shù)，k≠0)，這時(shí)，y叫做x的正比例函數(shù)，當(dāng)k=0時(shí)，一次函數(shù)就成為若y=b，這時(shí)，y叫做常函數(shù)。☆A(yù)與B成正比例A=kB(k≠0)1、當(dāng)k_________時(shí)，3、當(dāng)m_____時(shí)，yyk3x22x3是一次函數(shù)；2、當(dāng)m______時(shí)，ym3x2m14x5是一次函數(shù)；

4、2y-3與3x+1成正比例，且x=2,y=12,則y與x的函數(shù)解析式為_______；m4x2m14x5是一次函數(shù)；

題型四、函數(shù)圖像及其性質(zhì)方法：函數(shù)圖象b＞0k＞0y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）k＜0b=0b＞0b=0b＜0性質(zhì)經(jīng)過(guò)象限變化規(guī)律b＜0☆一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中k、b的意義：k(稱為斜率)表示直線y=kx+b（k≠0）的傾斜程度；b（稱為截距）表示直線y=kx+b（k≠0）與y軸交點(diǎn)的，也表示直線在y軸上的�！钔�一平面內(nèi)，不重合的兩直線y=k1x+b1（k1≠0）與y=k2x+b2（k2≠0）的位置關(guān)系：

當(dāng)時(shí)，兩直線平行。當(dāng)時(shí)，兩直線垂直。當(dāng)時(shí)，兩直線相交。當(dāng)時(shí)，兩直線交于y軸上同一點(diǎn)�！钐厥庵本�方程：X軸:直線;Y軸:直線;與X軸平行的直線;與Y軸平行的直線;一、三象限角平分線;二、四象限角平分線

1、對(duì)于函數(shù)y＝5x+6，y的值隨x值的減小而___________。2、對(duì)于函數(shù)y12x,y的值隨x值的________而增大。233、一次函數(shù)y=(6-3m)x＋(2n－4)不經(jīng)過(guò)第三象限，則m、n的范圍是__________。4、直線y=(6-3m)x＋(2n－4)不經(jīng)過(guò)第三象限，則m、n的范圍是_________。5、已知直線y=kx+b經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，那么直線y=-bx+k經(jīng)過(guò)第_______象限。6、無(wú)論m為何值，直線y=x+2m與直線y=-x+4的交點(diǎn)不可能在第______象限。7、已知一次函數(shù)

題型五、待定系數(shù)法求解析式

方法：依據(jù)兩個(gè)獨(dú)立的條件確定k,b的值，即可求解出一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的解析式。

已知是直線或一次函數(shù)可以設(shè)y=kx+b（k≠0），若點(diǎn)在直線上，則可以將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式構(gòu)建方程。1、若函數(shù)y=3x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-6），求函數(shù)的解析式。

2、直線y=kx+b的圖像經(jīng)過(guò)A（3，4）和點(diǎn)B（2，7），

3、如圖1表示一輛汽車油箱里剩余油量y（升）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的關(guān)系．求油箱里所剩油y（升）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并且確定自變量x的取值范圍。

4、一次函數(shù)的圖像與y=2x-5平行且與x軸交于點(diǎn)（-2,0）求解析式。

5、若一次函數(shù)y=kx+b的自變量x的取值范圍是-2≤x≤6，相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是-11≤y≤9，求此函數(shù)的解析式。

6、已知直線y=kx+b與直線y=-3x+7關(guān)于y軸對(duì)稱，求k、b的值。

7、已知直線y=kx+b與直線y=-3x+7關(guān)于x軸對(duì)稱，求k、b的值。

8、已知直線y=kx+b與直線y=-3x+7關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求k、b的值。

題型六、平移

方法：直線y=kx+b與y軸交點(diǎn)為（0，b），直線平移則直線上的點(diǎn)（0，b）也會(huì)同樣的平移，平移不改變斜率k，則將平移后的點(diǎn)代入解析式求出b即可。直線y=kx+b向左平移2向上平移3y=k(x+2)+b+3;（“左加右減，上加下減”）。

1.直線y=5x-3向左平移2個(gè)單位得到直線。2.直線y=-x-2向右平移2個(gè)單位得到直線

2

,1）當(dāng)m取何值時(shí)，y隨x的增大而減�。�2）當(dāng)m取何值時(shí)，函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)？

3.直線y=

12x向右平移2個(gè)單位得到直線4.直線y=3x2向左平移2個(gè)單位得到直線25.直線y=2x+1向上平移4個(gè)單位得到直線6.直線y=-3x+5向下平移6個(gè)單位得到直線

1x向上平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位得到直線。338.直線yx1向下平移2個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位得到直線________。

47.直線

y9.過(guò)點(diǎn)（2，-3）且平行于直線y=2x的直線是_________。10.過(guò)點(diǎn)（2，-3）且平行于直線y=-3x+1的直線是___________.11．把函數(shù)y=3x+1的圖像向右平移2個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位，可得到的圖像表示的函數(shù)是____________；

12．直線m:y=2x+2是直線n向右平移2個(gè)單位再向下平移5個(gè)單位得到的，而（2a,7）在直線n上，則a=____________；題型七、交點(diǎn)問(wèn)題及直線圍成的面積問(wèn)題

方法：兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)必滿足兩直線解析式，求交點(diǎn)就是聯(lián)立兩直線解析式求方程組的解；復(fù)雜圖形“外補(bǔ)內(nèi)割”即：往外補(bǔ)成規(guī)則圖形，或分割成規(guī)則圖形（三角形）；往往選擇坐標(biāo)軸上的線段作為底，底所對(duì)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)確定高；1.直線經(jīng)過(guò)（1,2）、（-3,4）兩點(diǎn)，求直線與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積。

2.已知一個(gè)正比例函數(shù)與一個(gè)一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（3,4），且OA=OB(1)求兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）求△AOB的面積；

3.已知直線m經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（1,6）、（-3，-2），它和x軸、y軸的交點(diǎn)是B、A，直線n過(guò)點(diǎn)（2，-2），且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-3，它和x軸、y軸的交點(diǎn)是D、C；(1)分別寫出兩條直線解析式，并畫草圖；

(2)計(jì)算四邊形ABCD的面積；(3)若直線AB與DC交于點(diǎn)E，求△BCE的面積。

4.如圖，A、B分別是x軸上位于原點(diǎn)左右兩側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)P（2，p）在第一象限，直線PA交y軸于點(diǎn)C（0,2），直線PB交y軸于點(diǎn)D，△AOP的面積為6；(1)求△COP的面積；(2)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及p的值；(3)若△BOP與△DOP的面積相等，求直線BD的函數(shù)解析式。

5、已知：

經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3，-2），它與x軸，y軸分別交于點(diǎn)B、A，直線

與

交于點(diǎn)P，求

DECP(2,p)yB4321A01234y4AB-2OD6xC-3EFAOFBx經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-2），且與y

的值。

軸交于點(diǎn)C（0，-3），它與x軸交于點(diǎn)D（1）求直線的解析式；（2）若直線

6.如圖，已知點(diǎn)A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求△ABC的面積。

1.如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).則四邊形AMND的面積y（cm2）與兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t（s）的函數(shù)圖象大致

2、直線

y1kxb過(guò)第一、二、四象限，則直線y2bxk不經(jīng)過(guò)（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限

3、無(wú)論m為何實(shí)數(shù)，直線yx2m與yx4的交點(diǎn)不可能在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4、一次函數(shù)

ykxb和正比例函數(shù)ykbx在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（）

yyyyxxxx

A．B．C．D．

5、已知一次函數(shù)

ykxk，若y隨著x的增大而減小，則該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（

）

Ａ．第一、二、三象限Ｂ．第一、二、四象限Ｃ．第二、三、四象限Ｄ．第一、三、四象限6、一次函數(shù)

ykxb滿足kb0，

且y隨x的增大而減小，則此函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)（）yＡ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限B0，27、如圖，一次函數(shù)ykxb的圖象經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，則kxb0的解集是（

）

A3，0OxＡ.x0

Ｂ.x2C.x3Ｄ.3x2

8.（泉州）在一次函數(shù)y2x3中，y隨x的增大而

（填“增大”或“小”），

當(dāng)0x5時(shí)，y的最小值為

9.若函數(shù)y=（m2）x＋5－m是正比例函數(shù)，則m滿足的條件是_______10.已知函數(shù)yxm與ymx4的圖像的交點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，那么m的值為________

11、若一次函數(shù)y(k2)x2k3的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限，則k的取值范圍是；

12、直線

ykxb與

y5x1平行，且經(jīng)過(guò)（2，1），則

k=,b=.

y13、已知m是整數(shù)，且一次函數(shù)y(m4)xm2的圖象不過(guò)第二象限，則

y2x1m=；3A14、如圖，已知兩直線y23x32x12C和y，求它們與y軸所圍成的三角形1D的面積．O1x1B2392y23x3

擴(kuò)展閱讀：初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié):

一次函數(shù)：一次函數(shù)圖像與性質(zhì)是中考必考的內(nèi)容之一。中考試題中分值約為10分左右題型多樣，形式靈活，綜合應(yīng)用性強(qiáng)。甚至有存在探究題目出現(xiàn)。主要考察內(nèi)容：①會(huì)畫一次函數(shù)的圖像，并掌握其性質(zhì)。②會(huì)根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式。③能用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。④考察一ic函數(shù)與二元一次方程組，一元一次不等式的關(guān)系。突破方法：①正確理解掌握一次函數(shù)的概念，圖像和性質(zhì)。②運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想解與一次函數(shù)圖像有關(guān)的問(wèn)題。③掌握用待定系數(shù)法球一次函數(shù)解析式。④做一些綜合題的訓(xùn)練，提高分析問(wèn)題的能力。

函數(shù)性質(zhì)：

1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k.即：y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0），∵當(dāng)x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。

2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的點(diǎn),坐標(biāo)為(0，b)。

3當(dāng)b=0時(shí)(即y=kx)，一次函數(shù)圖像變?yōu)檎�比例函�?shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。

4.在兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式中：

當(dāng)兩一次函數(shù)表達(dá)式中的k相同，b也相同時(shí)，兩一次函數(shù)圖像重合；當(dāng)兩一次函數(shù)表達(dá)式中的k相同，b不相同時(shí)，兩一次函數(shù)圖像平行；當(dāng)兩一次函數(shù)表達(dá)式中的k不相同，b不相同時(shí)，兩一次函數(shù)圖像相交；當(dāng)兩一次函數(shù)表達(dá)式中的k不相同，b相同時(shí)，兩一次函數(shù)圖像交于y軸上的同一點(diǎn)（0，b）。若兩個(gè)變量x,y間的關(guān)系式可以表示成Y=KX+b(k,b為常數(shù)，k不等于0）則稱y是x的一次函數(shù)圖像性質(zhì)

1．作法與圖形：通過(guò)如下3個(gè)步驟：（1）列表.

（2）描點(diǎn)；[一般取兩個(gè)點(diǎn),根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”的道理，也可叫“兩點(diǎn)法”。一般的y=kx+b(k≠0）的圖象過(guò)（0，b）和（-b/k，0）兩點(diǎn)畫直線即可。

正比例函數(shù)y=kx(k≠0）的圖象是過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線，一般�。�0,0）和（1，k）兩點(diǎn)。（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖象一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖象只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)分別是-k分之b與0，0與b）.

2．性質(zhì)：

（1）在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像都是過(guò)原點(diǎn)。

3．函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

4．k，b與函數(shù)圖像所在象限：

y=kx時(shí)（即b等于0，y與x成正比例)：

當(dāng)k>0時(shí)，直線必通過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k0,b>0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限；當(dāng)k>0,b

中考要求

1．經(jīng)歷函數(shù)、一次函數(shù)等概念的抽象概括過(guò)程，體會(huì)函數(shù)及變量思想，進(jìn)一步發(fā)展抽象思維能力；經(jīng)歷一次函

數(shù)的圖象及其性質(zhì)的探索過(guò)程，在合作與交流活動(dòng)中發(fā)展合作意識(shí)和能力．

2．經(jīng)歷利用一次函數(shù)及其圖象解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用能力；經(jīng)歷函數(shù)圖象信息的識(shí)別與應(yīng)用過(guò)程，發(fā)展形象思維能力．

3．初步理解一次函數(shù)的概念；理解一次函數(shù)及其圖象的有關(guān)性質(zhì)；初步體會(huì)方程和函數(shù)的關(guān)系．

4．能根據(jù)所給信息確定一次函數(shù)表達(dá)式；會(huì)作一次函數(shù)的圖象，并利用它們解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.中考熱點(diǎn)

一次函數(shù)知識(shí)是每年中考的重點(diǎn)知識(shí)，是每卷必考的主要內(nèi)容．本知識(shí)點(diǎn)主要考查一次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用，這些知識(shí)能考查考生綜合能力、解決實(shí)際問(wèn)題的能力．因此，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是中考的熱點(diǎn)，和幾何、方程所組成的綜合題是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題.中考命題趨勢(shì)及復(fù)習(xí)對(duì)策

一次函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要內(nèi)容之一，題量約占全部試題的5％～10％，分值約占總分的5％～

10％，題型既有低檔的填空題和選擇題，又有中檔的解答題，更有大量的綜合題，近幾年中考試卷中還出現(xiàn)了設(shè)計(jì)新穎、貼近生活、反映時(shí)代特征的閱讀理解題、開放探索題、函數(shù)應(yīng)用題，這部分試題包括了初中代數(shù)的所有數(shù)學(xué)思想和方法，全面地考查計(jì)算能力，邏輯思維能力、空間想象能力和創(chuàng)造能力．

針對(duì)中考命題趨勢(shì)，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)先理解一次函數(shù)概念．掌握其性質(zhì)和圖象，而且還要注重一次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用的練習(xí)．

復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

考點(diǎn)講析

1．一次函數(shù)的意義及其圖象和性質(zhì)

⑴．一次函數(shù)：若兩個(gè)變量x、y間的關(guān)系式可以表示成y=kx＋b(k、b為常數(shù)，k≠0）的形式，則稱y是x的一

次函數(shù)(x是自變量,y是因變量〕特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱y是x的正比例函數(shù)．

⑵．一次函數(shù)的圖象：一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，b),(－，0）的一條直線，正比例函數(shù)y=kx的圖

象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0，0）的一條直線，如下表所示．

⑶．一次函數(shù)的性質(zhì)：y=kx＋b(k、b為常數(shù)，k≠0）當(dāng)k＞0時(shí)，y的值隨x的值增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，y的值隨x值的增大而減�。�

⑷．直線y=kx＋b(k、b為常數(shù)，k≠0）時(shí)在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與k在的關(guān)系．①②③④

直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限（直線不經(jīng)過(guò)第四象限）；直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限（直線不經(jīng)過(guò)第二象限）；直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限（直線不經(jīng)過(guò)第三象限）；直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限（直線不經(jīng)過(guò)第一象限）；

2．一次函數(shù)表達(dá)式的求法

⑴．待定系數(shù)法：先設(shè)出式子中的未知系數(shù)，再根據(jù)條件列議程或議程組求出未知系數(shù)，從而寫出這個(gè)式子的方法，叫做待定系數(shù)法，其中的未知系數(shù)也稱為待定系數(shù)。

⑵．用待定系數(shù)法求出函數(shù)表殼式的一般步驟：⑴寫出函數(shù)表達(dá)式的一般形式；⑵把已知條件(自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值)公共秩序函數(shù)表達(dá)式中，得到關(guān)于待定系數(shù)的議程或議程組；⑶解方程(組)求出待定系數(shù)的值，從而寫出函數(shù)的表達(dá)式。

⑶．一次函數(shù)表達(dá)式的求法：確定一次函數(shù)表達(dá)式常用待定系數(shù)法，其中確定正比例函數(shù)表達(dá)式，只需一對(duì)x與y的值，確定一次函數(shù)表達(dá)式，需要兩對(duì)x與y的值。

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