高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識點與題型總結(jié)
5三角函數(shù)中的實際應(yīng)用例5如圖,甲船以每小時302海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當(dāng)甲船位于A1處時,乙船位于甲船的北偏
A2處時,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處,此時
西105方向的B1處,此時兩船相距20海里,當(dāng)甲船航行20分鐘到達兩船相距102海里,問乙船每小時航行多少海里?
【相關(guān)高考】如圖,測量河對岸的塔高
AB時,可以選與塔底
B在同一水平面內(nèi)的兩個側(cè)點
C與
D.現(xiàn)測得
BCD,BDC,CDs,并在點C測得塔頂A的仰角為,求塔高
AB.
f(x)4cosxsin(x1.已知函數(shù)6)1.
(Ⅰ)求
f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求
f(x)6,在區(qū)間4上的最大值和最小值。
cosA2cosC2ca3.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cosBb,sinC(Ⅰ)求sinA的值;
cosB14,b2(Ⅱ)若
,求ABC的面積S。
5.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知asinAcsinC2asinCbsinB.
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若
A750,b2,求a,c.
f(x)2sin(17.已知函數(shù)
3x6),xR.
f(5(1)求4)的值;
北120A2B2105BA11乙
甲(2)設(shè)
,0,2f(3,
2)106f(32)13,5,求cos()的值.
f(x)sin(x8.已知函數(shù)(Ⅰ)求
73)cos(x)44,xR.
f(x)的最小正周期和最小值;
cos()(Ⅱ)已知
44cos()025,5,2.求證:[f()]20.
f(x)4cosxsin(x1.【解析】:(Ⅰ)因為
6)14cosx(31sinxcosx)122
3sin2x2cosx13sin2xcos2x(Ⅱ)因為
22sin(2x6)所以
f(x)的最小正周期為6x4,所以62x62.32x于是,當(dāng)
62,即x6時,
f(x)取得最大值2;當(dāng)
2x3.
6,即x時,f(x)66取得最小值1.
cosA2cosC2cacosA2cosC2sinCsinAABCcosBb及正弦定理可得,cosBsinB解:(Ⅰ)在中,由,
即sin則sinAsinB2cosCsinB2sinCcosBsinAcosBAsinBsinAcosB2sinCcosB2cosCsinB
sin(AB)2sin(CB)cosA2coCscosB,而
ABC,則
sinC2sAin,即
sinC2sinA。另解1:在
ABC中,由
c2ab可得,bcosA2bcosC2ccosBacosB
由余弦定理可得
b2c2a2a2b2c2a2c2b2a2c2b22caa2c,整理可得
c2a,由正弦定理可得
sinCc2sinAa
。另解2:利用教材習(xí)題結(jié)論解題,在
ABC中有結(jié)論
abcosCccosB,bccosAacosC,cacosBbcosAbcoAsb2Cc由
cosA2cosC2cacosBb可得
obcosAaBcosBa2ccosBB2bcosC,則c2a,即csinCc12cosB,b22222224ca2accosB4aaa4a,c2asinAa4由正弦定理可得。(Ⅱ)由及可得
1115acsinB121cos2B24則a1,c2,S2
S,即
154。
5.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知asinAcsinC0A75,b2,求a,c.
(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若
2asinCbsinB.
【解析】(I)由正弦定理得a2c22acb2…由余弦定理得b2a2c22accosB.故
cosB22,因此B45
(II)
sinAsin(3045)sin30cos45cos30sin45264故
sinA26sinCsin60ab13cb26sinB2sinBsin45.……………………………
7.已知函數(shù)
1f(x)2sin(x)36,xR.
f((1)求
5,0,f(3)10f(32)6)2,4的值;(2)設(shè)213,5,求cos()的值.
73)cos(x)44,xR.
f(x)sin(x8.已知函數(shù)
44cos()02f(x)[f()]20.552(Ⅰ)求的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知,,.求證:
77332sin(x)f(x)sinxcoscosxsincosxcossinxsin4,∴f(x)的最44442sinx2cosx(Ⅰ)解析:
cos()2,最小值f(x)min2.Ⅱ)證明:由已知得
02coscos02.2,∴cos0,則式相加得,∵
[f()]224sin2204∴.
小正周期T
coscossinsin44coscossinsin5,5,兩
擴展閱讀:高中數(shù)學(xué)必修4三角函數(shù)知識點與題型總結(jié)
三角函數(shù)典型考題歸類
1.根據(jù)解析式研究函數(shù)性質(zhì)
例1(天津理)已知函數(shù)f(x)2cosx(sinxcosx)1,xR.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間
π3π上的最小值和最大值.
8,4【相關(guān)高考1】(湖南文)已知函數(shù)f(x)12sinx2πππ2sinxcosx.888求:(I)函數(shù)f(x)的最小正周期;(II)函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
【相關(guān)高考2】(湖南理)已知函數(shù)f(x)cosx21π,g(x)1sin2x.212(I)設(shè)xx0是函數(shù)yf(x)圖象的一條對稱軸,求g(x0)的值.(II)求函數(shù)h(x)f(x)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.2.根據(jù)函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)解析式
0≤≤例2(江西)如圖,函數(shù)y2cos(x)(xR,>0,期為.
(1)求和的值;(2)已知點Aπ2)的圖象與y軸相交于點(0,3),且該函數(shù)的最小正周
yπ,0,點P是該函數(shù)圖象上一點,點Q(x0,y0)是PA的中點,當(dāng)2π時,求x0的值.,π23OAPxy032,x0【相關(guān)高考1】(遼寧)已知函數(shù)f(x)sinxππ2x,(I)求函數(shù)f(x)sinx2cos,xR(其中0)662π2,求函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間.
的值域;(II)(文)若函數(shù)yf(x)的圖象與直線y1的兩個相鄰交點間的距離為
(理)若對任意的aR,函數(shù)yf(x),x(a,aπ]的圖象與直線y1有且僅有兩個不同的交點,試確定的值(不必證明),并求函數(shù)yf(x),xR的單調(diào)增區(qū)間.【相關(guān)高考2】(全國Ⅱ)在△ABC中,已知內(nèi)角A,邊BC23.設(shè)內(nèi)角Bx,周長為y.
(1)求函數(shù)yf(x)的解析式和定義域;(2)求函數(shù)yf(x)的最大值.3.三角函數(shù)求值例3(四川)已知cosα=
17,cos(α-β)=
1314,且0【相關(guān)高考2】(重慶理)設(shè)f(x)=6cos求tan
2x3sin2x(1)求f(x)的最大值及最小正周期;(2)若銳角滿足f()323,
45的值.
4.三角形中的函數(shù)求值
例4(全國Ⅰ)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a2bsinA.
(Ⅰ)求B的大;(文)(Ⅱ)若a33,c5,求b.(理)(Ⅱ)求cosAsinC的取值范圍.【相關(guān)高考1】(天津文)在△ABC中,已知AC2,BC3,cosA45.
(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求sin2B的值.614,tanB【相關(guān)高考2】(福建)在△ABC中,tanA35.(Ⅰ)求角C的大;文(Ⅱ)若AB邊的長為17,求BC邊的長.理(Ⅱ)若△ABC最大邊的邊長為17,求最小邊的邊長.5.三角與平面向量
△ABC36例5(湖北理)已知的面積為,且滿足0≤ABAC≤,設(shè)AB和AC的夾角為.(I)求的取值范圍;
(II)求函數(shù)f()2sin2π43cos2的最大值與最小值.
【相關(guān)高考1】(陜西)設(shè)函數(shù)fxab,
其中向量a(m,cos2x),b(1sin2x,1),xR,且函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點,2,
4(Ⅰ)求實數(shù)m的值;(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最小值及此時x的值的集合.
【相關(guān)高考2】(廣東)已知ΔABC三個頂點的直角坐標分別為A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).
(文)(1)若ABAC0,求c的值;(理)若∠A為鈍角,求c的取值范圍;(2)若c5,求sin∠A的值.
6三角函數(shù)中的實際應(yīng)用
例6(山東理)如圖,甲船以每小時302海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當(dāng)甲船位于A1處時,乙船位于
甲船的北偏西105方向的B1處,此時兩船相距20海里,當(dāng)甲船航行20分鐘到達A2處時,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處,此時兩船相距102海里,問乙船每小時航行多少海里?
【相關(guān)高考】(寧夏)如圖,測量河對岸的塔高AB時,可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個側(cè)點C與D.現(xiàn)測得
BCD,BDC,CDs,并在點C測得塔頂A的仰角為,求塔高AB.
北120B2A2B1
7.三角函數(shù)與不等式
105A1乙
甲例7(湖北文)已知函數(shù)f(x)2sin2πx4ππ3cos2x,x,.(I)求f(x)的最大值和最小值;
42(II)若不等式f(x)m2在x8.三角函數(shù)與極值
例8(安徽文)設(shè)函數(shù)fxcos2ππ上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
4,2x4tsinx2cosx24tt3t4,xR
32其中t≤1,將fx的最小值記為g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表達式;(Ⅱ)討論g(t)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的單調(diào)性并求極值.
三角函數(shù)易錯題解析
例題1已知角的終邊上一點的坐標為(sinA、
23,cos236
),則角的最小值為()。
56B、
23C、
53D、
11例題2A,B,C是ABC的三個內(nèi)角,且tanA,tanB是方程3x25x10的兩個實數(shù)根,則ABC是()
A、鈍角三角形B、銳角三角形C、等腰三角形D、等邊三角形
例題3已知方程x4ax3a10(a為大于1的常數(shù))的兩根為tan,tan,
2且、2,的值是_________________.,則tan22例題4函數(shù)f(x)asinxb的最大值為3,最小值為2,則a______,b_______。
例題5函數(shù)f(x)=
2sinxcosx1sinxcosx2的值域為______________。
22例題6若2sinαsin3sin,則sinsin的取值范圍是
例題7已知,求ycos6sin的最小值及最大值。例題8求函數(shù)f(x)2tanx1tanx2的最小正周期。
例題9求函數(shù)f(x)sin2x22cos(4x)3的值域
34例題10已知函數(shù)f(x)sin(x)(0,0≤≤)是R上的偶函數(shù),其圖像關(guān)于點M(上是單調(diào)函數(shù),求和的值。
,0)對稱,且在區(qū)間[0,
2]201*三角函數(shù)集及三角形高考題
b5,B41.(201*年北京高考9)在ABC中,若
,sinA13,則a.
2A,B,Ca,b,cABCacosAbsinBsinAcosAcosB2.(201*年浙江高考5).在中,角所對的邊分.若,則11(A)-2(B)2(C)-1(D)1
3.(201*年全國卷1高考7)設(shè)函數(shù)重合,則的最小值等于
f(x)cosx(0),將yf(x)的圖像向右平移3個單位長度后,所得的圖像與原圖像
1(A)3(B)3(C)6(D)9
5.(201*年江西高考14)已知角的頂點為坐標原點,始邊為x軸的正半軸,若則y=_______.
p4,y是角終邊上一點,且
sin255,
f(x)sin(2x),其中為實數(shù),若
6.(201*年安徽高考9)已知函數(shù)
則f(x)f(6)對xR恒成立,且
f(2)f(),
f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是
k,k36(A)(kZ)k,k2(B)(kZ)(kZ)
2k,kk,k(kZ)263(C)(D)2227.(201*四川高考8)在△ABC中,sinAsinBsinCsinBsinC,則A的取值范圍是
(0,(A)
6](B)6[,)(0,(C)
3](D)3[,)
f(x)4cosxsin(x1.(201*年北京高考17)已知函數(shù)
6)1.
6,4f(x)f(x)上的最大值和最小值。(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在區(qū)間cosA2cosC3.(201*年山東高考17)在ABC中,內(nèi)角
A,B,C的對邊分別為
a,b,c,已知
cosB2cab,
sinC(Ⅰ)求sinA的值;(Ⅱ)若
cosB14,b2,求ABC的面積S。
5.(201*年全國卷高考18)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知asinAcsinC2asinCbsinB.
A75,b2,求a,c(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若.
0A,B,Ca,b,c6.(201*年湖南高考17)在ABC中,角所對的邊分別為且滿足csinAacosC.(I)求角C的大。唬↖I)求
3sinAcos(B4的最大值,并求取得最大值時角A,B的大。
)f(x)2sin(7.(201*年廣東高考16)已知函數(shù)
13x6,xR.
)f((1)求
54)106,0,f(3)f(32)2,213,5,求cos()的值.的值;(2)設(shè)
f(x)sin(x74)cos(x45,34)8.(201*年廣東高考18)已知函數(shù)(Ⅰ)求
f(x),xR.
45,
0cos()cos()2.求證:[f()]20.
2的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知
9.(201*年江蘇高考17)在△ABC中,角A、B、C所對應(yīng)的邊為
a,b,c,b3csin(A(1)若
6)2cosA,求A的值;(2)若
cosA13,求sinC的值.
b10.(201*高考)△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,asinAsinB+bcos2A=求B。
2a。(I)求a;(II)若c2=b2+3a2,
11.(201*年湖北高考17)設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知(I)求ABC的周長;(II)求
a1,b2,cosC14
cos(AC)的值。
cos2C12.(201*年浙江高考18)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,已知(I)求sinC的值;(Ⅱ)當(dāng)a=2,2sinA=sinC時,求b及c的長.201*三角函數(shù)集及三角形高考題答案
141.(201*年北京高考9)在ABC中,若
b5,B4,sinA13,則a.
a52【答案】
a【解析】:由正弦定理得sinA3bsinB又
b5,B4,sinA115sin4,a523
23所以32.(201*年浙江高考5).在ABC中,角
A,B,C所對的邊分
a,b,c.若acosAbsinB,則sinAcosAcosB
11(A)-2(B)2(C)-1(D)1【答案】D【解析】∵acosAbsinB,∴sinAcosAsin∴sinAcosAcos22B,
Bsin2BcosB1.
3.(201*年全國卷1高考7)設(shè)函數(shù)重合,則的最小值等于
f(x)cosx(0),將yf(x)的圖像向右平移3個單位長度后,所得的圖像與原圖像
1(A)3(B)3(C)6(D)9
【解析】由題意將
yf(x)的圖像向右平移3個單位長度后,所得的圖像與原圖像重合,說明了3是此函數(shù)周期的整數(shù)倍,得
2k3(kZ)6,解得6k,又0,令k1,得min.
4.(201*全國卷),設(shè)函數(shù)
(A)y=在單調(diào)遞增,其圖像關(guān)于直線對稱(B)y=在單調(diào)遞增,其圖像關(guān)于直線對稱
ππππ(C)y=f(x)在(0,2)單調(diào)遞減,其圖像關(guān)于直線x=4對稱(D)y=f(x)在(0,2)單調(diào)遞減,其圖像關(guān)于直線x=2對稱
解析:解法一:f(x)=
ππ2sin(2x+2)=2cos2x.所以f(x)在(0,2)單調(diào)遞減,其圖像關(guān)于直線x=2對稱。故選D。
255,
5.(201*年江西高考14)已知角的頂點為坐標原點,始邊為x軸的正半軸,若則y=_______.
p4,y是角終邊上一點,且
sin答案:8.解析:根據(jù)正弦值為負數(shù),判斷角在第三、四象限,再加上橫坐標為正,斷定該角為第四象限角。
sin對邊y2255斜邊=16yy8
f(x)f(6.(201*年湖南高考9)【解析】若
6)對xR恒成立,則
f(6)sin(3)1,所以3k2,kZ,
k6,kZ.由
f(2)f()sin()sin(2)sin,(kZ),可知,即
,所以
0(2k1)6,kZ,代入
f(x)sin(2x)f(x)sin(2x,得
6,由
)2k22x62k32,
k得
6xk23,故選C.
bca2227.(201*四川高考8)解析:由sinAsinBsinCsinBsinC得abcbc,即cosA12,∵0A,故
0A2222222bc12,
3,選C.
∴f(x)4cosxsin(x1.【解析】:(Ⅰ)因為
6)14cosx(32sinx12cosx)1[高考資源網(wǎng)KS5U.COM]
3sin2x2cos2x13sin2xcos2x2sin(2x6所以f(x)的最小正周期為2x)(Ⅱ)因為
6x4,所以62x623.于是,當(dāng)
62,即x6時,f(x)取得最大值2;當(dāng)
2x66,即x6時,f(x)取得最小值1.
f(x)Asin(2.(201*年浙江高考18)已知函數(shù)
3x),xR,A0,
02.yf(x)的部分圖像,如圖所示,
P、Q分別為該圖像的最高點和最低點,點P的坐標為(1,A).
(Ⅰ)求
f(x)的最小正周期及的值;(Ⅱ)若點R的坐標為(1,0),
PRQ23,求A的值.
T2.(Ⅰ)解:由題意得,
236P(1,A)在因為
yAsin(3x)的圖像上
sin(所以
3)1.又因為
02,所以
6(Ⅱ)解:設(shè)點Q的坐標為
2(x0,A).,由題意可知32x02623,得x04,所以Q(4,A),連接PQ,在△PRQ中,∠PRQ=3,由余弦定理得
cosPRQRPRQPQ2RP.RP2A9A(9A)23.9A222212,解得A2=3。
又A>0,所以A=3。
cosA2cosC2cab,
3.(201*年山東高考17)在ABC中,內(nèi)角
A,B,C的對邊分別為
a,b,c,已知
cosBsinC(Ⅰ)求sinA的值;(Ⅱ)若
cosB14,b2,求ABC的面積S。cosA2cosC解:(Ⅰ)在ABC中,由
cosB2cab及正弦定理可得,
cosA2cosCcosB2sinCsinAsinB,
即sinAsinB2cosCsinB2sinCcosBsinAcosB則sinAsinBsinAcosB2sinCcosB2cosCsinB
sinCsin(AB)2sin(CB),而ABC,則sinCcosA2coCscosB22sAin,即sinA2。另解1:在ABC中,由
c2ab2可得,bcosA2bcosC2ccosBacosB
2bca由余弦定理可得
2cabca222acba222acb2c222,整理可得c2a,由正弦定理可得
sinCsinAca2。
另解2:利用教材習(xí)題結(jié)論解題,在ABC中有結(jié)論
cosA2cosCabccbosCccb2caoBsCcb,ccoAsacCoc由aBcosBb2caAb可得
oAssinCo即bccosAaBcosBa2ccosBB2bcosC,則c2a,
14由正弦定理可得sinA2。(Ⅱ)由c2a及
cosB,b2可得
4ca2accosB4aaa4a,222222則a1,c2,S
12acsinB12121cosB2154,即
S154。
4.(201*年安徽高考16)在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊長,a=BC上的高.
3,b=2,12cos(BC)0,求邊
解:∵A+B+C=180°,所以B+C=A,又
12cos(B)C0a,∴
12cos(180bsinB得
)A0,即12cosA0cosA,
12,
又0°2(sin45cos30cos45sin30)2(22322212)312.
5.(201*年全國卷高考18)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知asinAcsinC2asinCbsinB.
A75,b2,求a,c.
(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若
0【解析】(I)由正弦定理得ac222acb…由余弦定理得bac2accosB.故
2222cosB22,因此B45246
故(II)
sinAsin(3045)226sin30cos45cos30sin45absinAsinB13cbsinCsinB2sin60sin456.……………………………
A,B,C所對的邊分別為a,b,c且滿足csinAacosC.
6.(201*年安徽高考17)在ABC中,角
3sinAcos(B(I)求角C的大;(II)求解
析:(I))4的最大值,并求取得最大值時角A,B的大。
理得由正弦定
sinCsinAsinAcosC.因為
0A,所以
sAin從而0.Cs又Cin所C以cos則.3CcosCB0,A.ta4(II)由(I)知4于是
n1,3sinAcos(B4)3sinAcos(A)3sinAcosA2sin(A34,6).,從而當(dāng)A0A
6A6111262,即A3時,,
2sin(A)6取最大值2.
3sinAcos(B綜上所述,
4的最大值為2,此時
13)A3,B5.12
f(x)2sin(7.(201*年廣東高考16)已知函數(shù)
x6,xR.
)f((1)求
54)106,0,f(3)f(32)2,213,5,求cos()的值.的值;(2)設(shè)f(515)2sin()2sin434642(2)
f(316.解:(1)
110)2sin[(3)]2sin232613,
sin即
163,0,f(32)2sin[(32)]2sin()cos2,13,3625,即5,∵cos∴
1sin212131213354sin,
1cos245∴
cos()coscossinsin513451665
34)f(x)sin(x7)cos(x48.(201*年廣東高考18)已知函數(shù)(Ⅰ)求
f(x),xR.
45,
0cos()的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知f(x)sinxcos74cosxsin74cosxcos345,
cos()342.求證:[f()]20.
2sinxsin(Ⅰ)解析:
2sinx42cosx2sin(x)4,∴f(x)的最
45,兩
f(x)min2小正周期T2,最小值.Ⅱ)證明:由已知得
coscossinsin5,
coscossinsin式相加得∴
2coscos02202,∴cos0,則
2.
,∵
.[f()]24sin4209.(201*年江蘇高考17)在△ABC中,角A、B、C所對應(yīng)的邊為
a,b,c,b3csin(A(1)若
6)2cosA,求A的值;(2)若
cosA13,求sinC的值.
sin(A解析:(1)
6)2cosA,sinA3cosA,A3
cosA(2)
13,b3c,abc2bccosA8c,a22c
222222c由正弦定理得:sinA
csinC,而
sinA1cosA2223,sinC13。(也可以先推出直角三角形)
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