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高中數(shù)學題函數(shù)經(jīng)典知識總結(jié)

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高中數(shù)學題函數(shù)經(jīng)典知識總結(jié)

職中函數(shù)章節(jié)知識總結(jié)(一)

一.相同函數(shù)的判斷方法:①表達式相同;②定義域一致(兩點必須同時具備)

下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是

A.f(x)C.f(x)x2,g(x)(x)2

3B.f(x)1,2g(x)x0

x2,g(x)(x)3D.

x21f(x)x1,g(x)x1例:判斷下列各組中的兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)?為什么?1.

y1(x3)(x5)x3

y2x5

解:不是同一函數(shù),定義域不同

解:不是同一函數(shù),定義域不同

2。

y1x1x1y2(x1)(x1)

3.4.5.

f(x)x

g(x)x2解:不是同一函數(shù),值域不同解:是同一函數(shù)

解:不是同一函數(shù)定義域值域都不同

f(x)x

F(x)3x3f1(x)(2x5)2f2(x)2x5

二.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型?函數(shù)定義域求法:

分式中的分母不為零;

偶次方根下的數(shù)(或式)大于或等于零;指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一;

.求下列函數(shù)的定義域:

x+11

(1)y=(2)y=+-x+x+4

x+2x+2x-110

(3)y=(4)y=+(5x-4)

x-16-5x-x2(指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一5x-4>0且5x-41)分段函數(shù)按照自己所在的的定義域代入相對應的解析式3.已知f(x)=x5(x6),則f(3)的值為____

f(x4)(x6)f(x)的定義域為m,n,求yfg(x)的

4復合函數(shù)定義域的求法:已知y定義域,可由mg(x)n解出x的范圍,即為yfg(x)的定義域

例如:已知函數(shù)f(x)的定義域為(1,3),則函數(shù)F(x)f(x1)f(2x)的定義域。

x1(1,3)2x(1,3)注意大括號的表示幾個條件要同時滿足!也就是幾個不等式的解集的交集。

設(shè)f(x)=2x3g(x)=x2+2則稱f[g(x)](或g[f(x)])為復合函數(shù)。f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11

例:已知:f(x)=xx+3求:f()f(x+1)

解:f()=()2+3f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3三求值域

1.直接觀察法

對于一些比較簡單的函數(shù),其值域可通過觀察得到。例1.求函數(shù)解:∵x0

10x∴

y1x2

1x1x1x1x的值域。

顯然函數(shù)的值域是:(,0)(0,)例2.求函數(shù)y3x的值域。解:∵xx0,3x3

故函數(shù)的值域是:[,3]2.配方法

配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。

2yx2x5,x[1,2]的值域。例3.求函數(shù)

2解:將函數(shù)配方得:y(x1)4∵x[1,2]

4,當x1時,ymiax由二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當x=1時,ymn故函數(shù)的值域是:[4,8]

3.單調(diào)性法就是利用函數(shù)單調(diào)性在定義域內(nèi)進行判斷這是重點3.函數(shù)單調(diào)性法

8

如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性?(取值、作差、判正負)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有三種:(1)定義法:

根據(jù)定義,設(shè)任意得x1,x2,找出f(x1),f(x2)之間的大小關(guān)可以變形為求

f(x)f(x1)f(x2)的正負號或者1與

f(x2)x1x21的關(guān)系

18.函數(shù)f(x)=-x3+1在R上是否具有單調(diào)性?如果具有單調(diào)性,它在

R上是增函數(shù)還是減函數(shù)?試證明你的結(jié)論.

解析:f(x)在R上具有單調(diào)性,且是單調(diào)減函數(shù),證明如下:設(shè)x1、x2∈(-∞,+∞),x1<x2,則f(x1)=-x13+1,f(x2)=-x23+1.

f(x1)-f(x2)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22)=(x2-x1)[(x1+

32

x2].42

2

x22)2+

∵x1<x2,∴x2-x1>0而(x1+x2)+3x2>0,∴f(x1)>f(x2).

24四.判斷函數(shù)奇偶性的方法一、定義域法

一個函數(shù)是奇(偶)函數(shù),其定義域必關(guān)于原點對稱,它是函數(shù)為奇(偶)函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱,則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).二、奇偶函數(shù)定義法

在給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的前提下,計算f(x),然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性.

這種方法可以做如下變形f(x)+f(-x)=0奇函數(shù)f(x)-f(-x)=0偶函數(shù)f(x)1偶函數(shù)f(-x)f(x)1奇函數(shù)f(-x)

你掌握常用的圖象變換了嗎?

f(x)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱聯(lián)想點(x,y),(-x,y)f(x)與f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱聯(lián)想點(x,y),(x,-y)f(x)與f(x)的圖象關(guān)于原點對稱聯(lián)想點(x,y),(-x,-y)

函數(shù)這一章內(nèi)容主要在于聯(lián)系和自己認真思考,這也是高中數(shù)學的特點,希望各位同學要認真努力的研讀課本多多做課后習題,多總結(jié),俗話說得好一日練一日功一日不練一日松!只有你勤加練習勤動腦筋肯定會有大的進步!

擴展閱讀:高中數(shù)學函數(shù)與方程知識點總結(jié)、經(jīng)典例題及解析、高考真題及答案

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2.8函數(shù)與方程

【考綱說明】

1、了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系,能判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)。2、能夠根據(jù)具體函數(shù)的圖像,用二分法求出相應方程的近似解。

【知識梳理】

1、函數(shù)零點的定義

(1)對于函數(shù)yf(x),我們把方程f(x)0的實數(shù)根叫做函數(shù)yf(x)的零點。

(2)方程f(x)0有實根函數(shù)yf(x)的圖像與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點。因此判斷一個函數(shù)是否有零點,有幾個零點,就是判斷方程f(x)0是否有實數(shù)根,有幾個實數(shù)根。函數(shù)零點的求法:解方程f(x)0,所得實數(shù)根就是f(x)的零點(3)變號零點與不變號零點

①若函數(shù)f(x)在零點x0左右兩側(cè)的函數(shù)值異號,則稱該零點為函數(shù)f(x)的變號零點。②若函數(shù)f(x)在零點x0左右兩側(cè)的函數(shù)值同號,則稱該零點為函數(shù)f(x)的不變號零點。

③若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的圖像是一條連續(xù)的曲線,則f(a)f(b)0是f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)有零點的充分不必要條件。

2、函數(shù)零點的判定

(1)零點存在性定理:如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,并且有f(a)f(b)0,那么,函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b內(nèi)有零點,即存在x0(a,b),使得f(x0)0,這個x0也就是方程f(x)0的根。(2)函數(shù)yf(x)零點個數(shù)(或方程f(x)0實數(shù)根的個數(shù))確定方法

①代數(shù)法:函數(shù)yf(x)的零點f(x)0的根;②(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。(3)零點個數(shù)確定

0yf(x)有2個零點f(x)0有兩個不等實根;0yf(x)有1個零點f(x)0有兩個相等實根;

0yf(x)無零點f(x)0無實根;對于二次函數(shù)在區(qū)間a,b上的零點個數(shù),要結(jié)合圖像進行確定.

3、二分法

(1)二分法的定義:對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x),通過不斷地把函數(shù)yf(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點的近似值的方法叫做二分法;(2)用二分法求方程的近似解的步驟:

①確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)0,給定精確度;

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②求區(qū)間(a,b)的中點c;③計算f(c);

()若f(c)0,則c就是函數(shù)的零點;

()若f(a)f(c)0,則令bc(此時零點x0(a,c));()若f(c)f(b)0,則令ac(此時零點x0(c,b));

④判斷是否達到精確度,即ab,則得到零點近似值為a(或b);否則重復②至④步.

【經(jīng)典例題】

【例1】(201*天津)函數(shù)f(x)=2+x2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是()A、0B、1C、2D、3【答案】B

【解析】解法1:因為f(0)=1+02=1,f(1)=2+22=8,即f(0)f(1)中國教育培訓領(lǐng)軍品牌

合題意;當a1時,兩個函數(shù)的圖像有兩個交點,滿足題意.

【例4】(201*遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)=f(x),f(x)=f(2x),且當x[0,1]時,f(x)=x3.又函數(shù)g(x)=|xcos(x)|,則函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)在[13,]上的零點個數(shù)為()22A、5B、6C、7D、8【答案】B

【解析】因為當x[0,1]時,f(x)=x3.所以當x[1,2]時,(2x)[0,1],f(x)f(2x)(2x),

當x[0,]時,g(x)xcos(x);當x[,]時,g(x)xcos(x),注意到函數(shù)f(x)、g(x)都是偶函數(shù),且f(0)=g(0),f(1)=g(1),g()g()0,作出函數(shù)f(x)、g(x)的大致圖象,函數(shù)h(x)除了0、1這兩個零點之外,分別在區(qū)間[,0]、[0,]、[,1]、[1,]上各有一個零點,共有6個零點,故選B

【例5】(201*湖北)函數(shù)f(x)xcosx在區(qū)間[0,4]上的零點個數(shù)為()A、4B、5【答案】C

C、6

D、7

23121322123212121232【解析】:f(x)=0,則x=0或cosx2=0,x2=kπ+【例6】(201*陜西)函數(shù)f(x)π,k∈Z,又x∈[0,4],k=0,1,2,3,4,所以共有6個解.選C.2

xcosx在[0,)內(nèi)()

A、沒有零點B、有且僅有一個零點C、有且僅有兩個零點D、有無窮多個零點【答案】B

【解析】解法一:數(shù)形結(jié)合法,令f(x)xcosx0,則xcosx,設(shè)函數(shù)yx和ycosx,它們在

[0,)的圖像如圖所示,顯然兩函數(shù)的圖像的交點有且只有一個,所以函數(shù)f(x)xcosx在[0,)內(nèi)有且

僅有一個零點;

解法二:在x[2,)上,x1,cosx1,所以f(x)xcosx0;

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在x(0,2],f(x)12xsinx0,所以函數(shù)f(x)xcosx是增函數(shù),又因為f(0)1,

f()20,所以f(x)xcosx在x[0,]上有且只有一個零點.22a,a-b≤1,

【例7】(201*天津)對實數(shù)a和b,定義運算“”:ab=設(shè)函數(shù)f(x)=(x2-2)(x-x2),x∈R,若

b,a-b>1.

函數(shù)y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個公共點,則實數(shù)c的取值范圍是()

3-1,A、(-∞,-2]∪2

3

-1,-B、(-∞,-2]∪411

-1,∪,+∞C、44

31

-1,-∪,+∞D(zhuǎn)、44

【答案】B

x-2,x-2-(x-x)≤1,

【解析】f(x)==2223x-x()x-x,x-2->1x-x2,x,

2223

x2-2,-1≤x≤,2

2

則f(x)的圖象如圖

∵y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個公共點,∴y=f(x)與y=c的圖象恰有兩個公共點,

3

由圖象知c≤-2,或-1中國教育培訓領(lǐng)軍品牌

(2)f(x)x4.x2【答案】(1)2,1,-1.(2)2,-2.【解析】(1)由x2xx20,

3x2(x2)(x2)0,(x2)(x1)(x1)0,x2或x1或x1.故函數(shù)的零點是2,1,-1.

4x24(2)由x0,得0,

xx(x2)(x2)0,(x2)(x2)0,xx2或x=-2.故函數(shù)的零點是2,-2.

【例10】判斷函數(shù)y=x3-x-1在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)有無零點,如果有,求出一個近似零點(精確度0.1).【答案】1.3125

【解析】因為f(1)=-10,且函數(shù)y=x3-x-1的圖象是連續(xù)的曲線,所以它在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)有零點,用二分法逐次計算,列表如下:

區(qū)間(1,1.5)(1.25,1.5)(1.25,1.375)(1.3125,1.375)中點值1.251.3751.31251.34375中點函數(shù)近似值-0.30.22-0.050.08由于|1.375-1.3125|=0.0625中國教育培訓領(lǐng)軍品牌

A.(-2,-1)B、(-1,0)C、(0,1)D、(1,2)

5、(201*浙江)設(shè)函數(shù)fx=4sin(2x+1)-x,則在下列區(qū)間中函數(shù)fx不存在零點的是()A、[-4,-2]B、[-2,0]C、[0,2]D、[2,4]

6、(201*陜西)函數(shù)fx=x-cosx在[0,內(nèi)()A、沒有零點B、有且僅有一個零點C、有且僅有兩個零點D、有無窮多個零點

7、(201*福建)若函數(shù)f(x)的零點與g(x)42x2的零點之差的絕對值不超過0.25,則f(x)可以是()A、f(x)4x1B、f(x)(x1)C、f(x)e1D、f(x)ln(x)

8、下列函數(shù)零點不宜用二分法的是()

A、f(x)x8B、f(x)lnx3C、f(x)x22x2D、f(x)x4x19、(201*泉州)函數(shù)f(x)=log2x+2x-1的零點必落在區(qū)間

11A、,

842x2x1232()

11B、,

42

C、,1

12

D、(1,2)

()D、(100,)

10、(201*廈門)lgx10有解的區(qū)域是x

A、(0,1]B、(1,10]C、(10,100]

11、(201*湖北文)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)ex4x3的零點所在的區(qū)間為()

111113A、(,0)B、(0,)C、(,)D、(,)

42244412、(201*合肥)函數(shù)f(x)xlog2x的零點所在區(qū)間為()

A、[0,]

x18B、[,]

1184C、[,]

x1142D、[,1]

1213、設(shè)fx33x8,用二分法求方程33x80在x1,2內(nèi)近似解的過程中得f10,f1.50,f1.250,則方程的根落在區(qū)間()A、(1,1.25)B、(1.25,1.5)C、(1.5,2)D、不能確定

14、(201*浙江)設(shè)函數(shù)f(x)4sin(2x1)x,則在下列區(qū)間中函數(shù)f(x)不存在零點的是().A、4,2B、2,0C、0,2D、2,4

x22x3,x015、(201*福建)函數(shù)f(x),零點個數(shù)為()

2lnx,x0A、3B、2C、1D、0

16、(201*惠州)若函數(shù)f(x)x3x22x2的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算,其參考數(shù)據(jù)如下:

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f(1)=-2f(1.375)=-0.260f(1.5)=0.625f(1.4375)=0.162f(1.25)=-0.984f(1.40625)=-0.054那么方程x3x22x20的一個近似根(精確到0.1)為()A、1.2B、1.3C、1.4D、1.517、(201*湖北)方程22xx23的實數(shù)解的個數(shù)為.218、已知函數(shù)f(x)x(a1)xa2的一個零點比1大,一個零點比1小,求實數(shù)a的取值范圍。

19、判斷函數(shù)f(x)4xx223x3在區(qū)間[1,1]上零點的個數(shù),并說明理由。20、求函數(shù)f(x)x32x23x6的一個正數(shù)零點(精確度0.1).

【課后作業(yè)】

1、下列函數(shù)圖象與x軸均有交點,但不宜用二分法求交點橫坐標的是(x2

2、設(shè)f(x)3x,則在下列區(qū)間中,使函數(shù)f(x)有零點的區(qū)間是A、[0,1]B、[1,2]C、[-2,-1]D、[-1,0]

3、已知f(x)唯一的零點在區(qū)間(1,3)、(1,4)、(1,5)內(nèi),那么下面命題錯誤的A、函數(shù)f(x)在(1,2)或2,3內(nèi)有零點B、函數(shù)f(x)在(3,5)內(nèi)無零點C、函數(shù)f(x)在(2,5)內(nèi)有零點D、函數(shù)f(x)在(2,4)內(nèi)不一定有零點4、(201*莆田)若函數(shù)f(x)x33xa有3個不同的零點,則實數(shù)a的取值范圍是

A、2,2B、2,2

C、,1D、1,

5、(201*沈陽)函數(shù)f(x)xlnx的零點所在的區(qū)間為

A、(-1,0)

B、(0,1)

C、(1,2)

D、(1,e)

6、求函數(shù)f(x)2x33x1零點的個數(shù)為A、1B、2C、3D、4

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)()

)()

()

()(中國教育培訓領(lǐng)軍品牌

7、如果二次函數(shù)yxxm3有兩個不同的零點,則m的取值范圍是()A、(211111111,)B、(,)C、(,)D、(,)42428、方程lgxx0根的個數(shù)為()A、無窮多B、3C、1D、0

9、用二分法求方程f(x)0在(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)0,f(1.5)0,f(1.25)0f(1)中國教育培訓領(lǐng)軍品牌

318、用“二分法”求方程x2x50在區(qū)間[2,3]內(nèi)的實根,取區(qū)間中點為x02.5,那么下一個有根的區(qū)間是19、函數(shù)f(x)lnxx2的零點個數(shù)為.20、證明方程6-3x=2x在區(qū)間[1,2]內(nèi)有唯一一個實數(shù)解,并求出這個實數(shù)解(精確度0.1).

【參考答案】

【課堂練習】

1-16、CDCBABACCBCCBABC17、2

18、解:設(shè)方程x(a1)xa20的兩根分別為x1,x2(x1x2),則(x11)(x21)0,所以x1x2(x1x2)10由韋達定理得a2(a1)10,即aa20,所以2a119、解:因為f1412222272130,f14103333所以fx在區(qū)間[1,1]上有零點

91"2又fx42x2x2x

22當1x1時,0f"2x92所以在[1,1]上單調(diào)遞增函數(shù),所以fx在[1,1]上有且只有一個零點。

20、解由于f(1)60,f(2)40,可取區(qū)間(1,2)作為計算的初始區(qū)間,用二分法逐次計算,列表如下:

區(qū)間(1,2)(1.5,2)(1.5,1.75)(1.625,1.75)(1.6875,1.75)中點1.51.751.6251.68751.71875中點函數(shù)值-2.6250.2344-1.3027-0.5618-0.1707由于|1.75-1.6875|=0.0625中國教育培訓領(lǐng)軍品牌

1-13、BDCABCCDADAAB14、215、(2,3)16、(0,1)17、{2,3}18、[2,2.5)

19、2

20、證明設(shè)函數(shù)f(x)=2x+3x-6,

∵f(1)=-10,

又∵f(x)是增函數(shù),所以函數(shù)f(x)=2x+3x-6在區(qū)間[1,2]內(nèi)有唯一的零點,則方程6-3x=2x在區(qū)間[1,2]內(nèi)有唯一一個實數(shù)解.設(shè)該解為x0,則x0∈[1,2],

取x1=1.5,f(1.5)=1.33>0,f(1)f(1.5)0,f(1)f(1.25)

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