第十一章 全等三角形的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題目
第十一章、全等三角形
一、全等三角形
1、定義:能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。
①全等三角形形狀與大小完全相等,與位置無(wú)關(guān);
②一個(gè)三角形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可以得到它的全等形;③三角形全等不因位置發(fā)生變化而改變。
2、全等三角形性質(zhì)..
(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。
①長(zhǎng)邊對(duì)長(zhǎng)邊,短邊對(duì)短邊;最大角對(duì)最大角,最小角對(duì)最小角;②對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊為對(duì)應(yīng)邊,對(duì)應(yīng)邊對(duì)的角為對(duì)應(yīng)角。(2)全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等。
(3)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、角平分線(xiàn)、高線(xiàn)分別相等。3、全等三角形的判定..邊邊邊:三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成“SSS”)
邊角邊:兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成“SAS”)角邊角:兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成“ASA”)角角邊:兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成“AAS”)斜邊.直角邊:斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成“HL”)方法指引證明兩個(gè)三角形全等的基本思路:4、證明兩個(gè)三角形全等的基本思路:(1):已知兩邊----找第三邊(SSS)找?jiàn)A角(SAS)找是否有直角(HL)找這邊的另一個(gè)鄰角(ASA)已知一邊和它的鄰角(2):已知一邊一角---已知一邊和它的對(duì)角找這個(gè)角的另一個(gè)邊(SAS)找這邊的對(duì)角(AAS)找一角(AAS)已知角是直角,找一邊(HL)找兩角的夾邊(ASA)找?jiàn)A邊外的任意邊(AAS)練習(xí)二、角的平分線(xiàn):從一個(gè)角的頂點(diǎn)得出一條射線(xiàn)把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,稱(chēng)這條射線(xiàn)為這個(gè)角的平分線(xiàn)。
(3):已知兩角---性質(zhì):角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.判定:角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上。
三、學(xué)習(xí)全等三角形應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題:
1、要正確區(qū)分“對(duì)應(yīng)邊”與“對(duì)邊”,“對(duì)應(yīng)角”與“對(duì)角”的不同含義;2、表示兩個(gè)三角形全等時(shí),表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母要寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上;
3、時(shí)刻注意圖形中的隱含條件,如“公共角”、“公共邊”、“對(duì)頂角”第十一章、全等三角形檢測(cè)題
1、下列命題中正確的是()
A.全等三角形的高相等B.全等三角形的中線(xiàn)相等
C.全等三角形的角平分線(xiàn)相等D.全等三角形對(duì)應(yīng)角的平分線(xiàn)相等2、將五邊形紙片ABCDE按如圖所示方式折疊,折痕為AF,點(diǎn)E、D分別落在E′,D′,已知∠AFC=76°,則∠CFD′等于()
A.31°B.28°C.24°D.22°
第2題第3題第4題是()
A.4B.8C.12D.16
3、如圖所示,在菱形ABCD中,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn),如果EF=2,那么ABCD的周長(zhǎng)
4、如圖所示,在銳角△ABC中,點(diǎn)D、E分別是邊AC、BC的中點(diǎn),且DA=DE,那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.∠1=∠2B.∠1=∠3C.∠B=∠CD.∠3=∠B5、將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖4所示的方式折疊,BC,BD為折痕,則∠CBD的度數(shù)為()
A′E′
ECA.60°B.75°C.90°D.95°
AD6、如圖所示中的4×4的正方形網(wǎng)格中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=()
A.245°B.300°C.315°D.330°
B7、如圖,某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊,現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是()
A.帶①去B.帶②去C.帶③去D.帶①②③去
ADBE
C第6題第7題第8題
8、如圖,在Rt△ABC中,B90,ED是AC的垂直平分線(xiàn),交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.已知BAE10,則C的度數(shù)為()A.30B.40C.50D.609、如果△ABC≌△DEF,△DEF的周長(zhǎng)為13,DE=3,EF=4,則AC的長(zhǎng)()A.13B.3C.4D.610、下列各條件中,不能作出惟一三角形的是()
A.已知兩邊和夾角B.已知兩角和夾邊C.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角D.已知三邊
二、填空題
11、如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,BC=12cm,BD=8cm則點(diǎn)D到AB的距離為4cm。
12、如圖,∠1=∠2,要使△ABE≌△ACE還要添加一個(gè)條件是EB=CE。
第11題第12題第13題
13、如圖,已知ABDC,ADBC,E,F是BD上的兩點(diǎn),且BEDF,若
AEB100,ADB30,則BCF______70______;
14、如圖,在等腰RtABC中,C90,ACBC,AD平分BAC交BC于D,DEAB于E,若AB10,則BDE的周長(zhǎng)等于____10________;15、如圖,AB與CD交于點(diǎn)O,OA=OC,OD=OB,∠AOD=∠COB,
根據(jù)SAS可得△AOD≌△COB,從而可以得到AD=CB.
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BA第14題第15題第16題
ECF16、如圖,點(diǎn)D,E,F,B在同一條直線(xiàn)上,AB//CD,AE//CF,且ABF2,則EF____6_______.
,若BD10,
17、如圖所示,兩個(gè)三角形全等,其中已知某些邊的長(zhǎng)度和某些角的度數(shù),則x=____60___.
三、解答題
18、如圖,ACB90,ACBC,D為AB上一點(diǎn),AECD,BFCD,交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于F點(diǎn)。求證:BFCE。
19、如圖所示,△ABC為等邊三角形,BD為中線(xiàn),延長(zhǎng)BC至E,使DE=BD.求證:CE=
12BC.
20、已知,如圖A、F、C、D四點(diǎn)在一直線(xiàn)上,AF=CD,AB//DE,且AB=DE,求證:(1)△ABC≌△DEF(2)∠CBF=∠FEC
21、如圖21,把△ABC紙片沿DE折疊,當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí),(1)寫(xiě)出圖中一對(duì)全等的三角形,并寫(xiě)出它們的所有對(duì)應(yīng)角;
(2)設(shè)∠AED的度數(shù)為x,∠ADE的度數(shù)為y,那么∠1,∠2的度數(shù)分別是多少?(用含有x或y的代數(shù)式表示)
(3)∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變,請(qǐng)找出這個(gè)規(guī)律。
22、如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,若MN是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn),BD⊥MN
C圖21
B1A2EA′
D于D,CE⊥MN于E,
(1)求證:BD=AE。
(2)若將MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使MN與BC相交于點(diǎn)O,其他條件都不變,BD與AE邊相等嗎?為什么?
(3)BD、CE與DE有何關(guān)系?
第11章答案
一、1-10DBDDCCCBDC
二、11.4cm12.CE=BE13.70°14.10
15.∠COBSASCB16.617.60°三、21.(1)△EAD≌△EAD,其中∠EAD=∠EAD,∠AED(2)11802x,∠2180-2y;(3)規(guī)律為:∠1+∠2=2∠A.22.(1)∠BAD+∠CAE=90°
∠AED,ADE∠ADE;
∠BAD+∠BDA=90°∴∠DBA=∠EAC在△DBA和△EAC中
ABACBDAAEC90
DBAEAC∴△DBA≌△EAC(AAS)∴BD=AE(2)還相等
∵∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°∴∠2=∠3
又∵∠BDA=∠AEC=90°AB=AC∴△ABD≌△CAE∴BD=AE(3)∵BD=AE=AD+DE=EC+DE∴BD=CE+DE
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新人教版第十一章全等三角形知識(shí)點(diǎn)匯總
[知識(shí)要點(diǎn)]一、全等三角形1.判定和性質(zhì)判定性質(zhì)一般三角形直角三角形邊角邊(SAS)、角邊角(ASA)具備一般三角形的判定方法角角邊(AAS)、邊邊邊(SSS)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等(HL)對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)中線(xiàn)相等,對(duì)應(yīng)高相等,對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)相等注:①判定兩個(gè)三角形全等必須有一組邊對(duì)應(yīng)相等;②全等三角形面積相等.2.證題的思路:
找?jiàn)A角(SAS)已知兩邊找直角(HL)找第三邊(SSS)任意角(AAS)若邊為角的對(duì)邊,則找找已知角的另一邊(SAS)已知一邊一角邊為角的鄰邊找已知邊的對(duì)角(AAS)找?jiàn)A已知邊的另一角(ASA)找兩角的夾邊(ASA)已知兩角找任意一邊(AAS)例1如圖,∠E=∠F=90。,∠B=∠C,AE=AF,給出下
列結(jié)論:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN,其中正確的結(jié)論是(把你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號(hào)填上)
例2在△ABC中,AC=5,中線(xiàn)AD=4,則邊AB的取值范圍是()
A.1課改吧論壇歡迎你
例4若兩個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對(duì)應(yīng)相等,試判斷這兩個(gè)三角形的第三邊所對(duì)的角之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由
例5如圖,點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上,DA⊥AB,EB⊥AB,F(xiàn)C⊥AB,且DA=BC,EB=AC,F(xiàn)C=AB,∠AFB=51°,求∠DFE的度數(shù)
1.如圖,AD、A′D′分別是銳角△ABC和△A′B′C′中BC,B′C′邊上的高,且AB=A′B′,AD=A′D′,若使△ABC≌△A′B′C′,請(qǐng)你補(bǔ)充條件(只需要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件)
2.如圖,0A=0B,OC=OD,∠O=60°,∠C=25°,則∠BED等于3.如圖,把大小為4×4的正方形方格圖形分割成兩個(gè)全等圖形,例如圖1.請(qǐng)?jiān)谙聢D中,沿著虛線(xiàn)畫(huà)出四種不同的分法,把4×4的正方形方格圖形分割成兩個(gè)全等圖形.
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4.如圖,△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB、AC邊翻折180°形成的,若∠1:∠2:∠3=28:5:3,則∠a的度數(shù)為
5.如圖,已知0A=OB,OC=0D,下列結(jié)論中:①∠A=∠B;②DE=CE;③連OE,則0E平分∠0,正確的是()A.①②B。②③C.①③D.①②③
6.如圖,A在DE上,F(xiàn)在AB上,且AC=CE,∠l=∠2=∠3,則DE的長(zhǎng)等于().A:DCB.BCC.ABD.AE+AC
7.如圖,AB∥CD,AC∥DB,AD與BC交于0,AE⊥BC.于E,DF⊥BC于F,那么圖中全等的三角形有()對(duì)
A.5B.6C.7D.8
8.如圖,把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35度,得到△A′B′C,A′B′交AC乎點(diǎn)D,已知∠A′DC=90°,求∠A的度數(shù)
9..如圖,在△ABE和△ACD中,給出以下四個(gè)論斷:①AB=AC;②AD=AE③AM=AN④AD⊥DC,AE⊥BE.以其中三個(gè)論斷為題設(shè),填入下面的“已知”欄中,一個(gè)論斷為結(jié)論,填入下面的“求證”欄中,使之組成一個(gè)
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真命題,并寫(xiě)出證明過(guò)程
已知:求證:10.在△ABC中,,∠ACB=90°,AC=BC,直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E(1)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí),求證:DE=AD+BE
(2)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí),求證:DE=AD-BE
(3)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí),試問(wèn):DE、AD、BE有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系,并加以證明
11.在△ABC中,高AD和BE交于H點(diǎn),且BH=AC,則∠ABC=12.如圖,已知AE平分∠BAC,BE上AE于E,ED∥AC,∠BAE=36°,那么∠BED=
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13.如圖,D是△ABC的邊AB上一點(diǎn),DF交AC于點(diǎn)E,給出三個(gè)論斷:①DE=FE;②AE=CE;③FC∥AB,以其中一個(gè)論斷為結(jié)論,其余兩個(gè)論斷為條件,可作出三個(gè)命題,其中正確命題的個(gè)數(shù)是14.如圖,在△ABC中,AD為BC邊上的中線(xiàn),若AB=5,AC=3,則AD的取值范圍是
15.如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°.AD平分∠BAC,BE⊥AD交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,E為垂足.則結(jié)論:①AD=BF;②CF=CD;③AC+CD=AB;④BE=CF;⑤BF=2BE,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4
16.如圖,在四邊形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC平分∠BAD,AB>AD,下列結(jié)論中正確的是()A.AB-AD>CB-CDB.AB-AD=CB-CD
C.AB-AD課改吧論壇歡迎你
20.如圖,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,求五邊形ABCDE的面積
21.如圖,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB,求證:AC=AE+CD.
22.如圖,已知∠ABC=∠DBE=90°,DB=BE,AB=BC.(1)求證:AD=CE,AD⊥CE(2)若△DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到△ABC外部,其他條件不變,則(1)中結(jié)論是否仍成立?請(qǐng)證明
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