高中文科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總結(jié)
新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)歸納北京新東方學(xué)校蔣葉光jiangyeguang211@yahoo.com.cn⑴單調(diào)性的定義:第一部分集合
1.理解集合中元素的意義是解決集合問題的關(guān)鍵:元素是函數(shù)關(guān)系中自變量的取值?還是因.....①f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)x1,x2M,當(dāng)x1x2時(shí)有f(x1)f(x2);變量的取值?還是曲線上的點(diǎn)?…;2.?dāng)?shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法:解題時(shí)要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等....②f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)x,xM,當(dāng)xx時(shí)有f(x)f(x);
121212工具,將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化,然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決;3.(1)含n個(gè)元素的集合的子集數(shù)為2n,真子集數(shù)為2n-1;非空真子集的數(shù)為2n-2;(2)ABABAABB;注意:討論的時(shí)候不要遺忘了A的情況。4.是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
⑵單調(diào)性的判定
①定義法:一般要將式子f(x1)f(x2)化為幾個(gè)因式作積或作商的形式,以利于判斷符號(hào);②導(dǎo)數(shù)法(見導(dǎo)數(shù)部分);③復(fù)合函數(shù)法;④圖像法。
注:證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。7.函數(shù)的周期性
(1)周期性的定義:對(duì)定義域內(nèi)的任意x,若有f(xT)f(x)(其中T為非零常數(shù)),則稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù),T為它的一個(gè)周期。
所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明,遇到的周期都指最小正周期。(2)三角函數(shù)的周期
①ysinx:T2;②ycosx:T2;③ytanx:T;④yAsin(x),yAcos(x):T(3)與周期有關(guān)的結(jié)論
第二部分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
1.映射:注意①第一個(gè)集合中的元素必須有象;②一對(duì)一,或多對(duì)一。2.函數(shù)值域的求法:①分析法;②配方法;③判別式法;④利用函數(shù)單調(diào)性;⑤換元法;⑥利用均值不等式
ababab;⑦利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義(斜率、22x22距離、絕對(duì)值的意義等);⑧利用函數(shù)有界性(a、sinx、cosx等);⑨導(dǎo)數(shù)法3.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題
(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法:①若f(x)的定義域?yàn)椋踑,b],則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求f(x)的定義域,相當(dāng)于x∈[a,b]時(shí),求g(x)的值域。(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定:
①首先將原函數(shù)yf[g(x)]分解為基本函數(shù):內(nèi)函數(shù)ug(x)與外函數(shù)yf(u);②分別研究?jī)?nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性;③根據(jù)“同性則增,異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。4.分段函數(shù):值域(最值)、單調(diào)性、圖象等問題,先分段解決,再下結(jié)論。5.函數(shù)的奇偶性⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件;....⑵f(x)是奇函數(shù)f(-x)=-f(x);f(x)是偶函數(shù)f(-x)=f(x)⑶奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)有定義,則f(0)0;
⑷在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi):奇函數(shù)有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)有相反的單調(diào)性;⑸若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先等價(jià)變形,再判斷其奇偶性;6.函數(shù)的單調(diào)性
2;⑤ytanx:T;
||||f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0)f(x)的周期為2a;
8.基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)
⑴冪函數(shù):yx(R);⑵指數(shù)函數(shù):yax(a0,a1);⑶對(duì)數(shù)函數(shù):ylogax(a0,a1);⑷正弦函數(shù):ysinx;
2⑸余弦函數(shù):ycosx;(6)正切函數(shù):ytanx;⑺一元二次函數(shù):axbxc0;
⑻其它常用函數(shù):
①正比例函數(shù):ykx(k0);②反比例函數(shù):y9.二次函數(shù):⑴解析式:
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ka(k0);③函數(shù)yx(a0);xx新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)歸納北京新東方學(xué)校蔣葉光jiangyeguang211@yahoo.com.cn①一般式:f(x)ax2bxc;②頂點(diǎn)式:f(x)a(xh)2k,(h,k)為頂點(diǎn);③零點(diǎn)式:f(x)a(xx1)(xx2)。
⑵二次函數(shù)問題解決需考慮的因素:①開口方向;②對(duì)稱軸;③端點(diǎn)值;④與坐標(biāo)軸交點(diǎn);⑤判別式;⑥兩根符號(hào)。
③f(a+x)=f(b-x)(x∈R)→y=f(x)圖像關(guān)于直線x=
ab對(duì)稱;2特別地:f(a+x)=f(a-x)(x∈R)→y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱;12.函數(shù)零點(diǎn)的求法:
⑴直接法(求f(x)0的根);⑵圖象法;⑶二分法.
b4acb2b二次函數(shù)yaxbxc的圖象的對(duì)稱軸方程是x,頂點(diǎn)坐標(biāo)是2a,4a2a2。(4)零點(diǎn)定理:若y=f(x)在[a,b]上滿足f(a)f(b)新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)歸納北京新東方學(xué)校蔣葉光jiangyeguang211@yahoo.com.cn⑵yAcos(x)對(duì)稱軸:
xk;對(duì)稱中心:(k2,0)(kZ);
⑴三角形面積公式:SABC11ahabsinC;22sinx6.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系:sin2xcos2x1;tanx;
cosx7.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:
⑵內(nèi)切圓半徑r=2SABC;外接圓直徑2R=
abcabc;sinAsinBsinC第四部分立體幾何
1.三視圖與直觀圖:
2.表(側(cè))面積與體積公式:⑴柱體:①表面積:S=S側(cè)+2S底;②側(cè)面積:S側(cè)=2rh;③體積:V=S底h⑵錐體:①表面積:S=S側(cè)+S底;②側(cè)面積:S側(cè)=rl;③體積:V=
ysinx的遞增區(qū)間是2k,2k(kZ),遞減區(qū)間是
223(kZ);ycosx的遞增區(qū)間是2k,2k(kZ),遞減區(qū)間2k,2k22是2k,2k(kZ),ytgx的遞增區(qū)間是k遞減區(qū)間是k,k(kZ)。
8.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式:①sin()sincoscossin;
1S底h:31(S+SS"S")h;3⑶臺(tái)體:①表面積:S=S側(cè)+S上底S下底;②側(cè)面積:S側(cè)=(rr")l;③體積:V=
2,k(kZ),yctgx的22⑷球體:①表面積:S=4R;②體積:V=R。
433)②cos()coscossinsin;③tan(9.二倍角公式:①sin22sincos;
tantan。
1tantan2tan。
1tan22222②cos2cossin2cos112sin;③tan23.位置關(guān)系的證明(主要方法):⑴直線與直線平行:①公理4;②線面平行的性質(zhì)定理;③面面平行的性質(zhì)定理。⑵直線與平面平行:①線面平行的判定定理;②面面平行線面平行。⑶平面與平面平行:①面面平行的判定定理及推論;②垂直于同一直線的兩平面平行。⑷直線與平面垂直:①直線與平面垂直的判定定理;②面面垂直的性質(zhì)定理。⑸平面與平面垂直:①定義---兩平面所成二面角為直角;②面面垂直的判定定理。
注:理科還可用向量法。4.求角:(步驟-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角)⑴異面直線所成角的求法:
①平移法:平移直線,構(gòu)造三角形;②用向量法:⑵直線與平面所成的角:
①直接法(利用線面角定義);②用向量法:
(sincos)212sincos1sin2
10.正、余弦定理:⑴正弦定理:
cos|cosa,b|abc2R(2R是ABC外接圓直徑)sinAsinBsinC
sin|cosAB,n||ABn||n|5.求距離:(步驟-------Ⅰ。找或作垂線段;Ⅱ。求距離)點(diǎn)到平面的距離:①等體積法;②向量法:d6.結(jié)論:
⑴長(zhǎng)方體從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,則對(duì)角線長(zhǎng)為2ab+2bc+2ca,體積V=abc。
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注:①a:b:csinA:sinB:sinC;②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;
。abcabc③。sinAsinBsinCsinAsinBsinCb2c2a2⑵余弦定理:abc2bccosA等三個(gè);cosA等三個(gè)。
2bc
222abc222,全面積為11。幾個(gè)公式:新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)歸納北京新東方學(xué)校蔣葉光jiangyeguang211@yahoo.com.cn⑴點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:(d表示點(diǎn)到圓心的距離)⑵正方體的棱長(zhǎng)為a,則對(duì)角線長(zhǎng)為,全面積為6a2,體積V=a3。
3a①dR點(diǎn)在圓上;②dR點(diǎn)在圓內(nèi);③dR點(diǎn)在圓外。
⑶長(zhǎng)方體或正方體的外接球直徑2R等于長(zhǎng)方體或正方體的對(duì)角線長(zhǎng)。⑵直線與圓的位置關(guān)系:(d表示圓心到直線的距離)⑷正四面體的性質(zhì):設(shè)棱長(zhǎng)為a,則正四面體的:①dR相切;②dR相交;③dR相離。
6266①高:h對(duì)棱間距離:內(nèi)切球半徑:外接球半徑:a;②a;③a;④a。
32124⑶圓與圓的位置關(guān)系:(d表示圓心距,R,r表示兩圓半徑,且Rr)①dRr相離;②dRr外切;③RrdRr相交;
④dRr內(nèi)切;⑤0dRr內(nèi)含。8、直線與圓相交所得弦長(zhǎng)|AB|2r2d2第五部分直線與圓
1.直線方程
⑴點(diǎn)斜式:yyk(xx);⑵斜截式:ykxb;⑶截距式:⑷兩點(diǎn)式:
xy1;ab第六部分圓錐曲線
1.定義:⑴橢圓:|MF1||MF2|2a,(2a|F1F2|);
⑵雙曲線:||MF1||MF2||2a,(2a|F1F2|);⑶拋物線:|MF|=d2.結(jié)論
⑴焦半徑:①橢圓:PF;(左“+”右“-”);1aex0,PF2aex0(e為離心率)
②拋物線:PFx0yy1xx1;⑸一般式:AxByC0,(A,B不全為0)。y2y1x2x12.求解線性規(guī)劃問題的步驟是:(1)列約束條件;(2)作可行域,寫目標(biāo)函數(shù);(3)確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。3.兩條直線的位置關(guān)系:
直線方程平行的充要條件垂直的充要條件備注
l1:yk1xb1l2:yk2xb2k1k2,b1b2k1k21l1,l2有斜率
p2已知l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1⊥l2的充要條件是A1A2+B1B2=0。4.幾個(gè)公式
⑴設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),ABC的重心G:(
x1x2x3y1y2y3);,33⑵弦長(zhǎng)公式:AB1k2x2x1(1k2)[(x1x2)24x1x2]
注:⑴拋物線:AB=x1+x2+p;⑵通徑(最短弦):①橢圓、雙曲線:2b;②拋物線:2p。
a2⑵點(diǎn)P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離:dAx0By0C;
A2B2⑶過兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為:mx2ny21(m,n同時(shí)大于0時(shí)表示橢圓,
mn0時(shí)表示雙曲線);當(dāng)點(diǎn)P與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時(shí)F1PF2最大;
C1C2AB22⑶兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離是d5.圓的方程:
;⑷雙曲線中的結(jié)論:
2222①雙曲線xy1(a>0,b>0)的漸近線:xy0;
a2b2a2b222byx②共漸進(jìn)線yx的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為;2(為參數(shù),≠0)2aab⑴標(biāo)準(zhǔn)方程:①(xa)(yb)r;②xyr。⑵一般方程:xyDxEyF0(DE4F0)
注:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;
6.圓的方程的求法:⑴待定系數(shù)法;⑵幾何法。7.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系:(主要掌握幾何法)
2222222222③雙曲線為等軸雙曲線e2漸近線為yx漸近線互相垂直;
⑸焦點(diǎn)三角形問題求解:利用圓錐曲線定義和余弦定理聯(lián)立求解。
3.直線與圓錐曲線問題解法:⑴直接法(通法):聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,構(gòu)造一元二次方程求解。
第4頁共6頁新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)歸納北京新東方學(xué)校蔣葉光jiangyeguang211@yahoo.com.cn注意以下問題:2.等差、等比數(shù)列性質(zhì)①聯(lián)立的關(guān)于“x”還是關(guān)于“y”的一元二次方程?等差數(shù)列等比數(shù)列②直線斜率不存在時(shí)考慮了嗎?
通項(xiàng)公式ana1(n1)dana1qn1
③判別式驗(yàn)證了嗎?⑵設(shè)而不求(代點(diǎn)相減法):--------處理弦中點(diǎn)問題
1.q1時(shí),Snna1;步驟如下:①設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得kAByy21;③解決問題。x1x2前n項(xiàng)和Snn(a1an)n(n1)nna1d2.q1時(shí),Sa1(1q)
n221qa1anq1q4.求軌跡的常用方法:(1)定義法:利用圓錐曲線的定義;(2)直接法(列等式);(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法);⑷待定系數(shù)法;(5)參數(shù)法;(6)交軌法。
第七部分平面向量
⑴設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則:①a∥b(b≠0)a=b(R)x1y2-x2y1=0;②a⊥b(a、b≠0)ab=0x1x2+y1y2=0⑵ab=|a||b|cos=x2+y1y2;注:①|(zhì)a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的投影;①ab的幾何意義:ab等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos的乘積。
性質(zhì)①an=am+(n-m)d,①an=amqn-m;
②m+n=p+q時(shí)am+an=ap+aq②m+n=p+q時(shí)aman=apaq
③kS,S2kSk,S3kS2k,成AP③Sk,S2kSk,S3kS2k,成GP
④ak,akm,ak2m,成AP,d"md④ak,akm,ak2m,成GP,q"qm3.?dāng)?shù)列通項(xiàng)的求法:
S1(n=1)⑴定義法(利用AP,GP的定義);⑵累加法(an1ancn型);⑶公式法:an=Sn-Sn-1(n≥2)⑷累乘法(
ab⑶cos=;
|a||b|⑷三點(diǎn)共線的充要條件:P,A,B三點(diǎn)共線OPxOAyOB且xy1;
(理科)P,A,B,C四點(diǎn)共面OPxOAyOBzOC,且xyz1。
an1;⑸構(gòu)造法(an1kanb型);cn型)
an11;⑻(理科)數(shù)學(xué)歸納法。4)
anan1⑺間接法(例如:an1an4anan1
第八部分?jǐn)?shù)列
1.定義:
⑴等差數(shù)列{an}an1and(d為常數(shù))2anan1an1(n2,nN*)
4.前n項(xiàng)和的求法:⑴分組求和法;⑵裂項(xiàng)法;⑶錯(cuò)位相減法。
5.等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法:
an0an0;⑵⑴利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì);騛n10an10anknbsnAn2Bn;
⑵等比數(shù)列{an}
第九部分不等式
an12q(q0)anan-1an1(n2,nN)anaba2b21.均值不等式:ab22ab2a2b2注意:①一正二定三相等;②變形,ab(。)222.絕對(duì)值不等式:||a||b|||ab||a||b|
第5頁共6頁新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)歸納北京新東方學(xué)校蔣葉光jiangyeguang211@yahoo.com.cn3.不等式的性質(zhì):
⑴abba;⑵ab,bcac;⑶abacbc;ab,cd
acbd;⑷ab,c0acbd;ab,c0acbc;ab0,cd0acbd;⑸ab0anbn0(nN);⑹ab0nanb(nN)
第十一部分概率
1.事件的關(guān)系:⑴事件B包含事件A:事件A發(fā)生,事件B一定發(fā)生,記作AB;⑵事件A與事件B相等:若AB,BA,則事件A與B相等,記作A=B;
⑶并(和)事件:某事件發(fā)生,當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或B發(fā)生,記作AB(或AB);⑷并(積)事件:某事件發(fā)生,當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且B發(fā)生,記作AB(或AB);⑸事件A與事件B互斥:若AB為不可能事件(AB),則事件A與互斥;6對(duì)立事件:AB為不可能事件,AB為必然事件,則A與B互為對(duì)立事件。2.概率公式:⑴互斥事件(有一個(gè)發(fā)生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B);⑵古典概型:P(A)A包含的基本事件的個(gè)數(shù);
基本事件的總數(shù)構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積等);
試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積等)⑶幾何概型:P(A)----“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等,用表示;
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第一部分集合
1.理解集合中元素的意義是解決集合問題的關(guān)鍵:元素是函數(shù)關(guān)系中自變量的取值?還是因變量的.....取值?還是曲線上的點(diǎn)?;2.?dāng)?shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法:解題時(shí)要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具,....將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化,然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決;是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
3.(1)含n個(gè)元素的集合的子集數(shù)為2n,真子集數(shù)為2n-1;非空真子集的數(shù)為2n-2;(2)ABABAABB;注意:討論的時(shí)候不要遺忘了A的情況;(3)CI(AB)(CIA)(CIB);CI(AB)(CIA)(CIB)。
第二部分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
1.映射:注意①第一個(gè)集合中的元素必須有象;②一對(duì)一,或多對(duì)一。2.函數(shù)值域的求法:
①分析法;②配方法;③判別式法;④利用函數(shù)單調(diào)性;⑤換元法;⑥利用均值不等式
abab2ab222;⑦利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義(斜率、距離、絕對(duì)值的意義等);
⑧利用函數(shù)有界性(ax、sinx、cosx等);⑨導(dǎo)數(shù)法3.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題
(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法:①若f(x)的定義域?yàn)椋踑,b],則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求f(x)的定義域,相當(dāng)于x∈[a,b]時(shí),求g(x)的值域。(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定:①首先將原函數(shù)yf[g(x)]分解為基本函數(shù):內(nèi)函數(shù)ug(x)與外函數(shù)yf(u);②分別研究?jī)?nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性;③根據(jù)“同性則增,異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。
注意:外函數(shù)yf(u)的定義域是內(nèi)函數(shù)ug(x)的值域。4.分段函數(shù):
值域(最值)、單調(diào)性、圖象等問題,先分段解決,再下結(jié)論。5.函數(shù)的奇偶性
⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件;....⑵f(x)是奇函數(shù)f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)f(x)1;
⑶f(x)是偶函數(shù)f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)1;
f(x)⑷奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)有定義,則f(0)0;
⑸在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi):奇函數(shù)有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)有相反的單調(diào)性;(6)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先等價(jià)變形,再判斷其奇偶性;
6.函數(shù)的單調(diào)性
⑴單調(diào)性的定義:f(x)在區(qū)間M上是增(減)函數(shù)x1,x2M,當(dāng)x1x2時(shí)f(x1)f(x2)0(0)(x1x2)[f(x1)f(x2)]0(0)f(x1)f(x2)x1x20(0);
⑵單調(diào)性的判定定義法:注意:一般要將式子f(x1)f(x2)化為幾個(gè)因式作積或作商的形式,以利于判斷符號(hào);②導(dǎo)數(shù)法(見導(dǎo)數(shù)部分);③復(fù)合函數(shù)法(見2(2));④圖像法。注:證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。7.函數(shù)的周期性
(1)周期性的定義:對(duì)定義域內(nèi)的任意x,若有f(xT)f(x)(其中T為非零常數(shù)),則稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù),T為它的一個(gè)周期。所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明,遇到的周期都指最小正周期。(2)三角函數(shù)的周期
①ysinx:T2;②ycosx:T2;③ytanx:T;
2||④yAsin(x),yAcos(x):T;⑤ytanx:T||;
⑶函數(shù)周期的判定:①定義法(試值)②圖像法③公式法(利用(2)中結(jié)論)⑷與周期有關(guān)的結(jié)論:
①f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0)f(x)的周期為2a;②yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)中心對(duì)稱f(x)周期2ab;③yf(x)的圖象關(guān)于直線xa,xb軸對(duì)稱f(x)周期為2ab;
④yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱,直線xb軸對(duì)稱f(x)周期4ab;8.基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)
⑴冪函數(shù):yx(R);⑵指數(shù)函數(shù):ya(a0,a1);⑶對(duì)數(shù)函數(shù):ylogaxx(a0,a1);⑷正弦函數(shù):ysinx;
2⑸余弦函數(shù):ycosx;(6)正切函數(shù):ytanx;⑺一元二次函數(shù):axbxc0;⑻其它常用函數(shù):①正比例函數(shù):ykx(k0);②反比例函數(shù):y特別的y1xkx(k0);
,函數(shù)yxax(a0);
9.二次函數(shù):
⑴解析式:①一般式:f(x)axbxc;
②頂點(diǎn)式:f(x)a(xh)2k,(h,k)為頂點(diǎn);③零點(diǎn)式:f(x)a(xx1)(xx2)。
⑵二次函數(shù)問題解決需考慮的因素:
①開口方向;②對(duì)稱軸;③端點(diǎn)值;④與坐標(biāo)軸交點(diǎn);⑤判別式;⑥兩根符號(hào)。⑶二次函數(shù)問題解決方法:①數(shù)形結(jié)合;②分類討論。10.函數(shù)圖象
⑴圖象作法:①描點(diǎn)法(注意三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖)②圖象變換法③導(dǎo)數(shù)法⑵圖象變換:
①平移變換:yf(x)yf(xa),(a0)左“+”右“-”;
yf(x)yf(x)k,(k0)上“+”下“-”;
②伸縮變換:
1yf(x)yf(x),(0)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的
倍;
yf(x)yAf(x),(A0)橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的A倍;③
0,0)y0對(duì)稱變換:yf(x)(yf(x);yf(x)yf(x);
0yxyf(x)xyf(x);yf(x)yf1(x);
④翻轉(zhuǎn)變換:
yf(x)yf(|x|)右不動(dòng),右向左翻(f(x)在y左側(cè)圖象去掉);yf(x)y|f(x)|上不動(dòng),下向上翻(|f(x)|在x下面無圖象);11.函數(shù)圖象(曲線)對(duì)稱性的證明
(1)證明函數(shù)yf(x)圖像的對(duì)稱性,即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上;
(2)證明函數(shù)yf(x)與yg(x)圖象的對(duì)稱性,即證明yf(x)圖象上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)在yg(x)的圖象上,反之亦然;
注:①曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線C2方程為:f(2a-x,2b-y)=0;
②曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于直線x=a的對(duì)稱曲線C2方程為:f(2a-x,y)=0;
③曲線C1:f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(或y=-x+a)的對(duì)稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
y=f(x)圖像關(guān)于直線x=④f(a+x)=f(b-x)(x∈R)ab2對(duì)稱;
y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱;特別地:f(a+x)=f(a-x)(x∈R)⑤函數(shù)y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x=
ab2對(duì)稱;
12.函數(shù)零點(diǎn)的求法:⑴直接法(求f(x)0的根);⑵圖象法;⑶二分法.13.導(dǎo)數(shù)
⑴導(dǎo)數(shù)定義:f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記作yxx0f(x0)limf(x0x)f(x0)x;
x0⑵常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:①C"0;②(xn)"nxn1;③(sinx)"cosx;④(cosx)"sinx;⑤(ax)"axlna;⑥(ex)"ex;⑦(log⑧(lnx)"1xax)"1xlna;
。uuvuvv2⑶導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則:(uv)uv;(uv)uvuv;()v;
(4)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用:
①利用導(dǎo)數(shù)求切線:注意:所給點(diǎn)是切點(diǎn)嗎?所求的是“在”還是“過”該點(diǎn)的切線?②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性:f(x)0f(x)是增函數(shù);f(x)0f(x)為減函數(shù);f(x)0f(x)為常數(shù);
③利用導(dǎo)數(shù)求極值:求導(dǎo)數(shù)f(x);求方程f(x)0的根;列表得極值。④利用導(dǎo)數(shù)最大值與最小值:求的極值;求區(qū)間端點(diǎn)值(如果有);得最值。
第三部分三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形
1.⑴角度制與弧度制的互化:弧度180,11802弧度,1弧度(12Rl。
180)5718
"⑵弧長(zhǎng)公式:lR;扇形面積公式:S12R2.三角函數(shù)定義:角中邊上任意一點(diǎn)P為(x,y),設(shè)|OP|r則:
sinyr,cosxr,tanyx
3.三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律:一全正,二正弦,三兩切,四余弦;4.誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律:“函數(shù)名不(改)變,符號(hào)看象限”;5.⑴yAsin(x)對(duì)稱軸:xk2;對(duì)稱中心:(k2,0)(kZ);
⑵yAcos(x)對(duì)稱軸:x6.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系:sin2kk2;對(duì)稱中心:(sinxcosx,0)(kZ);
xcosx1;tanx;
7.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式:
①sin()sincoscossin;
②cos()coscossinsin;
tantan1tantan③tan()。
8.二倍角公式:
①sin22sincos;
②cos2cos2sin22cos2112sin2;③tan22tan21tan1cos21cos21*降冪公式:sin2;cos2;sincossin2.
222。
9.正、余弦定理⑴正弦定理
asinAbsinBcsinC2R(2R是ABC外接圓直徑)
注:①a:b:csinA:sinB:sinC;②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;
③asinAbsinB2csinC2abcsinAsinBsinC。
bca2bc222⑵余弦定理:abc2bccosA等三個(gè);注:cosA10。幾個(gè)公式:
⑴三角形面積公式:SABC2SABCabc2等三個(gè)。
12ah12absinCp(pa)(pb)(pc),(p12(abc));
⑵內(nèi)切圓半徑r=;外接圓直徑2R=
asinAbsinBcsinC;
11.已知a,b,A時(shí)三角形解的個(gè)數(shù)的判定:
CbhA
a其中h=bsinA,⑴A為銳角時(shí):①a⑶臺(tái)體:①表面積:S=S側(cè)+S
上底
S下底
;②側(cè)面積:S側(cè)=(rr")l;③體積:V=
433R。
13(S+SS"S")h;
⑷球體:①表面積:S=4R2;②體積:V=
3.位置關(guān)系的證明(主要方法):
⑴直線與直線平行:①公理4;②線面平行的性質(zhì)定理;③面面平行的性質(zhì)定理。⑵直線與平面平行:①線面平行的判定定理;②面面平行線面平行。
⑶平面與平面平行:①面面平行的判定定理及推論;②垂直于同一直線的兩平面平行。⑷直線與平面垂直:①直線與平面垂直的判定定理;②面面垂直的性質(zhì)定理。⑸平面與平面垂直:①定義---兩平面所成二面角為直角;②面面垂直的判定定理。4.求角:(步驟-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角)
⑴異面直線所成角的求法:①平移法:平移直線,構(gòu)造三角形;
②補(bǔ)形法:補(bǔ)成正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等,發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系。
⑵直線與平面所成的角:①直接法(利用線面角定義);②先求斜線上的點(diǎn)到平面距離h,與斜線段長(zhǎng)度作比,得sin。⑶二面角的求法:①定義法:在二面角的棱上取一點(diǎn)(特殊點(diǎn)),作出平面角,再求解;6.結(jié)論:
⑴從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,則點(diǎn)A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上;
⑵立平斜公式(最小角定理公式):coscos1cos2;
⑶正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等記為,則S側(cè)cos=S底;⑷長(zhǎng)方體的性質(zhì)
①長(zhǎng)方體體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為,,,則:cos2+cos2+cos2=1;
222
sin+sin+sin=2。
222
②長(zhǎng)方體體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為,,,則有cos+cos+cos=2;
sin2+sin2+sin2=1。
⑸正四面體的性質(zhì):設(shè)棱長(zhǎng)為a,則正四面體的:①
高:h63a;②對(duì)棱間距離:
2264a;③相鄰兩面所成角余弦值:
13;
④內(nèi)切球半徑:
612a;外接球半徑:a;
第五部分直線與圓
1.直線方程
⑴點(diǎn)斜式:yyk(xx);⑵斜截式:ykxb;⑶截距式:
xayb1;⑷兩點(diǎn)式:
yy1y2y1xx1x2x1;
⑸一般式:AxByC0,(A,B不全為0)。(直線的方向向量:(B,A),法向量(A,B)2.求解線性規(guī)劃問題的步驟是:
(1)列約束條件;(2)作可行域,寫目標(biāo)函數(shù);(3)確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。3.兩條直線的位置關(guān)系:
直線方程平行的充要條件垂直的充要條件備注l1:yk1xb1l2:yk2xb2k1k2,b1b2k1k21l1,l2有斜率l1:A1xB1yC10A1B2A2B1,且A1A2B1B20不可寫成
4.幾個(gè)公式l2:A2xB2yC2B1C2B2C⑴設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),ABC的重心G:(x1x2x3,y1y2y3);
33⑵點(diǎn)P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離:dAx0By0CA2;
B2⑶兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離是d5.圓的方程:
C1C2AB22;
⑴標(biāo)準(zhǔn)方程:①(xa)2(yb)2r2;②x2y2r2。⑵一般方程:x2y2DxEyF0(D2E24F0)
注:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;6.圓的方程的求法:⑴待定系數(shù)法;⑵幾何法;⑶圓系法。7.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系:(主要掌握幾何法)
⑴點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:(d表示點(diǎn)到圓心的距離)
①dR點(diǎn)在圓上;②dR點(diǎn)在圓內(nèi);③dR點(diǎn)在圓外。⑵直線與圓的位置關(guān)系:(d表示圓心到直線的距離)
①dR相切;②dR相交;③dR相離。
⑶圓與圓的位置關(guān)系:(d表示圓心距,R,r表示兩圓半徑,且Rr)①dRr相離;②dRr外切;③RrdRr相交;④dRr內(nèi)切;⑤0dRr內(nèi)含。8.與圓有關(guān)的結(jié)論:
⑴過圓x+y=r上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為:x0x+y0y=r;
過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;⑵以A(x1,y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。
2222第六部分圓錐曲線
1.定義:⑴橢圓:|MF1||MF2|2a,(2a|F1F2|);⑵雙曲線:||MF1||MF2||2a,(2a|F1F2|);⑶拋物線:略
2.結(jié)論
⑴焦半徑:①橢圓:PF1aex0,PF2aex0(e為離心率);(左“+”右“-”);
②拋物線:PFx0p2
22(1k)[(x1x2)4x1x2]
⑵弦長(zhǎng)公式:AB1k2x2x111k2y2y1(11k22)[(y1y2)4y1y2];
注:(Ⅰ)焦點(diǎn)弦長(zhǎng):①橢圓:|AB|2ae(x1x2);②拋物線:AB=x1+x2+p=
(Ⅱ)通徑(最短弦):①橢圓、雙曲線:2b;②拋物線:2p。
a22psin2;
⑶過兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為:
mx2ny21(m,n同時(shí)大于0時(shí)表示橢圓,mn0時(shí)表示雙曲線);
⑷橢圓中的結(jié)論:
①內(nèi)接矩形最大面積:2ab;
②P,Q為橢圓上任意兩點(diǎn),且OP0Q,則
1|OP|21|OQ|21a21b2;
③橢圓焦點(diǎn)三角形:.SPF心,PM交F1F2于點(diǎn)N,則
1F2btan22,(F1PF2);.點(diǎn)M是PF1F2內(nèi)
|PM||MN|ac;
④當(dāng)點(diǎn)P與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時(shí)F1PF2最大;⑸雙曲線中的結(jié)論:
①雙曲線
xa22yb221(a>0,b>0)的漸近線:
xa2222yb220;
②共漸進(jìn)線ybax的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為
xa22yb(為參數(shù),≠0);
③雙曲線焦點(diǎn)三角形:.SPFF12b2tan2,(F1PF2);
.P是雙曲線
xa22-
yb22=1(a>0,b>0)的左(右)支上一點(diǎn),F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn),則△PF1F2
的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a,(a);④雙曲線為等軸雙曲線e(6)拋物線中的結(jié)論:
82漸近線為yx漸近線互相垂直;①拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB性質(zhì):
2.x1x2=p;y1y2=-p2;
4.
1|AF|1|BF|2p;
.以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切;
.以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切;.SAOB2
p22sin。
②拋物線y=2px(p>0)內(nèi)結(jié)直角三角形OAB的性質(zhì):
.x1x24P2,y1y24P2;.lAB恒過定點(diǎn)(2p,0);
.A,B中點(diǎn)軌跡方程:y2p(x2p);.OMAB,則M軌跡方程為:
(xp)y2
22p;.(SAOB)min4p。
22③拋物線y=2px(p>0),對(duì)稱軸上一定點(diǎn)A(a,0),則:
.當(dāng)0ap時(shí),頂點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小,最小值為a;.當(dāng)ap時(shí),拋物線上有關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小,最小值為2app2。
3.直線與圓錐曲線問題解法:
⑴直接法(通法):聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,構(gòu)造一元二次方程求解。注意以下問題:
①聯(lián)立的關(guān)于“x”還是關(guān)于“y”的一元二次方程?
②直線斜率不存在時(shí)考慮了嗎?③判別式驗(yàn)證了嗎?⑵設(shè)而不求(代點(diǎn)相減法):--------處理弦中點(diǎn)問題步驟如下:①設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得k4.求軌跡的常用方法:
(1)定義法:利用圓錐曲線的定義;
(2)直接法(列等式);(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法);⑷待定系數(shù)法;(5)參數(shù)法;(6)交軌法。
ABy1y2x1x2;③解決問題。
第七部分平面向量
⑴設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則:
①a∥b(b≠0)a=b(R)x1y2-x2y1=0;②a⊥b(a、b≠0)ab=0x1x2+y1y2=0.⑵ab=|a||b|cos=x2+y1y2;
注:①|(zhì)a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的投影;
②ab的幾何意義:ab等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos的乘積。
⑶cos=
ab|a||b|;
⑷三點(diǎn)共線的充要條件P,A,B三點(diǎn)共線OPxOAyOB(且xy1);第八部分?jǐn)?shù)列1.定義:
⑴等差數(shù)列{an}an1and(d為常數(shù))2anan1an1(n2,nN*)
anknbsnAn2Bn;
⑵等比數(shù)列{an}nan1anq(q0)an2an-1an1(n2,nN)
ancq(c,q均為不為0的常數(shù))Snkkq(q0,q1,k0);
n2.等差、等比數(shù)列性質(zhì)
等差數(shù)列等比數(shù)列
n1通項(xiàng)公式ana1(n1)dana1q
1.q1時(shí),Snna1;前n項(xiàng)和Snn(a1an)2na1n(n1)2d2.q1時(shí),Sna1anq1qa1(1q)1qn
性質(zhì)①an=am+(n-m)d,①an=amqn-m;
②m+n=p+q時(shí)am+an=ap+aq②m+n=p+q時(shí)aman=apaq
③Sk,S2kSk,S3kS2k,成AP③Sk,S2kSk,S3kS2k,成GP
m④ak,akm,ak2m,成AP,d"md④ak,akm,ak2m,成GP,q"q
等差數(shù)列特有性質(zhì):①項(xiàng)數(shù)為2n時(shí):S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n);S偶S奇nd;
S奇S偶S奇S偶anan1;
②項(xiàng)數(shù)為2n-1時(shí):S2n-1=(2n-1)a中;S奇-S偶a中;
nn-1;
③若anm,amn,(mn),則amn0;若Snm,Smn,則Smn(mn);
若SnSm,(mn),則Smn0。3.?dāng)?shù)列通項(xiàng)的求法:
S1(n=1)a=an1ancn;⑴分析法;⑵定義法(利用AP,GP的定義);⑶公式法:累加法(nSn-Sn-1(n≥2)⑷疊乘法(
an1ancn型);⑸構(gòu)造法(an1kanb型);(6)迭代法;
⑺間接法(例如:an1an4anan1⑻作商法(a1a2ancn型);⑼待定系數(shù)法;⑽(理科)數(shù)學(xué)歸納法。注:當(dāng)遇到an1an1d或4.前n項(xiàng)和的求法:
an1an11an1an14);
q時(shí),要分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論,結(jié)果是分段形式。
⑴拆、并、裂項(xiàng)法;⑵倒序相加法;⑶錯(cuò)位相減法。5.等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法:⑴an0a0或na0a0n1n1;⑵利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。
第九部分不等式1.均值不等式:abab2ab222
ab22注意:①一正二定三相等;②變形,ab()ab222。
2.絕對(duì)值不等式:||a||b|||ab||a||b|3.不等式的性質(zhì):
⑴abba;⑵ab,bcac;
⑶abacbc;ab,cdacbd;
⑷ab,c0acbd;ab,c0acbc;ab0,cd0acbd;
nn⑸ab0ab0(nN);(6)ab0nanb(nN)。
4.不等式等證明(主要)方法:⑴比較法:作差或作比;⑵綜合法;⑶分析法。第十部分復(fù)數(shù)1.概念:
2⑴z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=zz≥0;⑵z=a+bi是虛數(shù)b≠0(a,b∈R);
⑶z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b≠0(a,b∈R)z+z=0(z≠0)z⑶z1÷z2=
(abi)(cdi)(cdi)(cdi)acbdbcad22i(z2≠0);22cdcd3.幾個(gè)重要的結(jié)論:
(1)z1z22z1z222(z1z2);(2)zzz222z2;⑶(1i)22i;⑷1ii;1ii;
1i1i第十一部分概率
1.事件的關(guān)系:
⑴事件B包含事件A:事件A發(fā)生,事件B一定發(fā)生,記作AB;⑵事件A與事件B相等:若AB,BA,則事件A與B相等,記作A=B;
⑶并(和)事件:某事件發(fā)生,當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或B發(fā)生,記作AB(或AB);⑷并(積)事件:某事件發(fā)生,當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且B發(fā)生,記作AB(或AB);⑸事件A與事件B互斥:若AB為不可能事件(AB),則事件A與互斥;6對(duì)立事件:AB為不可能事件,AB為必然事件,則A與B互為對(duì)立事件。2.概率公式:
⑴互斥事件(有一個(gè)發(fā)生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B);⑵古典概型:P(A)A包含的基本事件的個(gè)數(shù)基本事件的總數(shù);
⑶幾何概型:P(A)構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的積等)等)區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積;
第十二部分統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例
1.抽樣方法
⑴簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣:一般地,設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N,通過逐個(gè)不放回的方法從中抽取一個(gè)容量為n的樣本,且每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等,就稱這種抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。注:①每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為
nN;
②常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有:抽簽法;隨機(jī)數(shù)法。
⑵系統(tǒng)抽樣:當(dāng)總體個(gè)數(shù)較多時(shí),可將總體均衡的分成幾個(gè)部分,然后按照預(yù)先制定的規(guī)則,從每一個(gè)部分抽取一個(gè)個(gè)體,得到所需樣本,這種抽樣方法叫系統(tǒng)抽樣。注:步驟:①編號(hào);②分段;③在第一段采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法確定其時(shí)個(gè)體編號(hào)l;④按預(yù)先制定的規(guī)則抽取樣本。
⑶分層抽樣:當(dāng)已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時(shí),為使樣本更充分的反映總體的情況,將總體分成幾部分,然后按照各部分占總體的比例進(jìn)行抽樣,這種抽樣叫分層抽樣。注:每個(gè)部分所抽取的樣本個(gè)體數(shù)=該部分個(gè)體數(shù)2.總體特征數(shù)的估計(jì):⑴樣本平均數(shù)x⑵樣本方差S2nN
1n1n(x1x2xn)221nnxi;
2i1[(x1x)(x2x)(xnx)]1ni(xni1x)2;
2⑶樣本標(biāo)準(zhǔn)差S1n[(x1x)(x2x)(xnx)]222=
121ni(xni1x);n(x3.相關(guān)系數(shù)(判定兩個(gè)變量線性相關(guān)性):ri1nix)(yiy)n
i(xi1ix)2(yi1y)2注:⑴r>0時(shí),變量x,y正相關(guān);r2.基本算法語句:
⑴輸入語句:INPUT“提示內(nèi)容”;變量;輸出語句:PRINT“提示內(nèi)容”;表達(dá)式賦值語句:變量=表達(dá)式
⑵條件語句:①②
IF條件THENIF條件THEN語句體語句體1ENDIFELSE語句體2ENDIF
⑶循環(huán)語句:①當(dāng)型:②直到型:WHILE條件DO循環(huán)體循環(huán)體
WENDLOOPUNTIL條件3.算法案例:
⑴輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損法-----求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù);⑵秦九韶算法------求多項(xiàng)式的值;⑶進(jìn)位制----------各進(jìn)制數(shù)之間的互化。
第十四部分常用邏輯用語與推理證明
1.四種命題:
⑴原命題:若p則q;⑵逆命題:若q則p;⑶否命題:若p則q;⑷逆否命題:若q則p
注:原命題與逆否命題等價(jià);逆命題與否命題等價(jià)。
2.充要條件的判斷:
(1)定義法----正、反方向推理;(2)利用集合間的包含關(guān)系:例如:若AB,則A是B的充分條件或B是A的必要條件;若A=B,則A是B的充要條件;3.邏輯連接詞:
⑴且(and):命題形式pq;pqpqpqp⑵或(or):命題形式pq;真真真真假⑶非(not):命題形式p.真假假真假假真假真真假假假假真4.全稱量詞與存在量詞
⑴全稱量詞-------“所有的”、“任意一個(gè)”等,用表示;
全稱命題p:xM,p(x);全稱命題p的否定p:xM,p(x)。⑵存在量詞--------“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等,用表示;
特稱命題p:xM,p(x);特稱命題p的否定p:xM,p(x);
第十五部分推理與證明
1.推理:
⑴合情推理:歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實(shí),經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,在進(jìn)行歸納、類比,然后提出猜想的推理,我們把它們稱為合情推理。
①歸納推理:由某類食物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者有個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理,簡(jiǎn)稱歸納。注:歸納推理是由部分到整體,由個(gè)別到一般的推理。
②類比推理:由兩類對(duì)象具有類似和其中一類對(duì)象的某些已知特征,推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理,稱為類比推理,簡(jiǎn)稱類比。注:類比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演繹推理:從一般的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,這種推理叫演繹推理。注:演繹推理是由一般到特殊的推理。
“三段論”是演繹推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般結(jié)論;⑵小前提---------所研究的特殊情況;⑶結(jié)論---------根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況得出的判斷。二.證明⒈直接證明
⑴綜合法
一般地,利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因?qū)Ч。⑵分析?/p>
一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定義、定理、公理等),這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。
2.間接證明------反證法
一般地,假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明原命題成立,這種證明方法叫反證法。
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