201*屆高中文科數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修1知識點

集合的概念：集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

集合與元素間的關(guān)系：對象a與集合M的關(guān)系是aM，或者aM，兩者必居其一.已知集合空真子集.

函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則．

只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)．若

A有n(n1)個元素，則它有2n個子集，它有2n1個真子集，它有2n1個非空子集，它有2n2個非

f(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．

f(x)的定義域為[a,b]，其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域應(yīng)由不等

對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知式ag(x)b解出．

（6）映射的概念

①設(shè)

A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合

A中任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它

）叫做集合

A到B的映射，記作f:AB．

對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合

A，B以及A到B的對應(yīng)法則f②給定一個集合

A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b對應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素a的

象，元素a叫做元素b的原象．

②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)．③對于復(fù)合函數(shù)

yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)為增，ug(x)為增，則yf[g(x)]為增；若

yf(u)為減，ug(x)為減，則yf[g(x)]為增；若yf(u)為增，ug(x)為減，則yf[g(x)]為

減；若

yf(u)為減，ug(x)為增，則yf[g(x)]為減．

（2）打“√”函數(shù)

f(x)xa(a0)的圖象與性質(zhì)xyf(x)分別在

分別在[

1(,a]、[a,)上為增函數(shù)，

oxa,0)、(0,a]上為減函數(shù)．

②若函數(shù)

f(x)為奇函數(shù)，且在x0處有定義，則f(0)0．

④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)．

（4）對數(shù)的運算性質(zhì)如果a①加法：loga0,a1,M0,N0，那么

MN

MlogaNloga(MN)②減法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN

③數(shù)乘：nloga⑤logabMnnlogbNlogaM(b0,nR)⑥換底公式：logaN(b0,且b1)blogba

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：

f(x)ax2bxc(a0)②頂點式：f(x)a(xh)2k(a0)③兩根式：

f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點坐標(biāo)時，宜用一般式．

②已知拋物線的頂點坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大（小）值有關(guān)時，常使用頂點式．③若已知拋物線與x軸有兩個交點，且橫線坐標(biāo)已知時，選用兩根式求

3直觀圖：斜二測畫法4斜二測畫法的步驟：

（1）.平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變；（3）.畫法要寫好。

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2、判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

3、直線的斜率:

一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是k=tanα⑴當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,α=0°,k=tan0°=0;⑵當(dāng)直線l與x軸垂直時,α=90°,k不存在.

由此可知,一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

2

f(x)更方便．

2、傾斜角α的取值范圍：0°≤α＜180°.當(dāng)直線l與x軸垂直時,α=90°.

2、兩平行線間的距離公式：

已知兩條平行線直線l1和l2的一般式方程為l1：

AxByC10，

l2：AxByC20，則l1與l2的距離為d

2、點M(x0,y0)與圓(xa)（1）(x0（3）(x02C1C2AB22

(yb)2r2的關(guān)系的判斷方法：

a)2(y0b)2>r2，點在圓外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，點在圓上a)2(y0b)2

4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A

與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事

件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。

1806、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．1807、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，則lr，C2rl，

11Slrr2．

225sin14、函數(shù)

cos，cossin．6sincos，cossin．2222口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．

ysinx0,0的性質(zhì)：

2①振幅：；②周期：

；③頻率：

f12；④相位：x；⑤初相：．

第二章平面向量

向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒有方向的量．

向量共線定理：向量aa0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使ba．

平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)（不共線的向量e1、e2作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）1、2，使a1e12e2．

x1x2y1y2ab設(shè)a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a與b的夾角，則cos22abx12y12x2y2

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin2⑵cos2．

2sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2

cos2sin22cos2112sin2

升冪公式1cos2cos222cos211cos22，sin降冪公式cos222

4

,1cos2sin2．

⑶tan2

27、合一變形把兩個三角函數(shù)的和或差化為“一個三角函數(shù)，一個角，一次方”的

2tan1tan2．

yAsin(x)B形式。

sincos22sin，其中tan求sin50o．(13tan10o)；

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，，則有(R為C的外接圓的半徑)

abc2RsinsinsinC3、原命題：“若p，則q”逆命題：“若q，則p”

否命題：“若p，則q”逆否命題：“若q，則p”5、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．

3．幾個重要的結(jié)論：

(1)(1i)22i；⑷1ii;1ii;

1i1i(2)i性質(zhì)：T=4；i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i；i4ni4n1i42i4n30;(3)z1zz1z1。z5．共軛的性質(zhì)：⑴(z1z2)z1z2；⑵z1z2z1z2；⑶(z1z)1；⑷zz。z2z2z1|z1|；⑷|z2|z2|6．模的性質(zhì)：⑴||z1||z2|||z1z2||z1||z2|；⑵|z1z2||z1||z2|；⑶||zn||z|n；

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集合與簡易邏輯

知識回顧：

（一）集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的使用.2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

3①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題逆命題.②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題逆否命題.(二)含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根軸法（零點分段法）

①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“b解的討論；

2

②一元二次不等式ax+box>0(a>0)解的討論.00二次函數(shù)0yax2bxc（a0）的圖象有兩相異實根一元二次方程有兩相等實根無實根x1,x2(x1x2)bx1x22a第1頁共22頁ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集xxx或xx12bxx2aRxx1xx22.分式不等式的解法（1）標(biāo)準(zhǔn)化：移項通分化為

f(x)f(x)f(x)f(x)>0(或函數(shù)三要素是定義域，對應(yīng)法則和值域，而定義域和對應(yīng)法則是起決定作用的要素，因為這二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).3.反函數(shù)

（二）函數(shù)的性質(zhì)⒈函數(shù)的單調(diào)性

定義：對于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1,x2,若當(dāng)x1y|2x22x1|→|y|關(guān)于x軸對稱.

熟悉分式圖象：

2x17例：y定義域{x|x3,xR}，2x3x3值域{y|y2,yR}→值域x前的系數(shù)之比.（三）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)圖象▲y2x3yax(a0且a1)的圖象和性質(zhì)

a>14.5401;x數(shù)列

定義遞推公式通項公式中項等差數(shù)列an1andanan1d；anamnmd等比數(shù)列an1q(q0)ananan1q；anamqnmana1qn1（a1,q0）Gankank(ankank0)ana1(n1)dAankank2

前n項和重要性質(zhì)nna(q1)Sn(a1an)12Sna11qnaaq1n(q2)n(n1)1q1qSnna1d2**amanapaq(m,n,p,qN,amanapaq(m,n,p,qN,mnpq)

mnpq)（n,kN*,nk0）（n,kN*,nk0）看

數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：①anan1d(n2,d為常數(shù))②2anan1an1(n2)

③anknb(n,k為常數(shù)).

看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：①anan1q(n2,q為常數(shù),且0)

2an1an1(n2，anan1an10)②an①

anPan1r（P、r為常數(shù)）用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項選代；③消去常數(shù)n轉(zhuǎn)化為an2Pan1qan的形式，再用特征根方法求an；④anc1c2Pn1（公式法），c1,c2由a1,a2確定.

①轉(zhuǎn)化等差，等比：an1xP(anx)an1PanPxxx②選代法：anPan1rP(Pan2r)ran(a1r.P1rr)Pn1(a1x)Pn1xP1P1在等差數(shù)列｛an｝中,有關(guān)Sn的最值問題：(1)當(dāng)a1>0,d使得sm取最大值.(2)當(dāng)a10時，滿足am0的項數(shù)m使得sm取最小值。在解含絕

am10對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。（三）、數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

c2.裂項相消法:適用于其中{an}是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部

anan1分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。

3.錯位相減法:適用于anbn其中{an}是等差數(shù)列，bn是各項不為0的等比數(shù)列。4.倒序相加法:類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論4）123n5）

22221n(n1)(2n1)61111111()

n(n1)nn1n(n2)2nn2三角函數(shù)

1.三角函數(shù)的定義域：三角函數(shù)f(x)sinxf(x)cosxf(x)tanx定義域x|xRx|xR1x|xR且xk,kZ2cos22、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sintansinco2s1

3、誘導(dǎo)公式：

把k“奇變偶不變，符號看象限”的三角函數(shù)化為的三角函數(shù)，概括為：2三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

sin(x)sinxsin2(x)sinxcos(x)cosxcos2(x)cosx

tan(x)tanxtan2(x)tanxcot(x)cotxcot2(x)coxtsin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)coxt

cos()coscossinsinsin22sincos

22sco2ssin2co2s112sincos()coscossinsinco22sin()sincoscossintansin()sincoscossinsin22tan1tan2

1cos2第6頁共22頁tan()tantan1coscos

1tantan22tantantan1cossin1cos1tantan21cos1cossin62,sin75cos154tan()sin15cos75624,,.

4.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：定義域值域周期性奇偶性單調(diào)性ysinxR[1,1]ycosxR[1,1]ytanx1x|xR且xk,kZ2yAsinx（A、＞0）RRA,A22奇函數(shù)22偶函數(shù)[2k1,2k]奇函數(shù)k,k22當(dāng)0,非奇非偶當(dāng)0,奇函數(shù)2k2k2(A),12(A)[2k,；22k]上為增函數(shù)；[上為增函數(shù)[2k,2k1]上為減函數(shù)（kZ）上為增函數(shù)（kZ）232k]22k,上為增函數(shù)；2k上為減函數(shù)（kZ）2(A),32k2(A)上為減函數(shù)（kZ）注意：①ysinx與ysinx的單調(diào)性正好相反；ycosx與ycosx的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上遞增（減），則yf(x)在[a,b]上遞減（增）.

▲②ysinx與ycosx的周期是.

③ysin(x)或ycos(x)（0）的周期T2y.

Oxxytan的周期為2（TT2，如圖，翻折無效）.

2④ysin(x)的對稱軸方程是xk2（kZ），對稱中心（k,0）；ycos(x)的對稱軸方程是xk（kZ），對稱中心（k1,0）；ytan(x)的對稱中心

2第7頁共22頁（

k,0）.ycos2x原點對稱ycos(2x)cos2x22⑤當(dāng)tantan1,ktan1,k(kZ)；tan

2(kZ).

⑥ycosx與ysinx2k是同一函數(shù),

2⑦函數(shù)ytanx在R上為增函數(shù).（×）[只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個定義域，

ytanx為增函數(shù)，同樣也是錯誤的].

⑧定義域關(guān)于原點對稱是f(x)具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關(guān)于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：f(x)f(x)，奇函數(shù)：

f(x)f(x)）

1奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：ytanx是奇函數(shù)，ytan(x)是非奇非偶.（定

3義域不關(guān)于原點對稱）

奇函數(shù)特有性質(zhì)：若0x的定義域，則f(x)一定有f(0)0.（0x的定義域，則無此性質(zhì)）

▲⑨ysinx不是周期函數(shù)；ysinx為周期函數(shù)（T）；ycosx是周期函數(shù)（如圖）；ycosx為周期函數(shù)（T）；y▲yx1/2xy=cos|x|圖象1ycos2x的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：

2y=|cos2x+1/2|圖象yf(x)5f(xk),kR.

⑩yacosbsina2b2sin()cosb有a2b2y.a三角函數(shù)圖象的作法：

1）、描點法及其特例五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切曲線）.2）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象．

平面向量

向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：幾何表示法AB；字母表示：a；坐標(biāo)表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的長度：即向量的大小，記作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.

單位向量aO為單位向量｜aO｜＝1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）x1x2

yy21第8頁共22頁(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0

(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a∥b.平行向量也稱為共線向量.3.向量的運算運算類型幾何方法坐標(biāo)方法運算性質(zhì)abba向量的加法1.平行四邊形法則2.三角形法則ab(x1x2,y1y2)(ab)ca(bc)ABBCAC向量的減法三角形法則ab(x1x2,y1y2)aba(b)ABBA,OBOAAB(a)()a1.a是一個向量,滿數(shù)乘向量足:|a||||a|2.>0時,a與a同向;1圖x1x2x,12中點公式OP＝（OP1＋OP2）或2yy1y2.2正、余弦定理

正弦定理：

abc2R.sinAsinBsinC2

22

余弦定理：a＝b＋c－2bccosA，222

b＝c＋a－2cacosB，222

c＝a＋b－2abcosC.三角形面積計算公式：

設(shè)△ABC的三邊為a，b，c，其高分別為ha，hb，hc，半周長為P，外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R，r.

①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc②S△=Pr③S△=abc/4R

④S△=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinA⑤S△=PPaPbPc[海倫公式]⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下圖]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb

[注]：到三角形三邊的距離相等的點有4個，一個是內(nèi)心，其余3個是旁心.如圖：AAAcAcbbFOEacDBCFbEDBaCrFCINrCrBaEIaaaB圖2圖3圖4

圖1中的I為S△ABC的內(nèi)心，S△=Pr

圖2中的I為S△ABC的一個旁心，S△=1/2（b+c-a）ra附：三角形的五個“心”；重心：三角形三條中線交點.

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點.

旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點.

An▲BBCA▲n1CDEn2

不等式知識要點

1.不等式的基本概念

不等（等）號的定義：ab0ab;ab0ab;ab0ab.

第10頁共22頁2.不等式的基本性質(zhì)

（1）abba（對稱性）

（2）ab,bcac（傳遞性）

（3）abacbc（加法單調(diào)性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）（5）ab,cdacbd（異向不等式相減）（6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法單調(diào)性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

(9)ab0,0cdab（異向不等式相除）cd(10)ab,ab011（倒數(shù)關(guān)系）ab（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法則）（12）ab0nanb(nZ,且n1)（開方法則）

3.幾個重要不等式

（1）若aR,則|a|0,a20

（2）若a、bR,則a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）（3）如果a,b都是正數(shù)，那么abab.（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

2極值定理：若x,yR,xyS,xyP,則：

1如果P是定值,那么當(dāng)x=y時，S的值最�。弧�

2如果S是定值,那么當(dāng)x=y時，P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.

(4)若a、b、cR,則abc3abc（當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時取等號）3ba(5)若ab0,則2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

ab(6)a0時，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,則||a||b|||ab||a||b|

1111111常用不等式的放縮法：①2(n2)

nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn122(a1nn1(n1)

（2）柯西不等式：若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;則2a2（a1b1a2b2a3b3anbn)ana1a2a3當(dāng)且僅當(dāng)時取等號b1b2b3bn2a32an)(b122b22b32bn)不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.

不等式的解法

第11頁共22頁直線和圓的方程

一、直線方程.

1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與x軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與x軸平行或重合時，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是

0180(0).

注：①當(dāng)90或x2x1時，直線l垂直于x軸，它的斜率不存在.

②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與x軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定時，其傾斜角也對應(yīng)確定.2.直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.3.兩條直線平行：

l1∥l2k1k2兩條直線平行的條件是：①l1和l2是兩條不重合的直線.②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個—前提‖都會導(dǎo)致結(jié)論的錯誤.

（一般的結(jié)論是：對于兩條直線l1,l2，它們在y軸上的縱截距是b1,b2，則l1∥l2k1k2，且b1b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2B1A2是平行的必要不充分條件，且C1C2）推論：如果兩條直線l1,l2的傾斜角為1,2則l1∥l212.兩條直線垂直：

兩條直線垂直的條件：①設(shè)兩條直線l1和l2的斜率分別為k1和k2，則有l(wèi)1l2k1k21這里的前提是l1,l2的斜率都存在.②l1l2k10，且l2的斜率不存在或k20，且l1的斜率不存在.（即A1B2A2B10是垂直的充要條件）

.點到直線的距離：

點到直線的距離公式：設(shè)點P(x0,y0)，直線l:AxByC0,P到l的距離為d，則有

dAx0By0CAB22.

注：

1.兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：|P1P2|(x2x1)2(y2y1)2.

特例：點P(x,y)到原點O的距離：|OP|x2y22.直線的傾斜角（0°≤＜180°）、斜率:ktan3.過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線的斜率公式：k當(dāng)x1y2y1.

x2x1(x1x2)

x2,y1y2（即直線和x軸垂直）時，直線的傾斜角＝90，沒有斜率王新敞

兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線l1:AxByC10,l2:AxByC20(C1C2)，它們之間的距離為d，則有dC1C2AB22.

第12頁共22頁7.關(guān)于點對稱和關(guān)于某直線對稱：

關(guān)于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.

關(guān)于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.

若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.點關(guān)于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上（方程①），過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對稱點.二、圓的方程.

如果曲線C的方程是f(x,y)=0，那么點P0(x0,y)線C上的充要條件是f(x0,y0)=02.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(xa)2(yb)2r2.特例：圓心在坐標(biāo)原點，半徑為r的圓的方程是：x2y2r2.3.圓的一般方程：x2y2DxEyF0.

DE當(dāng)DE4F0時，方程表示一個圓，其中圓心C,，半徑r2222D2E24F.

2當(dāng)D2E24F0時，方程表示一個點DE,.22當(dāng)D2E24F0時，方程無圖形（稱虛圓）.

xarcos注：①圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）.

ybrsin③圓的直徑或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0（用向量可征）.4.點和圓的位置關(guān)系：給定點M(x0,y0)及圓C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圓C內(nèi)(x0a)2(y0b)2r2

（x0a)2(y0b)2r2②M在圓C上③M在圓C外(x0a)2(y0b)2r25.直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)圓圓C：(xa)2(yb)2r2(r0)；直線l：AxByC0(A2B20)；圓心C(a,b)到直線l的距離d①dr時，l與C相切；

22xyD1xE1yF10相減為公切線方程.附：若兩圓相切，則22xyD2xE2yF20AaBbCAB22.

②dr時，l與C相交；

C1:x2y2D1xE1yF10附：公共弦方程：設(shè)

C2:x2y2D2xE2yF20第13頁共22頁有兩個交點，則其公共弦方程為(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.③dr時，l與C相離.

(xa)2(yb)2r2由代數(shù)特征判斷：方程組用代入法，得關(guān)于x（或y）的一元二次方程，

AxBxC0其判別式為，則：

0l與C相切；0l與C相交；0l與C相離.

一般方程若點(x0,y0)在圓上，則(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R2.特別地，過圓x2y2r2上一點P(x0,y0)的切線方程為x0xy0yr2.

圓錐曲線方程

一、橢圓方程.

1.橢圓方程的第一定義：

PF1PF22aF1F2方程為橢圓,PF1PF22aF1F2無軌跡,PF1PF22aF1F2以F1,F2為端點的線段

①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

i.ii.

中心在原點，焦點在x軸上：x2a2y2b2221(ab0).x2b2ii.中心在原點，焦點在y軸上：ya221(ab0).

y2b21的參數(shù)方程為

②一般方程：AxBy1(A0,B0).③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：

x2a2xacos（一象限應(yīng)是屬于0）.2ybsin①頂點：(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②軸：對稱軸：x軸，y軸；長軸長2a，短軸長2b.③

焦點：(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦距：F1F22c,cabca2.⑥離心率：e(0e1).yca22a2.⑤準(zhǔn)線：x或

c⑧通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo)：d二、雙曲線方程.

1.雙曲線的第一定義：

PF1PF22aF1F2方程為雙曲線PF1PF22aF1F2無軌跡2b2a2b2b2(c,)和(c,)

aa

PF1PF22aF1F2以F1,F2的一個端點的一條射線①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：

x2a2y2b21(a,b0),y2a2x2b21(a,b0).一般方程：

第14頁共22頁Ax2Cy21(AC0).

①i.焦點在x軸上：

xya2頂點：(a,0),(a,0)焦點：(c,0),(c,0)準(zhǔn)線方程x漸近線方程：0或

cabx2a2y2b20

2a2c②軸x,y為對稱軸，實軸長為2a,虛軸長為2b，焦距2c.③離心率e.④準(zhǔn)線距

ca2b2c（兩準(zhǔn)線的距離）；通徑.⑤參數(shù)關(guān)系c2a2b2,e.⑥焦點半徑公式：對于雙曲

aa線方程

x2a2y2b21（F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）

等軸雙曲線：雙曲線x2y2a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為yx，離心率e2.⑸共漸近線的雙曲線系方程：

x2a2y2b2(0)的漸近線方程為

22x2a2y2b20如果雙曲線的

▲yxxy漸近線為0時，它的雙曲線方程可設(shè)為22(0).

ababy4311例如：若雙曲線一條漸近線為yx且過p(3,)，求雙曲線的方程？2221F2xx21x2y22解：令雙曲線的方程為：y(0)，代入(3,)得1.8242F153⑹直線與雙曲線的位置關(guān)系：

3區(qū)域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；

區(qū)域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；

區(qū)域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.

小結(jié)：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.

（2）若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入法與漸“”近線求交和兩根之和與兩根之積同號.三、拋物線方程.

3.設(shè)p0，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：圖形y22px▲y22px▲x22pyy▲x22py▲yyyxOxOxOOx焦點F(p,0)2F(p,0)2F(0,p)2F(0,p)2第15頁共22頁準(zhǔn)線范圍對稱軸頂點離心率焦點xp2xp2yp2yp2x0,yRx0,yRxR,y0xR,y0x軸y軸（0，0）e1PFpx12PFpx12PFpy12PFpy122②y22px(p0)則焦點半徑PFxP;x22py(p0)則焦點半徑為PFyP.

2③通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.

x2pt2x2pt④y2px（或x2py）的參數(shù)方程為（或）（t為參數(shù)）.2y2pty2pt22四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義..

：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)定義橢圓1．到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（00)2abxacosybsin(參數(shù)為離心角）─axa，─byb原點O（0，0）(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bF1(c,0),F2(─c,0)22xasecybtan(參數(shù)為離心角）|x|a，yR原點O（0，0）(a,0),(─a,0)x軸，y軸;實軸長2a,虛軸長2b.F1(c,0),F2(─c,0)22x2pt2y2pt(t為參數(shù))x0(0,0)x軸pF(,0)2e=12c（c=ab）2c（c=ab）ec(0e1)aec(e1)a第16頁共22頁準(zhǔn)線a2x=ca2x=cy=±xp2漸近線焦半徑通徑bxaraex2b2aa2cr(exa)2b2aa2crx2pPp2焦參數(shù)立體幾何

平面.

1.經(jīng)過不在同一條直線上的三點確定一個面.

注：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內(nèi).

2.兩個平面可將平面分成3或4部分.（①兩個平面平行，②兩個平面相交）

3.過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面.（①三條直線在一個平面內(nèi)平行，②三條直線不在一個平面內(nèi)平行）一、空間直線.

1.空間直線位置分三種：相交、平行、異面.相交直線共面有反且有一個公共點；平行直線共面沒有公共點；異面直線不同在任一平面內(nèi)[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（）（可能兩條直線平行，也可能是點和直線等）

②直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交

③若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi).④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.

⑥在同一平面內(nèi)的射影長相等，則斜線長相等.（）（并非是從平面外一點向這個平面所．．引的垂線段和斜線段）

⑦a,b是夾在兩平行平面間的線段，若ab，則a,b的位置關(guān)系為相交或平行或異面.2.異面直線判定定理：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）

3.平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

4.等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等（如下圖）.（二面角的取值范圍0,180）

121（直線與直線所成角0,90）

2（斜線與平面成角0,90）方向相同方向不相同（直線與平面所成角0,90）

（向量與向量所成角[0,180])

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.

第17頁共22頁二、直線與平面平行、直線與平面垂直.

1.空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).

2.直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行，線面平行”）

[注]：①直線a與平面內(nèi)一條直線平行，則a∥.（）（平面外一條直線）②直線a與平面內(nèi)一條直線相交，則a與平面相交.（）（平面外一條直線）③若直線a與平面平行，則內(nèi)必存在無數(shù)條直線與a平行.（√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）

④兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面.（）（可能在此平面內(nèi)）

⑤平行于同一直線的兩個平面平行.（）（兩個平面可能相交）

⑥平行于同一個平面的兩直線平行.（）（兩直線可能相交或者異面）⑦直線l與平面、所成角相等，則∥.（）（、可能相交）

3.直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.

推論：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.[注]：①垂直于同一平面的兩個平面平行.（）（可能相交，垂直于同一條直線的兩個平．．．．．．．．．面平行）

②垂直于同一直線的兩個平面平行.（√）（一條直線垂直于平行的一個平面，必垂直于另一個平面）

③垂直于同一平面的兩條直線平行.（√）三、平面平行與平面垂直.

1.空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行.

2.平面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行.（“線面平行，面面平行”）

推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.[注]：一平面間的任一直線平行于另一平面.

3.兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）

4.兩個平面垂直性質(zhì)判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.兩個平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面垂直，面面垂直”）

注：如果兩個二面角的平面對應(yīng)平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關(guān)系.

5.兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線

P也垂直于另一個平面.

推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.BMA證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于l1,l2，

O因為PM,OA,PM,OB則PMOA,PMOB.θ五、

空間幾何體

.異面直線所成角的求法：

（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；

（2）補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方

第18頁共22頁體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；

.直線與平面所成的角（立體幾何中的計算可參考空間向量計算）

.二面角的求法

（1）定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；

特別:對于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。.空間距離的求法

（）求點到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解；

求點到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質(zhì)來作，因此，確定已知面的垂面是關(guān)鍵；二是不作出公垂線，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解；正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；

柱體的體積公式：柱體（棱柱、圓柱）的體積公式是V柱體=Sh.其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.

.直棱柱的側(cè)面積和全面積

S直棱柱側(cè)=c(c表示底面周長，表示側(cè)棱長)棱錐的體積:V棱錐=

S棱柱全=S底+S側(cè)

1Sh，其中S是棱錐的底面積，h是棱錐的高。3432.球的體積公式V=R3，表面積公式S4R；

概率知識要點

1.概率：隨機事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.

2.等可能事件的概率：如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有年n個，且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能

1性都相等，那么，每一個基本事件的概率都是，如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那

n么事件A的概率P(A)m.n3.①互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).

②對立事件：兩個事件必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件.例如：從1～52張撲克牌中任．．．．．．．．．．．．．．．

取一張抽到—紅桃‖與抽到—黑桃‖互為互斥事件，因為其中一個不可能同時發(fā)生，但又不能保證其中一個必然發(fā)生，故不是對立事件.而抽到—紅色牌‖與抽到黑色牌—互為對立事件，因為

互斥其中一個必發(fā)生.

對立注意：i.對立事件的概率和等于1：P(A)P(A)P(AA)1.

ii.互為對立的兩個事件一定互斥，但互斥不一定是對立事件.

③相互獨立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.如果兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(AB)=P(A)P(B).由此，當(dāng)兩個事件同時發(fā)生的概率P（AB）等于這兩個事件發(fā)生概率之和，這時我們也可稱這兩個事件為獨立事件.例如：從一副撲克牌（52張）中任抽一張設(shè)A：—抽到老K‖；B：—抽到紅牌‖則A應(yīng)與B互為獨立事件[看上去A與B有關(guān)系很有

第19頁共22頁可能不是獨立事件，但P(A)41,P(B)261,P(A)P(B)1.又事件AB表示—既抽到老

521352226K對抽到紅牌‖即—抽到紅桃老K或方塊老K‖有P(AB)21，因此有P(A)P(B)P(AB).

5226推廣：若事件A1,A2,,An相互獨立，則P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).

注意：i.一般地，如果事件A與B相互獨立，那么A與B,A與B，A與B也都相互獨立.ii.必然事件與任何事件都是相互獨立的.

iii.獨立事件是對任意多個事件來講，而互斥事件是對同一實驗來講的多個事件，且這多個事件不能同時發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨立事件.

回歸分析和獨立性檢驗

第一步：提出假設(shè)檢驗問題H0：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系H1：吸煙與患肺癌有關(guān)系

n(adbc)2第二步：選擇檢驗的指標(biāo)K（它越小，原假設(shè)“H0：吸

(ab)(cd)(ac)(bd)煙與患肺癌沒有關(guān)系”成立的可能性越大；它越大，備擇假設(shè)“H1：吸煙與患肺癌有關(guān)系”

2成立的可能性越大.

nxiyinxyi1bn回歸直線方程的求法：xi2n(x)2i1aybx導(dǎo)數(shù)

1.導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）的定義：設(shè)x0是函數(shù)yf(x)定義域的一點，如果自變量x在x0處

有增量x，則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)稱為函數(shù)yf(x)在點x0到x0x之間的平均變化率；如果極限xxf(x0x)f(x0)y存在，則稱函數(shù)yf(x)在點x0處可導(dǎo)，并把這個極限叫做limx0xx0xlim記作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limyf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，

f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x注x是增量，我們也稱為—改變量‖，因為x可正，可負，但不為零.

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)yf(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為

yy0f"(x)(xx0).

3.求導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

第20頁共22頁(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c為常數(shù)）

vu"v"uu(v0)2vv"注：u,v必須是可導(dǎo)函數(shù).

4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個中間變量的情形.

5.函數(shù)單調(diào)性：

函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f"(x)＞0，則yf(x)為增函數(shù)；如果f"(x)＜0，則yf(x)為減函數(shù).常數(shù)的判定方法；

如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f"(x)=0，則yf(x)為常數(shù).

零點定理

零點定理：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)0.那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點，即至少有一點（a＜＜b）使f()0.

注：①f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）遞減的充分非必要條件.

②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.6.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值，極小值同理）

當(dāng)函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時，

①如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＞0，右側(cè)f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＜0，右側(cè)f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是f"(x)=0.此外，函數(shù)不

①

可導(dǎo)的點也可能是函數(shù)的極值點.當(dāng)然，極值是一個局部概念，極值點的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值小（函數(shù)在某一點附近的點不同）.

②

注①：若點x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點，則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對于可導(dǎo)函數(shù)，其一點x0是極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是極值點.

②例如：函數(shù)yf(x)|x|，在點x0處不可導(dǎo)，但點x0是函數(shù)的極小值點.

第21頁共22頁8.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較.

注：函數(shù)的極值點一定有意義.9.幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

I.C"0（C為常數(shù)）(sinx)cosx

"(xn)"nxn1（nR）(cosx)"sinx

II.(lnx)"11(logax)"logaexx(ex)"ex(ax)"axlna

復(fù)數(shù)

1.復(fù)數(shù)的單位為i，它的平方等于－1，即i21.常用的結(jié)論：

i21,i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1

inin1in2in30,(nZ)

(1i)22i,

1i1ii,i1i1i第22頁共22頁

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