高一數(shù)學(xué)必修二各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
斜率
時(shí),斜率不存在.ktan22.
y2y1(x2x1)x2x1.
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(xa)2圓心
(yb)r222(圓心
kO0,0,半徑長(zhǎng)為
r的圓的方程xAa,b,半徑長(zhǎng)為
r)
y2r2。
兩直線的位置關(guān)系:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2,點(diǎn),將M帶入圓的標(biāo)準(zhǔn)
(1)l1∥l2k1k2且b1b2
(2)l1l2k1k21
(3)
l1與
l2重合
k且
1k2b
1b2直線方程的形式:點(diǎn)斜式:yy0kxx0(定點(diǎn),斜率存在)
斜截式:ykxb(斜率存在,在y軸上的截距)
兩點(diǎn)式:
yy(兩點(diǎn))
1xyx1(y2y1,x2x1)2y1x2x1一般式:xyC0A2B20截距式:
xxy(在
軸上的截距,在
y軸上的截距)
ab113、直線的交點(diǎn)坐標(biāo):設(shè)
l1:A1xB1yc10,l2:A2xB2yc20,則:
l與;
1l相交
2A1B1A2B2
l1∥l2
;A1B1C1A2B2C2
l與重合
1l2.
A1AB1C12B2C2兩點(diǎn)P,1(x1,y1)P2(x2,y間的距離公式2)PP12(x2x1)2(y2y1)2原點(diǎn)
0,0與任一點(diǎn)x,y的距離OPx2y2點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:xyC0的距離
0dAx0By0CA2B2點(diǎn)P0(x0,y到直線0)l:xC0的距離
dAx0CA點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:yC0的距離
dBy0CB點(diǎn)
0,0到直線l:xyC0的距離
dCA2B2兩條平行直線xyC10與xyC20間的距離dC1C2A2B2過直線l1:A1xB1yc10與l2:A2xB2yc20交點(diǎn)的直線方程為
(A1xB1yC1)(A2xB2yc2)0R
與直線l:xyC0平行的直線方程為xyD0CD
與直線l:xyC0垂直的直線方程為xyD0
中心對(duì)稱:設(shè)點(diǎn)
P(xE(xx
1,y1),2,y2)關(guān)于點(diǎn)M(x0,y0)對(duì)稱,則x01x22yy1y202
M(x0,y0)方程,結(jié)果>r2在外,0、=0、
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高一數(shù)學(xué)必修1各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
第一章集合與函數(shù)概念
一、集合有關(guān)概念1.集合的含義
2.集合的中元素的三個(gè)特性:
(1)元素的確定性如:世界上最高的山
(2)元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合3.集合的表示:{}如:{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,
北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。注意:常用數(shù)集及其記法:
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N
正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R
1)列舉法:{a,b,c}2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合
的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
3)語(yǔ)言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4)Venn圖:
4、集合的分類:
(1)有限集含有有限個(gè)元素的集合(2)無限集含有無限個(gè)元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}
二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集
注意:AB有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2.“相等”關(guān)系:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)
實(shí)例:設(shè)A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即:①任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集,記作ABA)
③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時(shí)BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ
規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。有n個(gè)元素的集合,含有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)真子集三、集合的運(yùn)算運(yùn)算交集并集補(bǔ)集類型定由所有屬于A且屬義于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作:ABB(或
設(shè)S是一個(gè)集合,A是S的一個(gè)子集,由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集)金太陽(yáng)新課標(biāo)資源網(wǎng)wx.jtyjy.com金太陽(yáng)新課標(biāo)資源網(wǎng)wx.jtyjy.com
作‘A交B’),即(讀作‘A并B’),記作CSA,即AB={x|xA,且即AB={x|xA,xB}.或xB}).CSA={x|xS,且xA}韋恩ABABS圖A示圖1圖2性AA=AAA=A(CuA)(CuB)AΦ=ΦA(chǔ)Φ=AAAA=Cu(AB=BB=BAB)ABAABA(CuA)(CuB)質(zhì)ABBABB=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ.
例題:
1.下列四組對(duì)象,能構(gòu)成集合的是()
A某班所有高個(gè)子的學(xué)生B著名的藝術(shù)家C一切很大的書D倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)2.集合{a,b,c}的真子集共有個(gè)
3.若集合M={y|y=x2
-2x+1,xR},N={x|x≥0},則M與N的關(guān)系是.4.設(shè)集合A=x1x2,B=xxa,若
AB,則a的取值范圍是5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實(shí)驗(yàn),已知物理實(shí)驗(yàn)做得正確得有人,化學(xué)實(shí)驗(yàn)做得正確得有31人,
兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)得有4人,則這兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的有人。
6.用描述法表示圖中陰影部分的點(diǎn)(含邊界上的點(diǎn))組成的集合M=.
7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2
-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值
二、函數(shù)的有關(guān)概念
1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.注意:
1.定義域:能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是:(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;
(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.
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(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零,
(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.
相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)(見課本21頁(yè)相關(guān)例2)2.值域:先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法(3)代換法
3.函數(shù)圖象知識(shí)歸納
(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y),均在C上.(2)畫法A、描點(diǎn)法:B、圖象變換法
常用變換方法有三種1)平移變換2)伸縮變換3)對(duì)稱變換4.區(qū)間的概念
(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間(2)無窮區(qū)間
(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.5.映射
一般地,設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f(對(duì)應(yīng)關(guān)系):A(原象)B(象)”
對(duì)于映射f:A→B來說,則應(yīng)滿足:
(1)集合A中的每一個(gè)元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(2)集合A中不同的元素,在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);(3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。6.分段函數(shù)
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況.
(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.補(bǔ)充:復(fù)合函數(shù)
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
二.函數(shù)的性質(zhì)
1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))(1)增函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1金太陽(yáng)新課標(biāo)資源網(wǎng)wx.jtyjy.com
>f(x2),那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)
減區(qū)間.
注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);(2)圖象的特點(diǎn)
如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法:
1任取x1,x2∈D,且x1金太陽(yáng)新課標(biāo)資源網(wǎng)wx.jtyjy.com
3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲担骸
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);例題:
1.求下列函數(shù)的定義域:⑴yx2x15x332⑵y1(x1x12)2.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1],則函數(shù)f(x2)的定義域?yàn)開_
3.若函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)閇2,3],則函數(shù)f(2x1)的定義域是4.函數(shù)
x2(x1)2,若f(x)3,則xf(x)x(1x2)2x(x2)2=
5.求下列函數(shù)的值域:
⑴yx22x3(xR)⑵yx2x3x[1,2]
(3)yx12x(4)y6.已知函數(shù)
f(x1)x4x,求函數(shù)
2x4x52f(x),f(2x1)的解析式
7.已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)f(x)3x4,則f(x)=。8.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x[0,)時(shí),
f(x)x(13x),則當(dāng)x(,0)時(shí)
f(x)=
f(x)在R上的解析式為9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:⑴yx22x3⑵y2x2x3⑶yx6x1
210.判斷函數(shù)yx31的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.
211.設(shè)函數(shù)f(x)1x判斷它的奇偶性并且求證:f(1)f(x).
21xx
第二章基本初等函數(shù)
一、指數(shù)函數(shù)
(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算
n1.根式的概念:一般地,如果xa,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,
*且n∈N.
n負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作00。
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),anna,當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),ann(a0)a|a|
a(a0)2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:
manna(a0,m,nN,n1)m*,
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amn1mn1na0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義3.實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
am(a0,m,nN,n1)
*(1)aaa(a0,r,sR);(2)(a)a
rrsrsrsrrrs
(a0,r,sR);
(3)(ab)aa(a0,r,sR).(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù)yax(a0,且a1)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域?yàn)镽.
注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10金太陽(yáng)新課標(biāo)資源網(wǎng)wx.jtyjy.com
兩個(gè)重要對(duì)數(shù):
1常用對(duì)數(shù):以10為底的對(duì)數(shù)lgN;○
2自然對(duì)數(shù):以無理數(shù)e2.71828為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)lnN.○
指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化
冪值真數(shù)
ba=NlogaN=b
底數(shù)指數(shù)對(duì)數(shù)
(二)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
如果a0,且a1,M0,N0,那么:1loga(MN)logaM+logaN;○
2log○3log○
MaNMnlogaM-logaaN;
anlogM(nR).
注意:換底公式
logcblogab(a0,且a1;c0,且c1;b0).
logca利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論(1)logambnnmlogab;(2)logab1logba.
(二)對(duì)數(shù)函數(shù)
1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù)ylogax(a0,且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其
中x是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞).注意:○1對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,注意辨別。如:
y2log2x,ylogx5都不是對(duì)數(shù)函數(shù),而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù).
52對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制:(a0,且a1).○
2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):a>10金太陽(yáng)新課標(biāo)資源網(wǎng)wx.jtyjy.com
1、冪函數(shù)定義:一般地,形如yx(aR)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中為常數(shù).
2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.
(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義并且圖象都過點(diǎn)(1,1);
0時(shí),(2)冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn),并且在區(qū)間[0,)上是增函數(shù).特別地,當(dāng)1時(shí),冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)01時(shí),冪函數(shù)的圖象上凸;
(3)0時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí),圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸,當(dāng)x趨于時(shí),圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.例題:1.已知a>0,a
0,函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是()
2.計(jì)算:①
loglog26413
3;②2784log23=;25113log5272log52=;
27③0.064()[(2)]0343160.750.012=
3.函數(shù)y=log1(2x2-3x+1)的遞減區(qū)間為
24.若函數(shù)f(x)logax(0a1)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,則a=5.已知f(x)log
第三章函數(shù)的應(yīng)用
一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)
1、函數(shù)零點(diǎn)的概念:對(duì)于函數(shù)yf(x)(xD),把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點(diǎn)。
2、函數(shù)零點(diǎn)的意義:函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
即:方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn).
3、函數(shù)零點(diǎn)的求法:
1(代數(shù)法)求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根;○
2(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)yf(x)的○
圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).
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1xa1x(a0且a1),(1)求f(x)的定義域(2)求使f(x)0的x的取值范圍
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4、二次函數(shù)的零點(diǎn):
二次函數(shù)yax2bxc(a0).
(1)△>0,方程ax2bxc0有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(2)△=0,方程ax2bxc0有兩相等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).
(3)△<0,方程ax2bxc0無實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn),二次函數(shù)無零點(diǎn).5.函數(shù)的模型
檢驗(yàn)符合實(shí)際用函數(shù)模型解釋實(shí)際問題畫散點(diǎn)圖收集數(shù)據(jù)不符合實(shí)際選擇函數(shù)模型金太陽(yáng)新課標(biāo)資源網(wǎng)
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