復變函數復習要點

目錄

第一章復數與復變函數………………………………1第二章解析函數………………………………………3第三章復變函數的積分………………………………5第四章解析函數的級數表示…………………………6第五章留數及其應用…………………………………8第八章傅里葉變換……………………………………9第九章拉普拉斯變換………………………………10

第一章復數與復變函數

1．復數的基本概念：復數：，稱為復數單位，并規(guī)定，與是任意實數，依次稱為的實部與虛部，分別表示為。

2．共軛復數：設是一個復數，稱為的共軛復數，共軛復數的性質：①②③④⑤⑥

3．復數的四則運算：設，是兩個復數，則：①加（減）法：②乘法：③除法：

4．復數的模與輻角：如果是一個不為零的復數，我們把它所對應向量的長度叫做的模，記作；把它所對應向量的方向角叫做輻角。用記號Arg作為的輻角的一般表示，再用arg表示的輻角中介于與之間（包括）的那一個角，并把它稱為的主輻角，即

④，，⑤，

6．復數的三角表示：設是一個不為零的復數，是的模，是的任意一個輻角，則：，一個復數的三角表示不是唯一的，因為其中的輻角有無窮多種選擇，如果有兩個三角表示相等：=，則可推出，，其中為某個整數。7．用復數的三角表示作乘除法：乘法：除法：

8．復數的乘方與開方：設是一個復數，是一個正整數，則：①

②設，則復數開方有：

9．平面曲線：以坐標原點為中心，以為半徑的圓周，寫成復數的形式為：

10．復變函數：設是復平面上的一個點集，如果對于中任意的一點，有確定的（一個或多個）復數和它對應，則說在上定義了一個復變函數，記作。11．復變函數的極限與連續(xù)性：①設函數，則的充要條件是，

②函數在處連續(xù)的充要條件是與在處連續(xù)

12．在有界閉區(qū)域上的復連續(xù)函數，具有下列幾個性質：①有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數是有界的

②有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數，在上其模至少取得最大值與最小值各一次③有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數，在上是一致連續(xù)的

第二章解析函數

1．復變函數的導數：

2．解析函數：如果在及的領域內處處可導,則稱在處解析;如果在區(qū)域內每一點解析,則稱在內解析,或說是內的解析函數;如果在處不解析,則稱為的奇點。

３．函數在一點處解析，則一定在該點可導，但反過來不一定成立；函數在區(qū)域內解析與在區(qū)域內處處可導是等價的。４．解析函數的求導法則：

（１）四則運算法則：設和都是區(qū)域上的解析函數，則：①②③

（２）復合函數的求導法則：設，則有：

５．函數解析的充分必要條件：函數在處可導的充分必要條件是在點出可微，且滿足柯西－黎曼方程（Ｃ－Ｒ方程）：

６．調和函數：如果二元實函數在區(qū)域內有二階連續(xù)偏導數，且滿足二維拉普拉斯方程，則稱為區(qū)域內的調和函數。

７．定理：設函數在區(qū)域內解析，則的實部和虛部都是區(qū)域內得調和函數。８．對于函數，其中的和的求法：

９．初等函數：

（１）指數函數：對于復數，稱為指數函數。歐拉公式：性質：①

②設，，則

③是以為周期的函數，即：

④復變量指數函數當趨向于時沒有極限（２）對數函數：，令，則：性質：①運算性質：，

②解析性：的各分支在除去原點及負實軸的平面內也解析，且有相同的導數值。（３）冪函數：（為復常數，）

性質：①當為正整數時，，是一個單值函數②當為零時，

③當為有理數（與為互質的整數，）時，④當為無理數或復數時，

（４）三角函數：函數與分別稱為復變量的余弦函數與正弦函數，記作與，即：＝；＝

性質：①與均為單值函數

②與均為以為周期的周期函數③為偶函數，為奇函數④；⑤

⑥與在復平面上均為解析函數，且

第三章復變函數的積分

1．定理：設在光滑曲線上連續(xù)，則它的積分：

2．設曲線的參數方程為，則解析函數的積分就變成：3．圓的參數方程：，則積分4．復積分的基本性質:①②③

④,其中

5．柯西積分公式：設在簡單閉曲線所包圍的區(qū)域內解析，在上連續(xù)，是內任一點，則

6．解析函數的高階導數：

第四章解析函數的級數表示

1．定理：設，，則的充分必要條件是，

2．復數項級數：，部分和序列：如果極限存在，則稱級數是收斂的，稱為級數的和；如果沒有極限，級數發(fā)散

3．定理：級數收斂的充分必要條件是級數和級數都收斂4．定理：級數收斂的必要條件是：；若，則級數必然發(fā)散5．定理：如果收斂，則也收斂6．復變函數項級數：7．冪級數：，或者：

8．定理：若冪級數在處收斂，那么該級數對任意滿足的都絕對收斂；在處發(fā)散，則該級數對任意滿足的都發(fā)散

9．定理：對冪級數，如果下列條件之一成立：（1）（2），那么級數收斂。

收斂半徑：

10．冪級數和函數性質：若冪級數的和函數在收斂圓內解析，則在收斂圓內可逐次求導和逐次積分，即：

11．泰勒級數：設函數在圓盤內解析，則在內的泰勒級數展式為：12．邁克勞林展開式：在泰勒級數的基礎上取，則有：13．基本泰勒展式：①②

14．洛朗級數（含有負指數冪）：（①式）它可以分為：（②式）和（③式）

性質：若②式的收斂半徑為，則當時，②式絕對收斂；若③式的收斂半徑為，則當時，③式絕對收斂，①式的收斂性如下：

（1）若，那么級數②③同時在圓環(huán)內收斂，從而級數①在該圓環(huán)內收斂；（2）若，級數①處處發(fā)散；

（3）若，則級數可能收斂，也可能發(fā)散15．定理：設函數在圓環(huán)上解析，則在內有：

，其中

第五章留數及其應用

1．孤立奇點：在處不解析，但在的某一個去心鄰域內處處解析，則稱為的孤立奇點2．孤立奇點的分類：

（1）可去奇點：當時，有，則稱為函數的可去奇點，此時洛朗展式為

（2）極點：對于分子式的函數，若該函數的分母的階導數，使得將孤立奇點代入階導數后不為零，則稱是該函數的階極點

（3）本性奇點：若得洛朗展式有無限個，，則稱為函數的本性奇點3．定理：設在內解析，則是的①可去奇點，②極點③本性奇點的充要條件是：①；②；③不存在也不為無窮大

4．留數：設在內解析，而是的孤立奇點，作圓，稱為函數在處的留數，記作即：

5．留數的求法：

（1）當為的可去奇點時，

（2）當為的本性奇點時，只能通過的洛朗展式來求（3）當孤立奇點為的極點時，有：

①如果為的簡單極點（一階極點）時，②若，其中，則有：③如果為的階極點，則：

6．留數定理：設有有限個孤立奇點：，則：

第八章傅里葉變換

1．定理：設是以為周期的實值函數，且在上滿足狄氏條件：①連續(xù)或只有有限個第一類剪短點；②只有有限個極值點，則有：其中

2．傅氏積分定理：如果在上的任一有限區(qū)間滿足狄氏條件，且在上絕對可積（即），則有：

3.①傅里葉變換：②傅里葉逆變換：

4．單位沖擊函數（函數）：定義①：定義②5．單位沖擊函數的性質：（1）對任意連續(xù)函數有：①；②

（2）函數為偶函數，即

（3）相似性質：設為實常數，則有：

（4）函數是單位階躍函數的導數。單位階躍函數：6．函數的傅氏變換：

第九章拉普拉斯變換

1．拉普拉斯變換：設函數是定義在上的實值函數，如果對于復參數，積分收斂，則稱為的拉普拉斯變換2．若，則

3．拉普拉斯變換存在定理：設函數在上滿足下列兩個條件：①在任意有限區(qū)間上分段連續(xù)；②存在常數，使得則函數的拉普拉斯變換存在

4．拉普拉斯逆變換（反演積分公式）：，其中

5．利用留數計算反演積分：若是函數的所有奇點，且當時，有，則有：

擴展閱讀：【工程數學】復變函數復習重點

復變函數復習重點

(一)復數的概念

1.復數的概念：zxiy，x,y是實數,xRez,yImz.i21.

注：一般兩個復數不比較大小，但其模（為實數）有大小.2.復數的表示1）模：

zxy22

；

2）幅角：在z0時，矢量與x軸正向的夾角，記為Argz（多值函數）；

主值argz是位于(,]中的幅角。

3）argz與arctan之間的關系如下：

xy當x0,

argzarctanyx；

yy0,argzarctanx當x0,y0,argzarctanyx；

4）三角表示：z5）指數表示：zzcosisinzei，其中argz。

argz；注：中間一定是“+”

，其中(二)復數的運算1.加減法：若z1x1iy1,z22.乘除法：1）若z1x1iy1,z2x2iy2x2iy2，則z1z2x1x2iy1y2

，則

z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2；

z1z2x1iy1x2iy2ix1iy1x2iy2x2iy2x2iy2i2x1x2y1y2xy2222iy1x2y2x1xyz1z22222。

i122）若z1

z1e1,z2z2e,則z1z2z1z2ei12；

z1z2e

3.乘冪與方根1）若z2）若z1nz(cosisin)zez(cosisin)zei，則zn，則

z(cosnisinn)zennin。

izzn2k2kcosisinnn(k0,1,2n1)（有n個相異的值）

（三）復變函數

1．復變函數：wfz，在幾何上可以看作把z平面上的一個點集D變到w平

面上的一個點集G的映射.

2．復初等函數指數函數：ezexcosyisiny，在z平面處處可導，處處解析；且ezez。

注：ez是以2i為周期的周期函數。（注意與實函數不同）

對數函數：Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函數）；

主值：lnzlnziargz。（單值函數）

Lnz的每一個主值分支lnz在除去原點及負實軸的z平面內處處解析，且lnz1z；

注：負復數也有對數存在。（與實函數不同）

乘冪與冪函數：abebLna(a0)；zebbLnz(z0)

注：在除去原點及負實軸的z平面內處處解析，且zbbzb1。

三角函數：sinzsinz,cosz在zee2iiziz,coszee2iziz,tgzsinzcosz,ctgzcoszsinz

平面內解析，且sinzcosz,coszsinz

注：有界性sinz1,cosz1不再成立；（與實函數不同）

雙曲函數shzshz

ee2zz,chzee2zz；

奇函數，chz是偶函數。shz,chz在z平面內解析shzchz,chzshz。

（四）解析函數的概念1．復變函數的導數1）點可導：fz0=limfz0zfz0z；

z02）區(qū)域可導：fz在區(qū)域內點點可導。2．解析函數的概念

1）點解析：fz在z0及其z0的鄰域內可導，稱fz在z0點解析；2）區(qū)域解析：fz在區(qū)域內每一點解析，稱fz在區(qū)域內解析；3）若f(z)在z0點不解析，稱z0為fz的奇點；

3．解析函數的運算法則：解析函數的和、差、積、商（除分母為零的點）

仍為解析函數；解析函數的復合函數仍為解析函數；

（五）函數可導與解析的充要條件

1．函數可導的充要條件：fzux,yivx,y在zxiy可導

ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y處滿足CD條件：

,uyvxuxvy此時，有fzuxivx。

2．函數解析的充要條件：fzux,yivx,y在區(qū)域內解析

ux,yux和vx,y在x,y在

uyuxiD內可微，且滿足

CD條件：

v,yvx；

此時fzvx。

注意：若ux,y,vx,y在區(qū)域D具有一階連續(xù)偏導數，則ux,y,vx,y在區(qū)

域D內是可微的。因此在使用充要條件證明時，只要能說明u,v具有一階連續(xù)偏導且滿足CR條件時，函數f(z)uiv一定是可導或解析的。

3．函數可導與解析的判別方法

1）利用定義（題目要求用定義，如第二章習題1）

2）利用充要條件（函數以fzux,yivx,y形式給出，如第二章習題2）3）利用可導或解析函數的四則運算定理。（函數fz是以z的形式給出，如第二章習題3）

（六）復變函數積分的概念與性質

1．

復變函數積分的概念：cfzdzlimfkzk，c是光滑曲線。

nk1n注：復變函數的積分實際是復平面上的線積分。

2．復變函數積分的性質

1）fzdzfzdz（c1與c的方向相反）；

cc12）[fzgz]dzfzdzgzdz,,是常數；ccc3）若曲線c由c1與c2連接而成，則fzdzcc1fzdzcf2zdz。

3．復變函數積分的一般計算法

1）化為線積分：fzdzccudxvdyivdxudy；（常用于理論證明）

c2）參數方法：設曲線c：zzt(t)，其中對應曲線c的起點，對應曲線c的終點，則fzdzcf[zt]z(t)dt。

（七）關于復變函數積分的重要定理與結論1．柯西古薩基本定理：

設fz在單連域B內解析，c為B內任一閉曲線，則fzdz0

c2．復合閉路定理：設fz在多連域D內解析，c為D內任意一條簡單閉

曲線，c1,c2,cn是c內的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以

c1,c2,cn為邊界的區(qū)域全含于D

內，則

①fzdzcfzdz,其中c與ck1cknk均取正向；

1②，其中由及fzdz0cc(k1,2,n)所組成的復合閉路。3．閉路變形原理：一個在區(qū)域D內的解析函數fz沿閉曲線c的積分，

不因c在D內作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中c不經過使fz不解析的奇點。

4．解析函數沿非閉曲線的積分：設fz在單連域B內解析，Gz為fz在B內的一個原函數，則z2z1fzdzGz2Gz1(z1,z2B)

說明：解析函數fz沿非閉曲線的積分與積分路徑無關，計算時只要求出原函數即可。

5.柯西積分公式：設fz在區(qū)域D內解析，c為D內任一正向簡單閉曲線，

c的內部完全屬于D，z0為c內任意一點，則fzczz0dz2ifz0

6．高階導數公式：解析函數fz的導數仍為解析函數，它的n階導數為

fzc(zz0)dzn12in!fnz0(n1,2)

其中c為fz的解析區(qū)域D內圍繞z0的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內部完全屬于D。

7．重要結論：

(za)c1n12i,dz0,n0n0。（c是包含a的任意正向簡單閉曲線）

8．復變函數積分的計算方法

1）若fz在區(qū)域D內處處不解析，用一般積分法cfzdz2）設fz在區(qū)域D內解析，

c是D內一條正向簡單閉曲線，則由柯西古薩定理，fzdz0

cf[zt]ztdt

c是D內的一條非閉曲線，z1,z2對應曲線c的起點和終點，則有

z2z1cfzdzfzdzFz2Fz1

3）設fz在區(qū)域D內不解析

fzdz2ifz0czz0曲線c內僅有一個奇點：fz2indzfz0c(zz)n1n!0（f(z)在c內解析）

曲線c內有多于一個奇點：fzdzcnfzdz（ck1ckni內只有一個奇點zk）

或：fzdz2iRes[f(z),zk]（留數基本定理）

ck1若被積函數不能表示成

fzn1(zzo)，則須改用第五章留數定理來計算。

（八）解析函數與調和函數的關系

1．調和函數的概念：若二元實函數(x,y)在D內有二階連續(xù)偏導數且滿足

x22y220，(x,y)為D內的調和函數。

2．解析函數與調和函數的關系

解析函數fzuiv的實部u與虛部v都是調和函數，并稱虛部v為實部u的共軛調和函數。

兩個調和函數u與v構成的函數f(z)uiv不一定是解析函數；但是若u,v如果滿足柯西黎曼方程，則uiv一定是解析函數。3．已知解析函數fz的實部或虛部，求解析函數fzuiv的方法。1）偏微分法：若已知實部uux,y，利用CR條件，得對

vv,xy；

vyux兩邊積分，得vuxdygx（*）

再對（*）式兩邊對x求偏導，得

uyvxuyvxudygx（**）xx由CR條件，

，得

udygx，可求出gx；xx代入（*）式，可求得虛部vxdygx。

uu,xu2）線積分法：若已知實部

dvvxdxvyudyyy，利用

CR條件可得

udx，故虛部為dyvxx,yx0,y0uydxuxdyc；

由于該積分與路徑無關，可選取簡單路徑（如折線）計算它，其中x0,y0與x,y是解析區(qū)域中的兩點。

3）不定積分法：若已知實部uux,y，根據解析函數的導數公式和CR條

件得知，fzuxivyuxiuy

將此式右端表示成z的函數Uz，由于fz仍為解析函數，fzUzdzc注：若已知虛部v也可用類似方法求出實部u.

（九）復數項級數1．復數列的極限

1）復數列{n}{anibn}（n1,2）收斂于復數limana,nabi的充要條件為

limbnb（同時成立）

n2）復數列{n}收斂實數列{an},{bn}同時收斂。

2．復數項級數

1）復數項級數n(nanibn)收斂的充要條件是級數an與bn同時收斂；

n0n0n02）級數收斂的必要條件是limn0。

n注：復數項級數的斂散性可以歸納為兩個實數項級數的斂散性問題的討論。

（十）冪級數的斂散性

1．冪級數的概念：表達式cn(zz0)或cnzn為冪級數。

nn0n02．冪級數的斂散性

1）冪級數的收斂定理阿貝爾定理(Abel)：

如果冪級數cnzn在z00處收斂，那么對滿足zz0的一切z，該數絕對收斂；

n0如果在z0處發(fā)散，那么對滿足zz0的一切z，級數必發(fā)散。2）冪級數的收斂域圓域

冪級數在收斂圓域內，絕對收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。比值法如果lim根值法limcn1cn0，則收斂半徑R11n；

ncn0，則收斂半徑R；

如果0，則R；說明在整個復平面上處處收斂；如果，則R0；說明僅在zz0或z0點收斂；

注：若冪級數有缺項時，不能直接套用公式求收斂半徑。（如cnz2n）

n03．冪級數的性質1）代數性質：

設anz,bnzn的收斂半徑分別為R1與R2，記RminR1,R2，

nn0n0nn則當zR時，(anbn)zanzbnzn（線性運算）

n0n0n0(anzn0nn)(bnz)n0(an0nb0an1b1a0bn)zn（乘積運算）

2）復合性質：設當析且gzr時，fann，當zn0R時，gz解

r，則當zR時，f[gz]an0n[gz]n。

3）分析運算性質：設冪級數anzn的收斂半徑為R0，則

n0其和函數fzan0nzn是收斂圓內的解析函數；

在收斂圓內可逐項求導，收斂半徑不變；且fzznan0znn1zR

在收斂圓內可逐項求積，收斂半徑不變；fzdz0ann1zn1zR

n0（十一）冪函數的泰勒展開1.泰勒展開：設函數fz在圓域

zz0R內解析，則在此圓域內fz可以

n展開成冪級數fzn0fnz0n!zz0；并且此展開式是唯一的。

注：若fz在z0解析，則fz在z0的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑

Rz0a；其中R為從z0到fz的距z0最近一個奇點a之間的距離。

2．常用函數在z01）e2）

z0的泰勒展開式

z2n01n!z1zn2!z33!znn!z

11zzn0n2n1zzzz1

3）sinzn0(1)n(2n1)!(1)nz2n1zz33!z4z55!(1)n(2n1)!n2nz2n1z

4）coszn0(2n)!z2n1z22!4!(1)(2n)!zz

3．解析函數展開成泰勒級數的方法1）直接法：直接求出cn1n!fnz0，于是fzcnzz0。

n0n2）間接法：利用已知函數的泰勒展開式及冪級數的代數運算、復合運算和逐項求導、逐項求積等方法將函數展開。（十二）冪函數的洛朗展開1.洛朗級數的概念：

ncnzz0n，含正冪項和負冪項。

2．洛朗展開定理：設函數fz在圓環(huán)域R1zz0R2內處處解析，c為圓環(huán)

域內繞z0的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環(huán)域內，有

fzncznz0","p":{"h":20.977,"w":5.00fzcm(zz0)mc1(zz0)c0c1(zz0)cm(zz0)m

（十四）孤立奇點的判別方法1．可去奇點：limfzc0常數；

zz02．極點：limfz

zz03．本性奇點：limfz不存在且不為。

zz04．零點與極點的關系

1）零點的概念：不恒為零的解析函數fz，如果能表示成fz(zz0)mz，其中z在z0解析，z00,m為正整數，稱z0為fz的m級零點；2）零點級數判別的充要條件：

fz0是fz的m級零點fnmz00,z00(n1,2,m1)

3）零點與極點的關系：z0是fz的m級零點z0是4）重要結論:

若za分別是z與z的m級與n級零點，則za是zz的mn級零點；當mn時，za是

zz1fz的m級極點；

的mn級零點；

當mn時，za是

zzzz的nm級極點；

當mn時，za是的可去奇點；

當mn時，za是zz的l級零點，lmin(m,n)當mn時，za是zz的l級零點，其中l(wèi)m(n)（十五）留數的概念

1．留數的定義：設z0為fz的孤立奇點，fz在z0的去心鄰域0zz0內解析，c為該域內包含z0的任一正向簡單閉曲線，則稱積分

-11-

fzdz為2ic，記作Res[fz,z0]fz在z0的留數（或殘留）2．留數的計算方法

12ifzdz

c若z0是fz的孤立奇點，則Res[fz,z]c1，其中c1為fz在z0的

0去心鄰域內洛朗展開式中(zz0)1的系數。

1）可去奇點處的留數：若z0是fz的可去奇點，則Res[fz,z]0

02）m級極點處的留數

法則I

若z0是fz的m級極點，則Res[fz,z]01(m1)!zz0dzlimdm1m1[(zz0)fmz]

特別地，若z0是fz的一級極點，則Res[fz,z]lim(zz0)fz

0zz0注：如果極點的實際級數比m低，上述規(guī)則仍然有效。法則II設fzPzQzPzQz，Pz,Qz在z0解析，Pz00,Qz00,Qz00，

Pz0Qz0則Res[,z0]

（十六）留數基本定理

設fz在區(qū)域D內除有限個孤立奇點z1,z2,zn外處處解析，c為D內包

圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，則cfzdz2iRes[fz,zn]

n1說明：留數定理把求沿簡單閉曲線積分的整體問題轉化為求被積函數fz在c內各孤立奇點處留數的局部問題。

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