0ay=ax+k圖象2a>0a0開口對稱性頂點k0ky=a(x-h)2圖象a>0a0開口對稱性頂點增減性h0hy=a(x-h)+k2a>0a0,k>0h>0,k0,kh0頂點是最低點左右平移y=ax2+k上下平移y=a(xh)2+k上下平移y=a(xh)2左右平移y" />
二次函數(shù)圖表總結(jié)
y=ax圖象2a>0ay=ax+k圖象2a>0a0開口對稱性頂點k0ky=a(x-h)2圖象a>0a0開口對稱性頂點增減性h0hy=a(x-h)+k2a>0a0,k>0h>0,k0,kh0頂點是最低點左右平移y=ax2+k
上下平移
y=a(xh)2+k
上下平移
y=a(xh)2左右平移
y=ax2
一般地,拋物線y=a(x-h)+k與y=ax2的形狀相同,位置不同。
2y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k
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二次函數(shù)單元總結(jié)
【知識歸納和總結(jié)】一、知識網(wǎng)絡
二次函數(shù)的定義yax2bxc(a0)yax2(a0)二次函數(shù)的圖像ya(xm)2k(a0)yax2bxc(a0)二次函數(shù)
二次函數(shù)的性質(zhì)開口方向、對稱軸、頂點坐標、增減性,二次函數(shù)與一元二次方程的關系二次函數(shù)的應用最大面積、利潤等二、知識要點分布
1.二次函數(shù)的定義:形如yax2bxc(a、b、c為常數(shù),a0)的函數(shù)叫二次函數(shù)。任何一個二次函數(shù)的表達式都可以化為yax2bxc的形式,這就是二次函數(shù)的一般形式。2.二次函數(shù)表達式的幾種形式:(1)y=ax2;(2)y=ax2+k;(3)y=a(x+h)2;(4)(5)y=ax2+bx+c(a0)。y=a(x+h)2+k;
3.二次函數(shù)表達式的形式及對稱軸、頂點坐標。
(1)一般式:yaxbxc(a、b、c為常數(shù),a0),其對稱軸為直線x=-2b,頂點2ab4ac-b2坐標為-,。2a4a(2)頂點式:y=a(x+h)+k(a、h、k為常數(shù),a0),其對稱軸為直線x=-h,頂點坐標為-h,k。
(3)交點式:y=ax-x1x-x2,其中a0,x1、x2是拋物線與x軸兩個交點的橫坐標,即一元二次方程ax-x1x-x2=0的兩個根。
4.二次函數(shù)圖像之間的平移關系
1向上(k>0)或向下(k0)或向下(k0)或向下(k0a對稱軸頂點坐標直線x=-b2a直線x=-b2ab4ac-b2-,2a4a當x-;當x-大;b4ac-b2-,2a4a當x-大;性質(zhì)增減性b時,y隨x的增大而減2ab時,y隨x的增大而增2ab時,y隨x的增大而增2ab時,y隨x的增大而減2a當x-;最值當x=-b時,y有最小值,2a當x=-b時,y有最大值,2a4ac-b2y最小值=4a","p":{"h":19.298,"w":9.111,"x":407.786,"y":455.644,"z":象而具體了。
7.拋物線的平移與解析式的變化。拋物線上最重要的點是它的頂點,最重要的線是它的對稱軸,拋物線的平移首先表現(xiàn)為對稱軸和頂點的平移。在拋物線y=ax-h+k中,令x-h=0易得對稱軸為直線x=h,拋物線向右(左)平移則對稱軸也向右(左)平移,h的值將隨之增大(減小),反之也成立;拋物線上(下)平移,對稱軸不會改變,即頂點的橫坐標h的值不變,但頂點的縱坐標k的值將隨之增大(減。,反之也成立。拋物線的平移不會改變拋物線的形狀,即a不變。在拋物線y=ax2+bx+c中研究平移是很不方便的,要先將y=ax2+bx+c的形式轉(zhuǎn)化成
2y=a(x-h)2+k再研究。
拋物線平移的題型一般有以下幾種:
(1)已知拋物線的解析式,求平移后拋物線的解析式。
例1將拋物線y=-3(x-1)2-3先向左平移2個單位,再向上平移5個單位,所得拋物線的解析式為。
(2)已知平移后拋物線是解析式,求原拋物線的解析式。
例2將拋物線y=a(x-h)2+k先向左平移5個單位,再向下平移4個單位后所得拋物線為
y=-12x+2-3,則原拋物線的解析式為。222(3)已知平移前后拋物線的解析式,求平移的方式。
例3將拋物線y=-2x-2-5經(jīng)過怎樣的平移,可得拋物線y=-2x+4+3?
8、圖像共存問題的解法
解決此類問題的關鍵是分析兩函數(shù)的解析式有什么共同的特點,從這些特點入手,在利用拋物線的頂點位置和開口方向、雙曲線所在象限、直線所在象限加以判斷,決定取舍。例函數(shù)y=ax與函數(shù)y=ax+a在同一直角坐標系中的圖像大致為()
A、B、C、D、
2
9、拋物線的對稱性的妙用。
二次函數(shù)的圖像是一條拋物線,其具有軸對稱性。若設拋物線上兩個對稱點的坐
x+x標為x1,y1、x2,y2,則一定有y1=y2,且該拋物線的對稱軸為直線x=12,利用它
2可以簡便、快捷地解決相關問題。
例:二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分對應值如下表:
xy……-37-200-81-93-557……二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖形的對稱軸為直線x=;x=2對應的函數(shù)值
y=。
【典型例題分析】
題型一利用圖像求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的增減性例1已知二次函數(shù)y=-12x+x+4。2(1)試確定拋物線的開口方向、頂點坐標和對稱軸;
(2)x為何值時,y有最大(。┲?(3)求出拋物線與兩坐標軸的交點;
1(4)畫出函數(shù)圖形的草圖,并說明該圖像是y=-x2經(jīng)過怎樣的平移得到的;
2(5)根據(jù)圖像回答,當x取何值時,y>0?y=0?y
題型三二次函數(shù)與幾何知識的綜合應用
例3如圖所示,某場地為一直角三角形,已知∠C=90°,AC=6m,BC=12m,現(xiàn)在要對四邊形ABPQ進行裝修,裝修費為50元/m,且四邊形ABPQ的邊AQ為PC的一半,問怎樣設計四邊形ABPQ才能使裝修費最少?
2B例4如圖所示,二次函數(shù)y=-x2+ax+b的圖形與x軸交于
PCQA1A-,0、B2,0兩點,且與y軸交于點C,求該拋物線的解析2式,并判斷△ABC的形狀。
題型四二次函數(shù)與其他函數(shù)的綜合應用
例5二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像如圖所示,反比例函數(shù)y=在同一坐標系中的大致圖像可能是()
2a與正比例函數(shù)y=b+cxxA、
B、
C、
D、
題型五二次函數(shù)在生活、生產(chǎn)中的應用
例6王亮同學善于改進學習方法,他發(fā)現(xiàn)對解題過程進行回顧反思,效果會更好。某一天他利用30分鐘時間進行自主學習。假設他用于解題的時間x(單位:分鐘)與學習收益量y的關系如圖甲所示,用于回顧反思的時間x(單位:分鐘)與學習收益量y的關系如圖乙所示(其中OA是拋物線的一部分,A為拋物線的頂點),且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間。
(1)求王亮解題的學習收益量y與用于解題的時間x的函數(shù)解析式,并寫出自
變量x的取值范圍;
(2)求王亮回顧反思的學習收益量y與用于回顧反思的時間x之間的函數(shù)解析
式;
(3)王亮如何分配解題和回顧反思的時間,才能使這30分鐘的學習收益總量
最大?(學習收益總量=解題的學習收益量+回顧反思的學習收益量)
y4O2x甲
例7甲車在彎路做剎車試驗,收集到的數(shù)據(jù)如下表所示:速度x/(kmh)10510152025…剎車距離y/m034215416354…(1)請用上表中的各對數(shù)據(jù)(x,y)作為點的坐標,在如圖
所示的坐標系中畫出剎車距離y(m)與速度x(kmh)的函數(shù)圖像,并求函數(shù)的解析式;
(2)在一個限速為40kmh的彎路上,甲、乙兩車相向而行,
同時剎車,但還是相撞了,事后測得甲、乙兩車剎車距離分別為12m和10.5m,又知乙車剎車距離y(m)與速度x(km/h)滿足函數(shù)y析相撞原因。
11x,請你就兩車速度方面分4
題型六二次函數(shù)與圖形變換相結(jié)合
例8如圖所示,在矩形ABCD中,BC=acm,AB=bcm,ab,且a、b是方程
8-4x2x+3+=1的兩個根。P是BC上一動點,動點Q在PC或
x(x+5)x+5其延長線上,BP=PQ,以PQ為一邊的正方形為PQRS。點P從B點開始沿射線BC方向運動。設BP=xcm,正方形PQRS與矩形ABCD重疊部分的面積為ycm。
(1)求a、b的值;
(2)分別求出0x2和2x4時,y與x之間的函數(shù)關系
式。
2SADRBPCQ
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