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第十四章一次函數(shù)小結(jié)

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第十四章一次函數(shù)小結(jié)

第十四章一次函數(shù)小結(jié)

昆明市實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二(5)班陳璇

一、函數(shù)的有關(guān)概念

(1)變量與常量

在某一變化過程中,可以取不同的量叫做常量,保持不變的量叫做常量。

注意:變量和常量往往是相對(duì)而言的,在不同研究過程中,常量和變量的身份是可以相互轉(zhuǎn)換的。(2)函數(shù)與自變量

一般地,如果在一個(gè)變化過程中,有兩個(gè)變量,例如x和y,對(duì)于x的每一個(gè)值,y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng),我們就說x是自變量,y是因變量,此時(shí)也稱y是x的函數(shù)。

注意:函數(shù)體現(xiàn)的是一個(gè)變化的過程,在這一變化過程中,要著重把握以下三點(diǎn):(1)只能有兩個(gè)變量。

(2)一個(gè)變量的數(shù)值隨著另一個(gè)變量的數(shù)值變化而變化。

(3)對(duì)于自變量的每一個(gè)確定的值,函數(shù)都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)。二、函數(shù)的表示方法

函數(shù)的表示方法有三種:解析法、列表法和圖像法。

(1)解析法:

兩個(gè)變量之間的關(guān)系,有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量的等式表示,這種表示方法叫做解析式。用解析式表示一個(gè)函數(shù)關(guān)系時(shí),因變量y放在等式的左邊,自變量x的代數(shù)式放在右邊,其實(shí)質(zhì)是用x的代數(shù)式表示y。

注意:解析法簡(jiǎn)單明了,能準(zhǔn)確地反應(yīng)整個(gè)變化過程中自變量與因變量的關(guān)系,但不直觀,且有的函數(shù)關(guān)系不一定能用解析法表示出來。

(2)列表法:

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法。

注意:列表法優(yōu)點(diǎn)是一目了然,使用方便,但其列出的對(duì)應(yīng)值是有限的而且從表中不易看出自變量和函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。

(3)圖像法:

用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。

注意:圖像法形象直觀,是研究函數(shù)的一種很重要的方法。

在解決問題時(shí),我們常常綜合運(yùn)用三種方法來表示函數(shù)。三、函數(shù)自變量取值范圍及函數(shù)值

函數(shù)自變量的取值范圍是指函數(shù)有意義的自變量的取值的全體。求自變量的取值范圍通常從兩個(gè)方面考慮:一是要使函數(shù)的解析式有意義;二是符合客觀實(shí)際。下面給出一些簡(jiǎn)單函數(shù)解析式中自變量范圍的確定方法。

(1)當(dāng)函數(shù)的解析式是整式時(shí),自變量取任意實(shí)數(shù)(即全體實(shí)數(shù))。

(2)當(dāng)函數(shù)的解析式是分式時(shí),自變量取值是使分母不為零的任意實(shí)數(shù)。

(3)當(dāng)函數(shù)的解析式是開平方的無理式時(shí),自變量值是使被開放的式子為非負(fù)的實(shí)數(shù)。

(4)當(dāng)函數(shù)解析式中自變量出現(xiàn)在零次冪或負(fù)整數(shù)次冪的底數(shù)中時(shí),自變量值取值是使底數(shù)不為零的實(shí)數(shù)。

對(duì)于自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)值,如當(dāng)x=a時(shí),函數(shù)有唯一確定的對(duì)應(yīng)值,這個(gè)值就是當(dāng)x=a時(shí)的函數(shù)值。

注意:若已知函數(shù)解析式及自變量的值求函數(shù)值,其實(shí)質(zhì)就是求關(guān)于自變量x的代數(shù)式的值。若已知函數(shù)解析式及函數(shù)值求自變量的值,其實(shí)質(zhì)就是解關(guān)于自變量x的方程。四、函數(shù)的圖像

(1)函數(shù)圖像的意義

一般來說,函數(shù)的圖像是由直角坐標(biāo)系中的一系列點(diǎn)組成。圖像上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)代表了函數(shù)的一對(duì)對(duì)應(yīng)值,他的橫坐標(biāo)x表示自變量的某一個(gè)值,縱坐標(biāo)y表示與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。(2)函數(shù)圖像的畫法

在直角坐標(biāo)系中,如果描出以自變量的值為橫坐標(biāo)、相應(yīng)函數(shù)值為縱坐標(biāo)的點(diǎn),那么所有這樣的點(diǎn)組成的圖形叫做這個(gè)函數(shù)的圖像。

知道了函數(shù)解析式要畫出函數(shù)的圖像,一般經(jīng)歷以下三步:①列表:

取自變量的一些值,計(jì)算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,由這一系列的對(duì)應(yīng)值得到一系列的有序?qū)崝?shù)對(duì)。②描點(diǎn):

在直角坐標(biāo)系中,描出這些有序?qū)崝?shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。③連線:

用平滑的曲線依次把這些點(diǎn)連起來,即可得到這個(gè)函數(shù)的圖像。五、數(shù)學(xué)思想方法

(1)數(shù)形結(jié)合思想

本章中比較廣泛地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想來研究問題。數(shù)形結(jié)合,直觀形象,由數(shù)思形,由形思數(shù),兩者巧妙結(jié)合,為分析問題和解決問題創(chuàng)造了有利條件,幫助我們?nèi)シ治龊徒鉀Q問題。

(2)函數(shù)思想

研究一個(gè)實(shí)際問題時(shí),首先從問題中抽象出特定的函數(shù)關(guān)系,然后利用函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論,最后把結(jié)論應(yīng)用到實(shí)際問題中去,從而得到實(shí)際問題的研究結(jié)果。將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,通過建立函數(shù)模型,利用函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問題。

(3)轉(zhuǎn)化思想

將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題,將未知轉(zhuǎn)化為已知,將抽象轉(zhuǎn)化為具體,這是數(shù)學(xué)中常用的思想方法。六、一次函數(shù)(正比例函數(shù))的概念

解析式是用自變量的一次整式表示的函數(shù),我們稱之為一次函數(shù)。一次函數(shù)的一般形式為y=kx+b,其中k、b為常數(shù),k≠0,特別地,當(dāng)k=0時(shí),一次函數(shù)y=kx(常數(shù)k≠0)也叫做正比例函數(shù)。

注意:(1)如果一個(gè)函數(shù)是一次函數(shù),則含有自變量x的式子是一次的,系數(shù)k不等于0,而b可以為任意實(shí)數(shù)。

(2)自變量x的取值范圍是任意實(shí)數(shù)。

(3)k≠0這個(gè)條件不可忽略。

(4)正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系:

①正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù),即一次函數(shù)包含正比例函數(shù)。

②一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù),在一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)中,當(dāng)b=0時(shí),

y是x的正比例函數(shù);當(dāng)b≠0時(shí)y不是x的正比例函數(shù)。七、一次函數(shù)的圖像

(1)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像是一條直線,通常也稱為直線y=kx+b,一方面,一次函數(shù)y=kx+b的圖像可以用描點(diǎn)法畫出;另一方面,由于兩點(diǎn)確定一條直線,故畫一次函數(shù)的圖像時(shí),只要先描出兩點(diǎn),再連成直線就可以了,為了方便,常用圖像與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)(0,b)和(-,0)

(2)正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像是經(jīng)過原點(diǎn)(0,0)的一條直線,通常畫正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像只需取一點(diǎn)(1,k),然后過原點(diǎn)和這一點(diǎn)畫直線。八、對(duì)一次函數(shù)的y=kx+b中的系數(shù)k、b的理解

(1)直線y=kx+b中k表示直線向上的方向與x軸正方向夾角的大小程度,即直線的傾斜程度;b是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo),b>0時(shí),直線與y軸交于正半軸上;b=0時(shí),直線過原點(diǎn),是正比例函數(shù);b<0時(shí),直線與y軸交于正半軸上;b=0時(shí),直線過原點(diǎn),是正比例函數(shù);b<0時(shí),直線與y軸交于負(fù)半軸上。

(2)兩直線y=k1x+b1(k1≠0)與y=k2x+b2(k2≠0)的位置關(guān)系。①當(dāng)k1=k2,b1≠b2時(shí),兩直線平行。②當(dāng)k1=k2,b1=b2時(shí),兩直線重合。

注意:(1)當(dāng)k>0時(shí),直線必經(jīng)過一、三象限;k<0時(shí),直線必經(jīng)過二、四象限。當(dāng)b>0時(shí),直線與y軸正半軸相交,故必過一、二象限;b=0時(shí),直線過原點(diǎn);b<0時(shí),直線與y軸負(fù)半軸相交,故直線過三、四象限。

(2)y隨x的增大而增大,還是y隨x的增大而減小,只取決于k的符號(hào),與b無關(guān)。九、一次函數(shù)解析式的確定

(1)根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律、關(guān)系確定函數(shù)解析式

①對(duì)于探索一系數(shù)、圖形個(gè)數(shù)等規(guī)律時(shí),其關(guān)鍵是找出問題的兩個(gè)變量之間存在的數(shù)量關(guān)系。②對(duì)于幾何圖形中的兩個(gè)量的關(guān)系,要能夠結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)確定兩個(gè)變量的關(guān)系。

③對(duì)于實(shí)際問題中的兩個(gè)量之間的關(guān)系,要分析出各個(gè)量之間存在的數(shù)量關(guān)系,并能正確用含一個(gè)量的代數(shù)式表示另一個(gè)量,同時(shí)注意自變量的取值范圍。

(2)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式

先設(shè)出函數(shù)解析式,再根據(jù)已知條件確定解析式中未知的系數(shù),從而具體寫出函數(shù)解析式的方法,叫做待定系數(shù)法,待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式最常用的方法,其一般步驟是:

①設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b(k≠0)。

②將函數(shù)圖像所經(jīng)過的任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)帶入y=kx+b(k≠0)。③解此二元一次方程組,得待定系數(shù)k、b的值。④確定函數(shù)解析式。注意:(1)在正比例函數(shù)y=kx+b(k≠0,且為常數(shù))中,只有一個(gè)待定系數(shù)k,確定正比例函數(shù)關(guān)系式只需一個(gè)條件。

(2)在一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù),且k≠0)中,有兩個(gè)待定系數(shù)k和b,因此確定一次函數(shù)關(guān)系式需要兩個(gè)條件。

十、一次函數(shù)與方程(組)及不等式之間的關(guān)系(1)一次函數(shù)與一元一次方程

直線y=kx+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),就是一元一次方程kx+b=0的解。

求直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn),可令y=0得方程kx+b=0,解方程得x=-,-是直線y=kx+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。反之,由函數(shù)的圖像也能求出對(duì)應(yīng)的一元一次方程的解。(2)一次函數(shù)與二元一次方程(組)

一次函數(shù)y=kx+b圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程kx-y+b=0的解;以二元一次方程kx-y+b=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù)y=kx+b的圖像上。

兩條直線l1:y=k1x+b1(k1≠0)與l2:y=k2x+b2(k2≠0)的交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)就是方程組y=k1x+b1

y=k2x+b2

注意:若k1=k2,b1≠b2,則兩直線平行,無交點(diǎn),所以方程組無解;若k1=k2,b1=b2,則兩直線重合,通常不研究此類情況。(3)二元一次方程組的圖像解法

畫出方程組對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖像,找出它們的交點(diǎn),這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)就是二元一次方程組的解,這種解方程組的方法叫做二元一次方程組的圖像解法。

(4)一次函數(shù)與一元一次不等式

使一次函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y大于0的自變量的所有值,就是一元一次不等式kx+b>0的解集,同樣使一次函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y小于0的自變量的所有值,就是一元一次不等式kx+b<0的解集。

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第十四章一次函數(shù)復(fù)習(xí)小結(jié)

一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

二、各個(gè)知識(shí)點(diǎn)突破

(一)1、當(dāng)x、y滿足什么條件時(shí),y是x的函數(shù)。

答:判斷的標(biāo)準(zhǔn):對(duì)于x取一個(gè)確定的值,y是否有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)。

2、并能夠?qū)懗龊瘮?shù)的解析式,并判斷哪些是常量、變量、自變量、函數(shù)。

常量:始終不變的量。變量:數(shù)值發(fā)生變化的量。自變量:先變的那個(gè)量。函數(shù):隨著自變量而發(fā)生變化的量。3、自變量的取值范圍。

答:三種情況:①一般情況下是全體實(shí)數(shù)。②有分母的,則分母不能為0。③開平方的,被開方數(shù)要≥0。練習(xí):1、下列圖象中,表示y是x的函數(shù)圖象的是()

2、設(shè)地面氣溫是20℃,如果每升高1千米,氣溫下降6℃,則氣溫T與高度h之間的函數(shù)關(guān)系式是。其中常量是,變量是,自變量是,是的函數(shù)。當(dāng)h=6時(shí)的函數(shù)值為。3、y=

1中,x的取值范圍是;y2x3中,x的取值范圍是。x2x中,x的取值范圍是;yx14、y2x1,x的取值范圍是。

(二)函數(shù)的表示方法有:列表法、解析式法、圖象法優(yōu)缺點(diǎn):列表法:直觀準(zhǔn)確,但不完全。解析式法:準(zhǔn)確完全,但不直觀。

圖象法:直觀形象,但不夠準(zhǔn)確也不太完全。(三)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。(掌握熟記,能夠隨手畫出圖象來)函數(shù)解析式圖象性質(zhì)①k>0時(shí),圖象從左到右上升,經(jīng)過一、三象限,y隨著x的增大而增大。②k0時(shí),圖象從左到右上升,y隨著x的增大而增大。②k0,圖象并于y軸正半軸;b0,b>0時(shí),函數(shù)圖象過一、二、三象限k>0,b

3、下列函數(shù)當(dāng)中,①y2x1,②y2x1③,y2x1,④y2x1,⑤y11x1,⑥yx1,22y隨著x的增大而減小的有,交于y軸正半軸的有,圖象經(jīng)過一、二、四象限的有。

4、利用兩點(diǎn)法畫出下列圖象。

方法:正比例函數(shù):確定兩點(diǎn):原點(diǎn)(0,0)和(1,k),

一次函數(shù):確定兩點(diǎn):與y軸的交點(diǎn)即x=0,算出y的值(0,)、與x軸的交點(diǎn)即y=0,算出x的值(,0)。(1)y11x(2)y2x1(3)yx122

(四)能夠用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式。

方法:①先設(shè)出相應(yīng)的解析式。如正比例函數(shù)(過原點(diǎn)的圖象)則設(shè)為y=kx,若只說是一條直線,則設(shè)為y=kx+b。②再?gòu)囊阎獥l件或圖象上確定兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。(注:若是正比例函數(shù),只要確定一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可)

③把點(diǎn)的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)(作為x的值)、縱坐標(biāo)(作為y的值)代入解析式中,解出k、b的值。④k、b的值值代入原設(shè)的解析式中得出解析式。練習(xí):1、直線過點(diǎn)(3,2)且與y軸的并點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),求直線的解析式。

2、直線過原點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)(0,3),求直線的解析式。

(五)一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組與一次函數(shù)之間的關(guān)系。(1)一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系。(注:先把一元一次方程轉(zhuǎn)化為ax+b=0的形式。)

一元一次方程ax+b=0與求自變量x為何值時(shí),一次函數(shù)y=ax+b的值為0實(shí)際上是同一個(gè)問題。表現(xiàn)在圖象上即直線y=ax+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是方程ax+b=0的解。(2)一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系。(注:先把一元一次不等式轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0的形式。)

一元一次方程ax+b>0或ax+b<0可以看作是:當(dāng)一次函數(shù)y=ax+b的值大于0或小于0時(shí),求自變量相應(yīng)的取值范圍。表現(xiàn)在圖象上:ax+b>0即直線y=ax+b在x軸上方的圖象對(duì)應(yīng)的x的取值范圍。ax+b<0即直線y=ax+b在x軸下方的圖象對(duì)應(yīng)的x的取值范圍。(3)二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系。(注:先把每一個(gè)一元一次方程轉(zhuǎn)化為y=ax+b的形式,即用含x的式子表示y)

二元一次方程組y1kx1b1可以轉(zhuǎn)化為:兩個(gè)一次函數(shù)在自變量取何值時(shí),函數(shù)值相等。在圖象上表現(xiàn)為:

y2kx2b2求兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的問題。

練習(xí):利用函數(shù)圖象解下列方程、不等式和方程組。

xy3(1)3x2x2(2)5x33x5(3)

3xy5

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