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初三《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)201*.11.4

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初三《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)201*.11.4

新初四暑期圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)周若楠

一、圓的概念

集合形式的概念:1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;2、圓的外部:可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;3、圓的內(nèi)部:可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念:

1、圓:到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑的圓;

(補(bǔ)充)2、垂直平分線:到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線(也叫中垂線);3、角的平分線:到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線;

4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是:平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線;5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是:平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。

二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn)C在圓內(nèi);2、點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)B在圓上;3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn)A在圓外;

三、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離dr無交點(diǎn);2、直線與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn);3、直線與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn);

ArBdCdOrdd=rrd

四、圓與圓的位置關(guān)系

外離(圖1)無交點(diǎn)dRr;外切(圖2)有一個(gè)交點(diǎn)dRr;相交(圖3)有兩個(gè)交點(diǎn)RrdRr;內(nèi)切(圖4)有一個(gè)交點(diǎn)dRr;內(nèi)含(圖5)無交點(diǎn)dRr;

新初四暑期圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)周若楠

dR圖1rR圖2drdR圖3r

d

五、垂徑定理

圖4RrdrR圖5垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。

推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧;(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條;

(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧

以上共4個(gè)定理,簡(jiǎn)稱2推3定理:此定理中共5個(gè)結(jié)論中,只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論,即:①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。

A推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即:在⊙O中,∵AB∥CD∴弧AC弧BD

六、圓心角定理

圓心角定理:同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弦相等,所對(duì)的弧相等,弦心距相等。此定理也稱1推3定理,即上述四個(gè)結(jié)論中,

ECOADOBCBED只要知道其中的1個(gè)相等,則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論,

F即:①AOBDOE;②ABDE;

③OCOF;④弧BA弧BD

AODC

-2-

B新初四暑期圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)周若楠

七、圓周角定理

1、圓周角定理:同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即:∵AOB和ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角∴AOB2ACB

BOAC2、圓周角定理的推論:

推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧是等;即:在⊙O中,∵C、D都是所對(duì)的圓周角∴CD

BDCOAC推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角;圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓,所對(duì)的弦是直徑。即:在⊙O中,∵AB是直徑或∵C90∴C90∴AB是直徑

CBOA推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形。即:在△ABC中,∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注:此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論:在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。

八、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理:圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即:在⊙O中,

∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形

∴CBAD180BD180DAEC

九、切線的性質(zhì)與判定定理

(1)切線的判定定理:過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;兩個(gè)條件:過半徑外端且垂直半徑,二者缺一不可即:∵M(jìn)NOA且MN過半徑OA外端

MANOBOACDBAE新初四暑期圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)周若楠

∴MN是⊙O的切線(2)性質(zhì)定理:切線垂直于過切點(diǎn)的半徑(如上圖)推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2:過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理:

即:①過圓心;②過切點(diǎn);③垂直切線,三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。

十、切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理:

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即:∵PA、PB是的兩條切線∴PAPBPO平分BPA

PBO

十一、圓冪定理(此定理需要掌握,課本沒有,可能做題要涉及)(1)相交弦定理:圓內(nèi)兩弦相交,交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于點(diǎn)P,∴PAPBPCPD

CBOPADA(2)推論:如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即:在⊙O中,∵直徑ABCD,

BCOEAD∴CEAEBE

(3)切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。

PD2AEO即:在⊙O中,∵PA是切線,PB是割線∴PAPCPB

2CB(4)割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等(如上圖)。即:在⊙O中,∵PB、PE是割線∴PCPBPDPE

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2、圓柱:

(1)圓柱側(cè)面展開圖

S表S側(cè)2S底=2rh2r2

(2)圓柱的體積:Vr2h

(2)圓錐側(cè)面展開圖

(1)S表S側(cè)S底=Rrr2

(2)圓錐的體積:V123rh

ADD1母線長(zhǎng)底面圓周長(zhǎng)BCC1B1ORCArB

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《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

一、圓的概念

集合形式的概念:1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;2、圓的外部:可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;3、圓的內(nèi)部:可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念:

1、圓:到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑的圓;

(補(bǔ)充)2、垂直平分線:到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線(也叫

中垂線);

3、角的平分線:到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線;

4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是:平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線;

5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是:平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。

二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn)C在圓內(nèi);2、點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)B在圓上;3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn)A在圓外;

三、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離dr無交點(diǎn);2、直線與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn);3、直線與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn);

ArBdCdOrdd=rrd

四、圓與圓的位置關(guān)系

《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

外離(圖1)無交點(diǎn)dRr;外切(圖2)有一個(gè)交點(diǎn)dRr;相交(圖3)有兩個(gè)交點(diǎn)RrdRr;內(nèi)切(圖4)有一個(gè)交點(diǎn)dRr;內(nèi)含(圖5)無交點(diǎn)dRr;

dR圖1rRdr圖2dR圖3r

d

五、垂徑定理

圖4RrdrR圖5垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。

推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條;(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條;

(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共4個(gè)定理,簡(jiǎn)稱2推3定理:此定理中共5個(gè)結(jié)論中,只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論,即:

①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即:在⊙O中,∵AB∥CD∴弧AC弧BD

六、圓心角定理

COABCBADOED《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

圓心角定理:同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弦相等,所對(duì)的弧相等,弦心距相等。此定理也稱1推3定理,即上述四個(gè)結(jié)論中,

只要知道其中的1個(gè)相等,則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論,即:①AOBDOE;②ABDE;

③OCOF;④弧BA弧BD

七、圓周角定理

1、圓周角定理:同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即:∵AOB和ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角∴AOB2ACB2、圓周角定理的推論:

推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧;

即:在⊙O中,∵C、D都是所對(duì)的圓周角∴CD

推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角;圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓,所對(duì)的弦是直徑。

即:在⊙O中,∵AB是直徑或∵C90∴C90∴AB是直徑

推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形。

即:在△ABC中,∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

BOCAOEFDCBCBOADCBOACBOAA注:此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論:在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。

八、圓內(nèi)接四邊形

《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

圓的內(nèi)接四邊形定理:圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即:在⊙O中,

∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形

∴CBAD180BD180DAEC

九、切線的性質(zhì)與判定定理

(1)切線的判定定理:過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;兩個(gè)條件:過半徑外端且垂直半徑,二者缺一不可即:∵M(jìn)NOA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線

OCDBAE(2)性質(zhì)定理:切線垂直于過切點(diǎn)的半徑(如上圖)推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2:過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理:

即:①過圓心;②過切點(diǎn);③垂直切線,三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。

十、切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理:

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

即:∵PA、PB是的兩條切線∴PAPB

PBMANOPO平分BPA

十一、圓冪定理

BOPCADA《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

(1)相交弦定理:圓內(nèi)兩弦相交,交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于點(diǎn)P,∴PAPBPCPD

(2)推論:如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。

即:在⊙O中,∵直徑ABCD,∴CEAEBE

(3)切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即:在⊙O中,∵PA是切線,PB是割線∴PAPCPB

(4)割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等(如上圖)。

即:在⊙O中,∵PB、PE是割線∴PCPBPDPE

十二、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理:兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的公共弦。

如圖:O1O2垂直平分AB。

即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)∴O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式:

(1)公切線長(zhǎng):RtO1O2C中,AB2CO12O1O22CO22;

(2)外公切線長(zhǎng):CO2是半徑之差;內(nèi)公切線長(zhǎng):CO2是半徑之和。十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算

C22CBOEDAADPCOBEAO1BO2的

ACO2BO1-5-

OBAD《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

(1)正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形,有關(guān)計(jì)算在RtBOD中進(jìn)行:OD:BD:OB1:3:2;

(2)正四邊形

同理,四邊形的有關(guān)計(jì)算在RtOAE中進(jìn)行,OE:AE:OA1:1:2:

十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形:(1)弧長(zhǎng)公式:lABOACEDnR;180OSlnR21(2)扇形面積公式:SlR

3602Bn:圓心角R:扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑l:扇形弧長(zhǎng)S:扇形面積

2、圓柱:

(1)圓柱側(cè)面展開圖

2S表S側(cè)2S底=2rh2r

ADD1母線長(zhǎng)底面圓周長(zhǎng)B(2)圓柱的體積:Vrh

(2)圓錐側(cè)面展開圖

O2CB1C1(1)S表S側(cè)S底=Rrr

212(2)圓錐的體積:Vrh

3ARCrB

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