圓知識點總結

圓知識點總結

定義：（1）平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。

（2)平面上一條線段，繞它的一端旋轉360°，留下的軌跡叫圓。

圓心：

（1）如定義（1）中，該定點為圓心

（2）如定義（2）中，繞的那一端的端點為圓心。（3）圓任意兩條對稱軸的交點為圓心。

（4）垂直于圓內任意一條弦且兩個端點在圓上的線段的二分點為圓心。

直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。

半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。

圓的直徑和半徑都有無數(shù)條。圓是軸對稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=d/2。

圓的半徑或直徑決定圓的大小，圓心決定圓的位置。圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用字母C表示。圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。

直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。πr^2;，用字母S表示。

一條弧所對的圓周角是圓心角的二分之一。

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。

圓弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧，半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。

圓心角和圓周角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。內心和外心：和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓，其圓心稱為內心。過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。

圓和點的位置關系：以點P與圓O的為例（設P是一點，則PO是點到圓心的距離），P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上，PO=r；P在⊙O內，0≤PO條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。以直線AB與圓O為例（設OP⊥AB于P，則PO是AB到圓心的距離）：AB與⊙O相離，PO>r；AB與⊙O相切，PO=r；AB與⊙O相交，0≤POR+r；外切P=R+r；相交R-r

圓的對稱性質：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。

逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。

有關外接圓和內切圓的性質和定理

①一個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點距離相等；②內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。

③R=2S△÷L（R：內切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長）④兩相切圓的連心線過切點（連心線：兩個圓心相連的直線）⑤圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點。（4）如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線段（直線也可）垂直平分公共弦。

（5）圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。（6）圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半。（7）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。（8）圓內角的度數(shù)等于這個角所對的弧的度數(shù)之和的一半。（9）圓外角的度數(shù)等于這個角所截兩段弧的度數(shù)之差的一半。

有關切線的性質和定理

圓的切線垂直于過切點的半徑；經過半徑的一端，并且垂直于這條半徑的直線，是這個圓的切線。

切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質：（1）經過切點垂直于過切點的半徑的直線是圓的切線。（2）經過切點垂直于切線的直線必經過圓心。（3）圓的切線垂直于經過切點的半徑。

切線長定理：從圓外一點到圓的兩條切線的長相等，那點與圓心的連線平分切線的夾角。

擴展閱讀：初中圓的知識點總結加兩套經典試題(絕對超值)

圓的總結

集合：

圓：圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；

圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合

軌跡：

1、到定點的距離等于定長的點的軌跡是：以定點為圓心，定長為半徑的圓；2、到線段兩端點距離相等的點的軌跡是：線段的中垂線；3、到角兩邊距離相等的點的軌跡是：角的平分線；

4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；

5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線

點與圓的位置關系:

點在圓內dr點A在圓外

直線與圓的位置關系:

直線與圓相離d>r無交點直線與圓相切d=r有一個交點

直線與圓相交dR+r外切（圖2）有一個交點d=R+r相交（圖3）有兩個交點R-r垂徑定理:

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條��；（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條�。�

（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：

①AB是直徑②AB⊥CD③CE=DE④BCBD⑤AC推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD

COBCBAADDOEDA

圓心角定理

EFAC

圓周角定理

BOD圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論也即：①∠AOB=∠DOE②AB=DE③OC=OF④AEDBC圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半即：∵∠AOB和∠ACB是所對的圓心角和圓周角BOA∴∠AOB=2∠ACB圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧

即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所對的圓周角

∴∠C=∠D

推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑

即：在⊙O中，∵AB是直徑或∵∠C=90°∴∠C=90°∴AB是直徑

推論3：三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

即：在△ABC中，∵OC=OA=OB

∴△ABC是直角三角形或∠C=90°

BDCBOACOACBOA注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。

弦切角定理:弦切角等于所夾弧所對的圓周角推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相

C

OB等。

即：∵MN是切線，AB是弦∴∠BAM=∠BCA

圓內接四邊形

圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角。

即：在⊙O中，∵四邊形ABCD是內接四邊形

∴∠C+∠BAD=180°B+∠D=180°∠DAE=∠C

切線的性質與判定定理（1）判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵MN⊥OA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線

（2）性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心以上三個定理及推論也稱二推一定理：

MNAMCDBAEOAN即：過圓心過切點垂直切線中知道其中兩個條件推出最后一個條件∵MN是切線∴MN⊥OA

切線長定理:

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長

PB相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵PA、PB是的兩條切線∴PA=PB

PO平分∠BPA

圓內相交弦定理及其推論：

（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等

即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點P∴PAPB=PCPA

OACBOEDA

（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在⊙O中，∵直徑AB⊥CD

∴CE2DE2EAEB（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項即：在⊙O中，∵PA是切線，PB是割線∴PA2PCPB

（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）即：在⊙O中，∵PB、PE是割線

∴PCPBPDPE

圓公共弦定理：連心線垂直平分公共弦即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點∴O1O2垂直平分AB

兩圓公切線長的計算公式：

（1）公切線長：在Rt△O1O2C中，

22AB2CO2O1O2CO21

（2）外公切線長：CO2是半徑之差；內公切線長：CO2是半徑之和

BOPCADADPCOBEAO1BO2圓內正多邊形的計算（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有關計算在Rt△BOD中進行，OD:BD:OB=1:

（2）正四邊形

同理，四邊形的有關計算在Rt△OAE中進行，OE:AE:OA=1:1:2

（3）正六邊形

同理，六邊形的有關計算在Rt△OAB中進行，AB:OB:OA=COBBOC3:21:3:2OADAAEDBA

弧長、扇形面積公式（1）弧長公式：

lnR1802OSlnRS（2）扇形面積公式：

36012lRB總結歸納：《圓》的知識考點

圓與三角形、四邊形一樣都是研究相關圖形中的線、角、周長、面積等知識。包括性質定理與判定定理及公式。．．．．．．．．．．一、圓的有關概念1、圓。動靜（集合）→封閉曲線圍成的圖形

2、弦、直徑、切線�！�直線3、弧、半圓�！�曲線4、圓心角、圓周角。

5、三角形的外接圓、外心�！�用到：線段的垂直平分線及性質6、三角形的內切圓、內心�！�用到：角的平分線及性質二、圓的有關性質（涉及線段相等、角相等，求線、角）1、圓的對稱性。→軸對稱中心對稱

2、垂徑定理及其推論。

3、弧、弦、圓心角之間的關系定理

4、圓周角定理及推論�！�同圓、等圓，同弧、等弧，圓周角5、切線的性質定理。6、切線長定理。三、判定定理

切線的判定→兩種思路：①連半徑，證垂直；②作垂直，證半徑四、點、直線、圓與圓的位置關系1、點與圓的位置關系位置關系點在圓外點在圓上點在圓內

數(shù)量關系d>rd=rd2、直線與圓的位置關系：位置關系相離相切相交3、圓與圓的位置關系：位置關系外離外切相交內切內含

五、正多邊形和圓1、有關概念

正多邊形的中心、半徑、中心角及其度數(shù)、邊心距

2、方法思路：構造等腰（等邊）三角形、直角三角形，在三角形中求線、角、．．．．．．面積。

六、圓的有關線的長和面積。1、圓的周長、弧長C=2r,l=

nr180數(shù)量關系d>rd=rdR+rd=R+rR-r與圓有關的計算

一、周長：設圓的周長為C，半徑為r,扇形的弧長為l,扇形的圓心角為n.

nr①圓的周長：C＝２πR；②扇形的弧長：l。

180例題1．(05崇文練習一）某小區(qū)建有如圖所示的綠地，圖中4個半圓，鄰近的兩個半圓相切。兩位老人同時出發(fā)，以相同的速度由A處到B處散步，甲老人沿

ACB的線路行走，則下列結論正ADA1、A1EA2、A2FB的線路行走，乙老人沿確的是()

（A）甲老人先到達B處（B）乙老人先到達B處（C）甲、乙兩老人同時到達B處（D）無法確定

D、D…的E、EF例題2．如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF…叫做正三角形的“漸開線”，其中C圓心依次按A、B、C循環(huán)，將它們依次平滑相連接。如果AB=1，試求曲線CDEF的長。

例題3．（06蕪湖）已知如圖，線段AB∥CD，∠CBE=600，且AB=60cm,BC=40cm,CD=40cm，⊙O的半徑為10cm,從A到D的表面很粗糙，求⊙O從A滾動到D，圓心O所經過的距離。

例題4．如圖，一個等邊三角形的邊長和與它的一邊相外切的圓的周長相等，當這個圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊作無滑動旋轉直至回到原出發(fā)位置時，則這個圓共轉了（）圈。A4B3C5D3.56.例題5．(08大興二模)如圖，一個人握著板子的一端，另一端放在圓柱上，某人沿水平方向推動板子帶動圓柱向前滾動，假設滾動時圓柱與地面無滑動，板子與圓柱也沒有滑動．已知板子上的點B（直線與圓柱的橫截面的切點）與手握板子處的點C間的距離BC的長為Lm，當手握板子處的點C隨著圓柱的滾動運動到板子與圓柱橫截面的切點時，人前進了_________m．

例題6．(08房山二模)如圖，∠ACB＝60，半徑為2的⊙0切BC于點C，若將⊙O在CB上向右滾動，則當滾動到⊙O與CA也相切時，圓心O移動的水平距離為.

二、面積：設圓的面積為S，半徑為r,扇形的面積為S扇形，弧長為l.①圓的面積：Sr②扇形的面積：S扇形③弓形面積：S弓形S扇形S

例題1．（05豐臺練習二）如圖，△ABC內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，如果∠A＝120°，CD＝2，則扇形OBAC的面積是____________。

例題2．（江西�。┤鐖D，⊙A、⊙B、⊙C兩不相交，且半徑半徑都是0.5cm.圖中的三個扇形（即三個陰影部分）的面積之和為（）A

2nr236012lr

12cm2B

8cm2C

6cm2D

4cm2

例題3．(08大興)北京市一居民小區(qū)為了迎接201*年奧運會，計劃將小區(qū)內的一塊平行四邊形ABCD場地進行綠化，如圖陰影部分為綠化地，以A、B、C、D為圓心且半徑均為3m的四個扇形的半徑等于圖中⊙O的直徑，已測得

AB6m，則綠化地的面積為()mA.18πB.36πC.

2454πD.

92π

例題4．如圖，⊙O的半徑為20，B、C為半圓的兩個三等分點，A為半圓的直徑的一個端點，求陰影部分的面積。

例題5．(08房山)如圖1是一種邊長為60cm的正方形地磚圖案，其圖案設計是：①三等分AD（AB=BC=CD）②以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交AD于B、交AG于E；③再分別以B、E為圓心，AB長為半徑畫弧，交AD于C、交AG于F兩弧交于H；④用同樣的方法作出右上角的三段�。畧D2是用圖1所示的四塊地磚鋪在一起拼成的大地磚，則圖2中的陰影部分的面積是_______cm2（結果保留）．

例題6.(08西城)如圖,在RtABC中,BAC90,AB=AC=2,若以AB為直徑的圓交BC于點D,則陰影部分的面積是.

例題7.(08朝陽)已知：如圖，三個半徑均為1m的鐵管疊放在一起，兩兩相外切，切點分別為C、D、E，直線MN（地面）分別與⊙O2、⊙O3相切于點A、B．（1）求圖中陰影部分的面積；（2）請你直接寫出圖中最上面的鐵管（⊙O1）的最低點P到地面MN的距離是______________m．

例題8．(08海淀)如圖，一種底面直徑為8厘米，高15厘米的茶葉罐，現(xiàn)要設計一種可以放三罐的包裝盒，請你估算包裝用的材料為多少（邊縫忽略不計）。

BACD三、側面展開圖：①圓柱側面展開圖是形,它的長是底面的,高是這個圓柱的；②圓錐側面展開圖是形，它的半徑是這個圓錐的，它的弧長是這個圓錐的底面的。

例題1．(05豐臺)圓柱的高為6cm，它的底面半徑為4cm，則這個圓柱的側面積是()

A.48cm

2B.24cmC.48cm

22D.24cm

2例題2．（05豐臺）如果圓錐的底面半徑為4cm，高為3cm，那么它的側面積是()A.15cmB.20cmC.24cmD.40cm

例題3．(05海淀）如圖圓錐兩條母線的夾角為120，高為12cm，則圓錐側面積為______，底面積為______。例題4．（05朝陽）如果圓柱的母線長為5cm，底面半徑為2cm，那么這個圓柱的側面積是（）A.10cmB.10cm

222222C.20cm

2D.20cm

2例題5.如果一個圓錐的軸截面是等邊三角形,它的邊長為4cm,那么它的全面積是()A.8πcm2B.10πcm2C.12πcm2D.9πcm2

四、正多邊形計算的解題思路：等腰三角形直角三角形。正多邊形轉化轉化連OAB作垂線OD可將正多邊形的中心與一邊組成等腰三角形，再用解直角三角形的知識進行求解。

例題1．（05朝陽）正n邊形的一個內角是135，則邊數(shù)n是（）A.4

B.6

C.8

D.10

例題2．如圖，要把邊長為6的正三角形紙板剪去三個三角形，得到正六邊形，它的邊

長為__________。

例題3．如圖扇形的圓心角為直角，正方形OCDE內接于扇形，點C、D、E分別在OA、OB、ED，交ED的延長線于點F，垂足為F。若正方形的邊長AB上，過點A作AF⊥為1，則陰影部分的面積為______。（福建福州）

圓

與圓有關的位置關系

1.點與圓的位置關系共有三種：①點在圓外，②點在圓上，③點在圓內；對應的點到圓心的距離d和半徑r之間的數(shù)量關系分別為：①d>r，②d=r，③d

2.直線與圓的位置關系共有三種：①相交，②相切，③相離；對應的圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的數(shù)量關系分別為：①dr.3.圓與圓的位置關系共有五種：①內含，②相內切，③相交，④相外切，⑤外離；兩圓的圓心距d和兩圓的半徑R、r（R≥r）之間的數(shù)量關系分別為：

①dR+r.4.圓的切線垂直于過切點的半徑；經過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.

5.從圓外一點可以向圓引2條切線，切線長相等，這點與圓心之間的連線平分這兩條切線的夾角。

與圓有關的計算

1.圓的周長為2πr，1°的圓心角所對的弧長為180，n°的圓心角所對的弧長

nrnr為180，弧長公式為l180n為圓心角的度數(shù)上為圓半徑).

2.圓的面積為πr，1°的圓心角所在的扇形面積為的扇形面積為S=360R=

n2r2

r2360，n°的圓心角所在

1rl2(n為圓心角的度數(shù),R為圓的半徑）.

3.圓柱的側面積公式：S=2rl（其中4.圓錐的側面積公式：S=

（其中

為底面圓的半徑，為圓柱的高.）為底面的半徑，為母線的長.）

圓錐的側面積與底面積之和稱為圓錐的全面積

A組

一、選擇題（每小題3分，共45分）

1．在△ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以點A為圓心，以2.5cm為半徑作圓，則點C和⊙A的位置關系是（）。

A．C在⊙A上Ｂ．C在⊙A外

C．C在⊙A內Ｄ．C在⊙A位置不能確定。2．一個點到圓的最大距離為11cm，最小距離為5cm,則圓的半徑為（）。A．16cm或6cmＢ．3cm或8cmC．3cmＤ．8cm3．AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°則弦AB所對的圓周角是（）。

A．40°Ｂ．140°或40°C．20°Ｄ．20°或160°4．O是△ABC的內心，∠BOC為130°，則∠A的度數(shù)為（）。

A．130°Ｂ．60°C．70°Ｄ．80°

5．如圖1，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，

則∠DFE的度數(shù)是（）。A．55°Ｂ．60°C．65°Ｄ．70°

6．如圖2，邊長為12米的正方形池塘的周圍是草地，池塘邊A、B、C、D處各有一棵樹，且AB=BC=CD=3米．現(xiàn)用長4米的繩子將一頭羊拴在其

中的一棵樹上．為了使羊在草地上活動區(qū)域的面積最大，應將繩子拴在（）。A．A處B．B處C．C處D．D處

圖1圖2

7．已知兩圓的半徑分別是2和4，圓心距是3，那么這兩圓的位置是（）。A．內含Ｂ．內切C．相交Ｄ．外切8．已知半徑為R和r的兩個圓相外切。則它的外公切線長為（）。

A．R＋rＢ．R2+r2C．R+rＤ．2Rr9．已知圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐的側面積為（）。Ａ．10πB．12πＣ．15πＤ．20π10．如果在一個頂點周圍用兩個正方形和n個正三角形恰好可以進行平面鑲嵌，則n的值是

（）。

A．3B．4C．5D．611．下列語句中不正確的有（）。

①相等的圓心角所對的弧相等②平分弦的直徑垂直于弦

③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸

④長度相等的兩條弧是等弧

A．3個Ｂ．2個12．先作半徑為

32C．1個Ｄ．4個

的第一個圓的外切正六邊形，接著作上述外切正六邊形的外接圓，再作

上述外接圓的外切正六邊形，，則按以上規(guī)律作出的第8個外切正六邊形的邊長為（）。A．(233)Ｂ．(7233)C．(832)Ｄ．(732)

813．如圖3，ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O內切于ABC，則陰影部分面積為()

A．12-πＢ．12-2πC．14-4πＤ．6-π

14．如圖4，在△ABC中，BC＝4，以點A為圓心、2為半徑的⊙A與BC相切于點D，交AB于E，交AC于F，點P是⊙A上的一點，且∠EPF＝40°，則圖中陰影部分的面積是（）。

4848A．4－πB．4－πC．8－πD．8－π

999915．如圖5，圓內接四邊形ABCD的BA、CD的延長線交于P，AC、BD交于E，則圖中相似三

角形有（）。

A．2對Ｂ．3對C．4對Ｄ．5對

圖3圖4圖5

二、填空題（每小題3分，共30分）

1．兩圓相切，圓心距為9cm，已知其中一圓半徑為5cm，另一圓半徑為_____.

2．兩個同心圓，小圓的切線被大圓截得的部分為6，則兩圓圍成的環(huán)形面積為_________。3．邊長為6的正三角形的外接圓和內切圓的周長分別為_________。

4．同圓的外切正六邊形與內接正六邊形的面積之比為_________。

5．矩形ABCD中，對角線AC＝4，∠ACB＝30°，以直線AB為軸旋轉一周得到圓柱的表面積是_________。

6.扇形的圓心角度數(shù)60°，面積6π，則扇形的周長為_________。

7．圓的半徑為4cm，弓形弧的度數(shù)為60°，則弓形的面積為_________。

8．在半徑為5cm的圓內有兩條平行弦，一條弦長為6cm，另一條弦長為8cm，則兩條平行弦

之間的距離為_________。9．如圖6，△ABC內接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，MN是過B點而垂直于OB的直線，則

∠ABM=________，∠CBN=________；

10．如圖7，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，將矩形繞點A旋轉90°，到達A′B′C′D′

的位置，則在轉過程中，邊CD掃過的(陰影部分)面積S=_________。

圖6圖7

三、解答下列各題（第9題11分，其余每小題8分，共75分）1．如圖，P是⊙O外一點，PAB、PCD分別與⊙O相交于A、B、C、D。

(1)PO平分∠BPD；(2)AB=CD；(3)OE⊥CD，OF⊥AB；(4)OE=OF。

從中選出兩個作為條件，另兩個作為結論組成一個真命題，并加以證明。

BAPCEFOD2．如圖，⊙O1的圓心在⊙O的圓周上，⊙O和⊙O1交于A，B，AC切⊙O于A，連結CB，BD是⊙O的直徑，∠D＝40°求：∠AO1B、∠ACB和∠CAD的度數(shù)。

3．已知：如圖20，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，BC=43，以A為圓心，2為半徑作⊙A，試問：直線BC與⊙A的關系如何？并證明你的結論。

ABC

4．如圖，ABCD是⊙O的內接四邊形，DP∥AC，交BA的延長線于P，求證：ADDC＝PABC。

PDCOAB

5．如圖ABC中∠A＝90°，以AB為直徑的⊙O交BC于D，E為AC邊中點，求證：DE是⊙O的切線。

6．如圖，已知扇形OACB中，∠AOB＝120°，弧AB長為L＝4π，⊙O′和弧AB、OA、OB分別相切于點C、D、E，求⊙O的周長。

7．如圖，半徑為2的正三角形ABC的中心為O，過O與兩個頂點畫弧，求這三條弧所圍成的陰影部分的面積。

8．如圖，ΔABC的∠C＝Rt∠，BC＝4，AC＝3，兩個外切的等圓⊙O1，⊙O2各與AB，AC，BC相切于F，H，E，G，求兩圓的半徑。

9．如圖①、②、③中，點E、D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五

邊形ABCMN中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE=CD，DB交AE于P點。⑴求圖①中，∠APD的度數(shù)；

⑵圖②中，∠APD的度數(shù)為___________，圖③中，∠APD的度數(shù)為___________；⑶根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況．若能，寫出推廣問題和結論；若不能，請說明理由。

B組

一、選擇題（每小題3分，共24分）

1．如圖，把一個量角器放置在∠BAC的上面，則∠BAC的度數(shù)是（）（A）30o．（B）60o．（C）15o．（D）20o．

BPE圖①AAMBPECD圖③MNADCBPE圖②DCyPOx

（第1題）（第2題）（第3題）2．如圖，實線部分是半徑為9m的兩條等弧組成的游泳池．若每條圓弧所在的圓都經過另一個圓的圓心，則游泳池的周長為（）（A）12m．（B）18m．（C）20m．（D）24m．

3．如圖，P(x，y)是以坐標原點為圓心，5為半徑的圓周上的點，若x，y都是整數(shù)，則

這樣的點共有（）

（A）4．（B）8．（C）12．（D）16．

4．用一把帶有刻度尺的直角尺，（1）可以畫出兩條平行的直線a和b，如圖①；（2）可以

畫出∠AOB的平分線OP，如圖②；（3）可以檢驗工件的凹面是否為半圓，如圖③；（4）

可以量出一個圓的半徑，如圖④．這四種說法正確的有（）

圖①圖②圖③圖④

（A）4個．（B）3個．（C）2個．（D）1個．

5．如圖，這是中央電視臺“曲苑雜談”中的一幅圖案，它是一扇形，其中∠AOB為120o，

OC長為8cm，CA長為12cm，則陰影部分的面積為（）（A）64cm2．（B）112cm2．（C）114cm2．（D）152cm2．

（第5題）（第6題）（第7題）

6．如圖，小華從一個圓形場地的A點出發(fā)，沿著與半徑OA夾角為的方向行走，走到

場地邊緣B后，再沿與半徑OB夾角為的方向折向行走．按照這種方式，小華第五次走到場地邊緣時處于弧AB上，此時∠AOE＝56o，則的度數(shù)是（）（A）52o．（B）60o．（C）72o．（D）76o．

7．小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來大小一樣的

圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃片應該是（）（A）第①塊．（B）第②塊．（C）第③塊．（D）第④塊．

8．已知圓錐的底面半徑為1cm，母線長為3cm，則其全面積為（）（A）．（B）3．（C）4．（D）7．二、填空題（每小題3分，共18分）9．某單位擬建的大門示意圖如圖所示，上部是一段直徑為10米的圓弧形，下部是矩形

ABCD，其中AB＝3.7米，BC＝6米，則弧AD的中點到BC的距離是____________米．

y3211123xO（第9題）（第10題）（第11題）

10．如圖，一寬為2cm的刻度尺在圓上移動，當刻度尺的一邊與圓相切時，另一邊與圓兩

個交點處的讀數(shù)恰好為“2”和“8”（單位：cm），則該圓的半徑為_____________cm．

11．如圖，∠1的正切值等于_____________．

12．一個小熊的頭像如圖所示．圖中反映出圓與圓的四種位置關系，但是其中有一種位置關

系沒有反映出來．請你寫出這種位置關系，它是____________．

（第12題）（第13題）（第14題）

13．如圖，U型池可以看作一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面

是半徑為4m的半圓，其邊緣AB＝CD＝20m，點E在CD上，CE＝2m，一滑板愛好者

從A點滑到E點，則他滑行的最短距離約為______________m．（邊緣部分的厚度忽略不計，結果保留整數(shù)）

14．三個直立于水平面上的形狀完全相同的幾何體（下底面為圓面，單位：cm）如圖所示．則

三個幾何體的體積和為cm3．（計算結果保留）

三、解答題（每小題6分，共18分）

15．如圖，AB為⊙O直徑，BC切⊙O于B，CO交⊙O交于D，AD的延長線交BC于E，

若∠C=25°，求∠A的度數(shù)．

16．如圖，AB是OD的弦，半徑OC、OD分別交AB于點E、F，且AE＝BF，請你找出線

段OE與OF的數(shù)量關系，并給予證明．

17．如圖，P為正比例函數(shù)y（x，y）．

（1）求⊙P與直線x2相切時點P的坐標；

（2）請直接寫出⊙P與直線x2相交、相離時x的取值范圍．

32x圖象上的一個動點，⊙P的半徑為3，設點P的坐標為

四、解答題（每小題8分，共24分）

18．從衛(wèi)生紙的包裝紙上得到以下資料：兩層300格，每格11.4cm×11cm，如圖甲．用尺量

出整卷衛(wèi)生紙的半徑（R）與紙筒內芯的半徑（r），分別為5.8cm和2.3cm，如圖乙．那

么該兩層衛(wèi)生紙的厚度為多少cm？（π取3.14，結果精確到0.001cm）

圖①圖②

19．如圖，A是半徑為12cm的⊙O上的定點，動點P從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿圓周

逆時針運動，當點P回到A地立即停止運動．

（1）如果∠POA＝90o，求點P運動的時間；

（2）如果點B是OA延長線上的一點，AB＝OA，那么當點P運動的時間為2s時，判

斷直線BP與⊙O的位置關系，并說明理由．

20．如圖，已知直角坐標系中一條圓弧經過正方形網格的格點A、B、C．

（1）用直尺畫出該圓弧所在圓的圓心M的位置；

（2）若A點的坐標為（0，4），D點的坐標為（7，0），試驗證點D是否在經過點A、

B、C的拋物線上；

（3）在（2）的條件下，求證直線CD是⊙M的切線．

五、解答題（每小題8分，共16分）

21．如圖，圖①是一個小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲。鐵環(huán)是圓形的，鐵環(huán)向前滾動時，鐵環(huán)

鉤保持與鐵環(huán)相切．將這個游戲抽象為數(shù)學問題，如圖②．已知鐵環(huán)的半徑為5個單位

（每個單位為5cm），設鐵環(huán)中心為O，鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點為M，鐵環(huán)與地面接觸點為A，∠MOA＝，且sin0.6．

（1）求點M離地面AC的高度MB（單位：厘米）；

（2）設人站立點C與點A的水平距離AC等于11個單位，求鐵環(huán)鉤MF的長度（單

位：厘米）．

22．圖①是用鋼絲制作的一個幾何探究具，其中△ABC內接于⊙G，AB是⊙G的直徑，AB

＝6，AC＝3．現(xiàn)將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標系中（如圖②），然后點A在射線OX由點O開始向右滑動，點B在射線OY上也隨之向點O滑動（如圖③），當點B滑動至與點O重合時運動結束．

（1）試說明在運動過程中，原點O始終在⊙G上；（2）設點C的坐標為（x，y），試求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）在整個運動過程中，點C運動的路程是多少？

圖①圖②圖③

參考答案A組

一、1、C2、B3、B4、D5、C6、B7、C8、D

9、C10、A11、D12、A13、D14、B15、C

二、1、4cm或14cm；2、9π；3、23π，43π；4、4：3；

5、(2483)π；6、12+2π；7、（9、65°，50°；10、16πcm。三、

1、命題1，條件③④結論①②,命題2，條件②③結論①④.

證明：命題1∵OE⊥CD,OF⊥AB,OE=OF，∴AB=CD,PO平分∠BPD。

2、∠AO1B=140°，∠ACB=70°，∠CAD=130°。

3、作AD⊥BC垂足為D,∵AB=AC，∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.

∵BC=43,∴BD=

12∴⊙A與BC相切。

2

83π-43）cm2；8、7cm或1cm；

BC=23.可得AD=2.又∵⊙A半徑為2,

4、連接BD，證△PAD∽△DCB。5、連接OD、OE，證△OEA≌△OED。6、12π。

7、4π-63�！窘馕觥拷�:三條弧圍成的陰影部份構成"三葉玫瑰",其總面積等于6個弓形的面

積之和.每個弓形的半徑等于△ABC外接園的半徑R=(2/sin60°)/2=2√3/3.每個弓形對應的園心角θ=π/3.每個弓形的弦長b=R=2√3/3.∴一個弓形的面積S=(1/2)R^2(θ-sinθ)=(1/2)(2√3/3)^2[π/3-sin(π/3)]

=(2/3)(π/3-√3/2)

于是三葉玫瑰的總面積=6S=4(π/3-√3/2)=2(2π-3√3)/3.8、

。提示：將兩圓圓心與已知的點連接，用面積列方程求。79、（1）∵△ABC是等邊三角形∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°

∵BE=CD∴△ABE≌△BCD∴∠BAE=∠CBD

∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°

（2）90°，108°

（3）能．如圖，點E、D分別是正n邊形ABCM中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且

BE=CD，BD與AE交于點P，則∠APD的度數(shù)為

B組

一、選擇題

1．C2．D3．C4．A5．B6．A7．B8．C二、填空題

9．4.710．511．三、解答題

15．∵AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，∴∠ABC=90°，∵∠C=25°，∴∠BOC=65o，

1∵∠A=∠BOD，∴∠A=32.5o．16．解：OE＝OF．證明：作OM⊥AM，垂足為M．根

2據(jù)垂徑定理得AM＝BM．∵AE＝BF，∴AM－AE＝BM－BF，即EM＝FM．∴OE＝

153OF．17．（1）當⊙P與直線x2相切時，點P的坐標為（5，）或（1，）；（2）

22當1x5時，⊙P與直線x2相交．當x1或x5時，⊙P與直線x2相離．四、解答題

135(n2)180n。

12．相交13．2214．18．設該兩層衛(wèi)生紙的厚度為xm，則：1111.4x3005.822.3211，解得

x0.026，答：設兩層衛(wèi)生紙的厚度約為0.026cm．19．（1）3s；（2）當點P運動2s時，

∠POA＝60，∴OA＝AP＝AB，∴∠OPB＝90，∴BP與⊙O相切．20．（1）略；（2）63五、解答題y1x2oo

2（3）略．x4，點D不在拋物線上；

21．（1）過M作與AC平行的直線，與OA、FC分別相交于H、N．易求得鐵環(huán)鉤離地面的

高度MB為1cm；（2）解Rt△FMN，結合勾股定理與三角函數(shù)可得，鐵環(huán)鉤的長度FM為50/3cm．22．（1）連OG，OG＝AG＝BG，∴點O始終在⊙G上；（2）作CD⊥x軸，CE⊥y軸垂足分別為D，E，可得△CAD∽△CBE，得y33x，332（3）線段的兩個端點x6；

分別為C1（

332，

32），C2（33，3），當OA0時，C1（

332，

32）；當OA6時，

C3（

92，

332）；C1C2＝3，C2C3＝333，點C運動的路程為6圓綜合復習測試題

一選擇題（每題3分，共30分）

1、如圖，弦AB的長為6cm，圓心O到AB的距離為4cm，則O的半徑長為（C）O中，A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm2、如圖，點A，B，C都在O上，若∠C34，則∠AOB的度數(shù)為（）A．34

B．56

C．60

D．68

3、已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，點P是劣弧⌒CD上不同于點C的任意一點，則∠BPC的度數(shù)是（）

A．45°B．60°C．75°D．90°

4、圓的半徑為13cm，兩弦AB∥CD，AB24cm，CD10cm，則兩弦AB，CD的距離是（）Ａ．7cm

AＢ．17cmＣ．12cm

A

DOＤ．7cm或17cm

BOOCBBAPD

BCO

1題圖第

AC第2題圖

(第3題圖)第6題

5、⊙O的半徑是6，點O到直線a的距離為5，則直線a與⊙O的位置關系為（）．

A．相離

B．相切

C．相交

D．內含

126、如圖，已知扇形OBC，OAD的半徑之間的關系是OB的（）Ａ．

12的長是OA，則BCAD長

倍Ｂ．2倍Ｃ．

14倍Ｄ．4倍

7、如圖，已知EF是O的直徑，把∠A為60的直角三角板ABC的一條直角邊BC放在

直線EF上，斜邊AB與O交于點P，點B與點O重合；將三角形ABC沿OE方向平移，使得點B與點E重合為止．設∠POFx，則x的取值范圍是（）Ａ．60≤x≤120

Ｂ．30≤x≤60

Ｃ．30≤x≤90Ｄ．30≤x≤120

8、若小唐同學擲出的鉛球在場地上砸出一個直徑約為10cm、深約為2cm的小坑，則該鉛球的直徑約為()A.10cm

B.14.5cm

C.19.5cm

D.20cm

N是圓心角為90的弧，其大小尺寸9、如圖是一個零件示意圖，A、B、C處都是直角，MN的長是（）如圖標示．M．

（A）π（B）

32π（C）2π（D）4π

1310、如圖，如果從半徑為9cm的圓形紙片剪去圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個

圓錐（接縫處不重疊），那么這個圓錐的高為（）A．6cm

E

P（B）OA

AB．35cmC．8cm

3D．53cm

NFC7M3第7題圖

B二、填空題（每題3分，共30分）11、如圖，AB切⊙0于點B，AB=4cm，AO=6cm，則⊙O的半徑為cm．

12、如圖，點A，B是O上兩點，AB10，點P是O上的動點（P與A，B不重合），連結AP，PB，過點O分別作OEAP于E，OFPB于F，則EF．13、已知，如圖：AB為⊙O的直徑，AB＝AC，BC交⊙O于點D，AC交⊙O于點E，∠BAC

＝45。給出以下五個結論：①∠EBC＝22.5，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC。其中正確結論的序號是。

第11題圖

AEPF第97題圖C第10題圖

00

OAB60cm108BO第12題圖

第13題圖

第16題圖

14、兩圓的半徑分別為3和5，當這兩圓相交時，圓心距d的取值范圍是。15、已知一個圓錐體的底面半徑為2，母線長為4，則它的側面展開圖面積是．（結

果保留）16、如圖所示為一彎形管道，其中心線是一段圓弧AB．已知半徑OA60cm，

∠AOB108，則管道的長度（即（結果保留）AB的長）為cm．

17、⊙O的半徑為3cm，B為⊙O外一點，OB交⊙O于點A，AB=OA，動點P從點A出

發(fā)，以cm/s的速度在⊙O上按逆時針方向運動一周回到點A立即停止．當點P運動

的時間為s時，BP與⊙O相切

18、已知O1、O2的圓心距O1O2=5，當O1與O2相交時，則O1的半徑R=___▲___．（寫出一組滿足題意的R與r的值即可）O2的半徑r=___▲___．

19、如圖，在126的網格圖中（每個小正方形的邊長

均為1個單位），A的半徑為1，B的半徑為2，要使A與靜止的B相切，那么A由圖示位置需向右平移個單位．20、如圖，P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的左下端剪去一個半徑為

12AB第19題

的半圓后得到圖形P2，然

后依次剪去一個更小的半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圖形P3,P4,,Pn,，

記紙板Pn的面積為Sn，試計算求出S2；并猜想得到SnSn1S3；

n2。

（第20題）

三、解答題（每題10分，共60分）21、如圖，已知AB是O的直徑，AC是弦，CD切O于點C，交AB的延長線于點D，

∠ACD120，BD10．

CAD

（1）求證：CACD；（2）求O的半徑．

OB第21題圖

22、如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=5，∠BOC=50°，OE⊥AC，垂足為E．(1)求OE的長．(2)求劣弧AC的長(結果精確到0.1)．

第22題圖23、如圖，AB是O的切線，A為切點，AC是O的弦，過O作OHAC于點H．若

OH2，AB12，BO13．

B

求：（1）O的半徑；

（2）sin∠OAC的值；

（3）弦AC的長（結果保留兩個有效數(shù)字）．

COHA第23題圖

24、如圖是某城市一個主題雕塑的平面示意圖，它由置放于地面l上兩個半徑均為2米的半

圓與半徑為4米的⊙A構成．點B、C分別是兩個半圓的圓心，⊙A分別與兩個半圓相切于點E、F，BC長為8米．求EF的長．

AEFl第24題圖C25、如圖，A是半徑為12cm的O上的定點，動點P從A出發(fā)，以2πcm/s的速度沿圓周逆時針運動，當點P回到A地立即停止運動．（1）如果POA90，求點P運動的時間；

（2）如果點B是OA延長線上的一點，ABOA，那么當點P運動的時間為2s時，判斷直線BP與O的位置關系，并說明理由．

ＰＯＡＢ

第25題圖

26、如圖1，在等邊△ABC中，AD⊥BC于點D，一個直徑與AD相等的圓與BC相切于點E、與AB相切于點F，連接EF.⑴判斷EF與AC的位置關系(不必說明理由)；⑵如圖2，過E作BC的垂線，交圓于G，連接AG.判斷四邊形ADEG的形狀，并說明理由；⑶求證：AC與GE的交點O為此圓的圓心.

圖1

第26題圖

圖參考答案

一、1、C；2、D；3、A；4、D；5、C；6、A；7、B；8、B；9、C；10、B；

二、11、25；12、5；13、①②④；14、2d8；15、8π；16、36π；17、1或5；

311115、要滿足Rr5Rr的正數(shù)R、r即可；19、2、4、6、8；20、,,83224n1

21、解：（1）連結OC．DC切O于點C，OCD90．又ACD120，

1ACOACDOCD1209030．OCOA，AACO30

ACOBD

21題答圖

COD60．D30，CADC．（2）sinDOCOCOBODOBBDOBBD解得OB10．即O的半徑為10．

，sinDsin3012，OBOB10112．

22、解：(1)∵OE⊥AC，垂足為E，.AE=EC，∵AO=B0，∴OE=(2)∠A=

12∠BDC=25°，在Rt△AOE中，sinA=OE/OA，∴弧AC的長=

21302.5πBC=5/2，≈13．4．

180sin2523、解：（1）AB是O的切線，OAB90，

222AOOBAB，OA5．

（2）OH⊥AC，OHA90，sinOACOHOA25．

2222（3）OHAC，AHAOOH，AHCH，AH25421，

AH21，AC2AH221≈9.2．

24、解：∵⊙A分別與兩個半圓相切于點E、F，點A、B、C分別是三個圓的圓心，

∴AE＝AF＝4，BE＝CF＝2，AB＝AC＝6．則在△AEF和△ABC中，∠EAF＝∠BAC，

AEABAC63EFAEAE216故．則EF＝BC＝8．BCABAB3325、解：（1）當∠POA90時，點P運動的路程為O周長的

AF42．∴△AEF∽△ABC．

PBO

14A

或

34．設點P運動的時間為ts．當點P運動的路程為O周長的解得t3；當點P運動的路程為O周長的

341434時，2t14212．

時，2t212．解得t9．

當∠POA90時，點P運動的時間為3s或9s．

（2）如圖，當點P運動的時間為2s時，直線BP與O相切．理由如下：

當點P運動的時間為2s時，點P運動的路程為4cm．連接OP，PA．O的周長為24cm，

1AP的長為O周長的，∠POA60．

6OPOA，△OAP是等邊三角形．OPOAAP，∠OAP60，ABOA，APAB．

∠OAP∠APB∠B，∠APB∠B30．

∠OPB∠OPA∠APB90．OPBP．

直線BP與O相切．

26、解：⑴EF∥AC.

⑵四邊形ADEG為矩形.理由：∵EG⊥BC，E為切點，∴EG為直徑，∴EG=AD.又∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴AD∥EG，即四邊形ADEG為矩形.⑶連接FG，由⑵可知EG為直徑，∴FG⊥EF，又由⑴可知，EF∥AC，∴AC⊥FG，又∵四邊形ADEG為矩形，∴EG⊥AG，則AG是已知圓的切線，而AB也是已知圓的切線，則AF=AG，∴AC是FG的垂直平分線，故AC必過圓心，

因此，圓心O就是AC與EG的交點.說明：也可據(jù)△AGO≌△AFO進行說理

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