導(dǎo)數(shù)題型總結(jié)

導(dǎo)數(shù)總結(jié)

題型一：利用導(dǎo)函數(shù)解析式求原函數(shù)解析式

例1：已知多項(xiàng)式函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)3x4x，且f(1)4f(x)x32x25例2：已知多項(xiàng)式函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，f

例3：已知函數(shù)f(x)ax4bx3cx2dxe為偶函數(shù)，它的圖象過點(diǎn)A(0,1)，且在

//2，求f(x)

(x)3x2ax1(aR)，求f(x)

x1處的切線方程為2xy10，求f(x)f(x)x4x21

題型二：求切線問題

例1：已知曲線方程為y=角為

123x2，則在點(diǎn)P(1,)處切線的斜率為，切線的傾斜22例2：求曲線y=x2在點(diǎn)P(1,1)處的切線方程（2xy10）

例3：求曲線

yx313在原點(diǎn)處的切線方程

切線斜率不存在所以切線方程為x0

例4：求曲線yx在點(diǎn)(1,1)出的切線與X軸，直線x2所圍成的三角形的面積切線方程為3xy20三角形面積S例5：求曲線yx分別滿足下列條件的切線方程（1）平行于直線y4x54xy40

28390410（3）與X軸成135的傾斜角xy0

4（2）垂直于直線2x6y503xy（4）過點(diǎn)P(1,3)，且與曲線相切的直線2xy10或6xy90

題型三：結(jié)合單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

例1：若函數(shù)f(x)x3ax2bxc為R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a,b,c滿足的條件是a23b

例2：已知函數(shù)f(x)x3ax2x1在R是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是3a3例3：已知函數(shù)f(x)3x32x21在區(qū)間(m,o)上是減函數(shù)，則m的取值范圍是

4mo

9例：函數(shù)f(x)x3ax在[1,)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a的最大值為32例4：已知向量a(x，x1)，b(1x,t)，若函數(shù)f(x)ab在區(qū)間(1,1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍t5

例5：已知函數(shù)f(x)x33ax23(a2)x1既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a1或a2

4例6：若函數(shù)f(x)x3bx有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則b的取值范圍是b0

3例7：設(shè)函數(shù)f(x)x36x5（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值

（2）若關(guān)于x的方程f(x)a有三個(gè)不同實(shí)根，求a的取值范圍（3）已知當(dāng)x(1,)時(shí)，f(x)k(x1)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍答案：（1）單調(diào)遞增區(qū)間(,2)，單調(diào)遞增區(qū)間(2,2)(2,)；極大值542，極小值542

（2）542a542（3）k3

2例8：已知f(x)x3ax2bxc在x與x1時(shí)取得極值

31（1）求a,b的值a,b2

2（2）若對(duì)x[1,2]，f(x)c2恒成立，求c的取值范圍c1或c2

12的圖象關(guān)于點(diǎn)A(0,1)對(duì)稱x1（1）求函數(shù)f(x)的解析式f(x)xa3

x例9：已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)x（2）若h(x)f(x)求單調(diào)區(qū)間

a，且h(x)在區(qū)間(0,2]上是減函數(shù)求實(shí)數(shù)a的取值范圍x(1)f(x)3x48x36x21

解：f(x)12x324x212x12x(x22x1)12x(x1)2當(dāng)x0時(shí)單調(diào)遞增,x0時(shí)單調(diào)遞減.(2)f(x)2x33x2

解：f(x)6x26x6x(x1)

當(dāng)x(,0][1,)時(shí)單調(diào)遞增;當(dāng)x[0,1]時(shí)單調(diào)遞減。(3)f(x)x3ax

22解：f(x)3xa若f(x)0，3xa0，得x2a，3當(dāng)a0,則當(dāng)x(,)時(shí)單調(diào)遞增;

當(dāng)a0，則當(dāng)x(,(4)f(x)xe解：f(x)e(2xx)

x22xaaaa][,)時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)x(,)時(shí)單調(diào)遞減3333當(dāng)x[0,2]時(shí)單調(diào)遞增；x(,0)[2,)時(shí)單調(diào)遞減。

32例4：已知函數(shù)f(x)axbxcxd的兩個(gè)極值點(diǎn)是1和3，且f(0)7，

f/(0)18，求函數(shù)f(x)的解析式f(x)2x36x218x7

例5：已知f(x)是三次函數(shù)，g(x)是一次函數(shù)，f(x)1g(x)x32x23x7，f(x)2在x1處有極值2，求f(x)的解析式和單調(diào)區(qū)間

32f(x)x2xx2單調(diào)遞增區(qū)間(,1)，單調(diào)遞減區(qū)間(,)，(1,)

1313

題型四：最值問題[例]求拋物線yx2上的點(diǎn)到直線xy20的最短距離.

分析：可設(shè)P(x,x2)為拋物線上任意一點(diǎn)，則可把點(diǎn)P到直線的距離表示為自變量x的函數(shù)，然后求函數(shù)最小值即可，另外，也可把直線向靠近拋物線方向平移，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)的切點(diǎn)到直線xy20的距離即為本題所求.

解：根據(jù)題意可知，與直線x－y－2=0平行的拋物線y=x的切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)到直線x－y－2=0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（

），那么y"|xx02x|xx02x01,∴x02

12112|721124∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(,)，切點(diǎn)到直線x－y－2=0的距離d，8242|∴拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離為

72.8例3：已知直線x+2y-4=0與拋物線y24x相交與A,B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，試在拋物線的弧AOB上求一點(diǎn)P，使ABP的面積最大P(4,4)例4：在曲線yx3x上有兩點(diǎn)O(0,0)，A(2,6)，求弧OA上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，使AOP的面積最大p(2323,)39優(yōu)化問題：

一、設(shè)計(jì)產(chǎn)品規(guī)格問題

例1在邊長為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時(shí)，箱底的容積最大？最大容積是多少？

xx

解法一：設(shè)箱底邊長為

xcm，則箱高

_x_60_x_60

h60xcm，得箱子容積

60x2x3V(x)xh(0x60)．

223x2V(x)60x(0x60)

23x2令V(x)60x＝0，解得x=0（舍去），x=40，

2并求得V(40)=16000

由題意可知，當(dāng)x過�。ń咏�0）或過大（接近60）時(shí)，箱子容積很小，因此，16000是最大值答：當(dāng)x=40cm時(shí)，箱子容積最大，最大容積是16000cm解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長為(60-2x)cm，則60-2x得箱子容積

（后面同解法V(x)(602x)x(0x30)．一，略）

由題意可知，當(dāng)x過小或過大時(shí)箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處．

603

x60-2x60-2x26060-2xx60x2x3事實(shí)上，可導(dǎo)函數(shù)V(x)xh、V(x)(602x)2x在各自的定義域中

22都只有一個(gè)極值點(diǎn)，因而這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值例2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最�。�

解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積

2

S=2πRh+2πR

V，則R2V22V2

S(R)=2πR+2πR=+2πR2RR2V令s(R)2+4πR=0

R由V=πRh，得h2

解得，R=3VV，從而h==2R24VVV=3=23

V2(3)2即h=2R

因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值，所以它是最小值答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最��？

S2R2提示：S=2Rh+2Rh=

2R211S2R2R2=(S2R2)RSRR3V(R)=

222RV"(R))=0S6R26R22Rh2R2h2R．

點(diǎn)評(píng)：以上兩題通過設(shè)變量，由題意得到一個(gè)函數(shù)，再確定它的取值范圍，用導(dǎo)數(shù)研究目標(biāo)函數(shù)的最大（�。┲�，是解本題的關(guān)鍵.

二、計(jì)劃產(chǎn)量問題

例3、某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x（噸）與每噸產(chǎn)品的價(jià)格p元間的關(guān)系式為：p24200噸之

12x，且5，問該廠x的成本為R50000200x（元）

每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少？

分析：解本題的關(guān)鍵是利用“利潤=收入-成本”這一等量關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，注意確定函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.解：設(shè)每月生產(chǎn)x噸時(shí)的利潤為

11fx24200x2x50000200x=x324200x50000x0

55由f"x3x2240000得x1200,x2200（舍）

5fx在0,內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)x200使f"x0

又f00，fx（當(dāng)x）；在點(diǎn)x200，f201*，故它就是最大值點(diǎn)，且最大值為f201*201*2400201*00003150000（元）.5所以該廠每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最廣大，最大利潤是3150000元.

點(diǎn)評(píng)：在實(shí)際應(yīng)用問題中，如果所建立的目標(biāo)函數(shù)在給定的定義域內(nèi)的極值只有一個(gè)，則往往就為題中所求的最值.

擴(kuò)展閱讀：高考導(dǎo)數(shù)問題常見題型總結(jié)

高考有關(guān)導(dǎo)數(shù)問題解題方法總結(jié)

一、考試內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；兩個(gè)函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點(diǎn)題型分析

題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。

32f(x)x3x2在區(qū)間1,1上的最大值是21．

22．已知函數(shù)yf(x)x(xc)在x2處有極大值，則常數(shù)c＝6；

33．函數(shù)y13xx有極小值－1,極大值3

題型二：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程

31,3處的切線方程是yx2y4xx1．曲線在點(diǎn)

42．若曲線f(x)xx在P點(diǎn)處的切線平行于直線3xy0，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）

4yx3．若曲線的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為4xy30

4．求下列直線的方程：

322（1）曲線yxx1在P(-1,1)處的切線；（2）曲線yx過點(diǎn)P(3,5)的切線；

32y/3x22xky/|x－13－21解：（1）點(diǎn)P(1,1)在曲線yxx1上，

即xy20所以切線方程為y1x1，

2/（2）顯然點(diǎn)P（3，5）不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為A(x0,y0)，則y0x0①又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y2x，

所以過

2x0A(x0,y0)點(diǎn)的切線的斜率為

ky/|xx02x0，又切線過A(x0,y0)、P(3,5)點(diǎn)，所以有

y05x03x01x05y1或y250②，由①②聯(lián)立方程組得，0，即切點(diǎn)為（1，1）時(shí)，切線斜率為

k12x02;；當(dāng)切點(diǎn)為（5，25）時(shí)，切線斜率為k22x010；所以所求的切線有兩條，方程分

即y2x1或y10x25別為y12(x1)或y2510(x5)，

題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值

32f(x)xaxbxc,過曲線yf(x)上的點(diǎn)P(1,f(1))的切線方程為y=3x+11．已知函數(shù)

第1頁共10頁（Ⅰ）若函數(shù)f(x)在x2處有極值，求f(x)的表達(dá)式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)yf(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[－2，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍

322f(x)xaxbxc,求導(dǎo)數(shù)得f(x)3x2axb.解：（1）由

過yf(x)上點(diǎn)P(1,f(1))的切線方程為：

yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).

的切線方程為y3x1.而過yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3

①②

∵yf(x)在x2時(shí)有極值,故f(2)0,4ab12③

32f(x)x2x4x5.由①②③得a=2，b=－4，c=5∴

2（2）f(x)3x4x4(3x2)(x2).

23x2時(shí),f(x)0;當(dāng)2x時(shí),f(x)0;3當(dāng)

2當(dāng)x1時(shí),f(x)0.f(x)極大f(2)133又f(1)4,f(x)在[－3，1]上最大值是13。

2f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。（3）y=f(x)在[－2，1]上單調(diào)遞增，又

2依題意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3xbxb0.

x①當(dāng)

b1時(shí),f(x)minf(1)3bb0,b66；b2時(shí),f(x)minf(2)122bb0,b6；

x②當(dāng)

612bb221時(shí),f(x)min0,則0b6.b12③當(dāng)

綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是[0,)

322．已知三次函數(shù)f(x)xaxbxc在x1和x1時(shí)取極值，且f(2)4．

第2頁共10頁(1)求函數(shù)yf(x)的表達(dá)式；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(3)若函數(shù)g(x)f(xm)4m(m0)在區(qū)間[m3,n]上的值域?yàn)閇4,16]，試求m、n應(yīng)滿足的條件．

(x)3x22axbf解：(1)，

2由題意得，1,1是3x2axb0的兩個(gè)根，解得，a0,b3．

3f(2)4f(x)x3x2．c2再由可得．∴

(x)3x233(x1)(x1)f(2)，

當(dāng)x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)1x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0；

當(dāng)x1時(shí)，f(x)0．∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(,1]上是增函數(shù)；]上是減函數(shù)；在區(qū)間[1,)上是增函數(shù)．在區(qū)間[1,１函數(shù)f(x)的極大值是f(1)0，極小值是f(1)4．

(3)函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移m個(gè)單位，向上平移4m個(gè)單位得到的，所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,nm]上的值域?yàn)閇44m,164m]（m0）．而f(3)20，∴44m20，即m4．

于是，函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,n4]上的值域?yàn)閇20,0]．令f(x)0得x1或x2．由f(x)的單調(diào)性知，1n4綜上所述，m、n應(yīng)滿足的條件是：m4，且3n

3．設(shè)函數(shù)f(x)x(xa)(xb)．

（1）若f(x)的圖象與直線5xy80相切，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為２，且f(x)在x1處取極值，求實(shí)數(shù)a,b的值；

6．

2，即3n6．

第3頁共10頁（2）當(dāng)b=1時(shí)，試證明：不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．

解：（1）f(x)3x2(ab)xab.

由題意f(2)5,f(1)0，代入上式，解之得：a=1，b=1．

2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.（2）當(dāng)b=1時(shí)，

224(aa1)0,故方程有兩個(gè)不同實(shí)根x1,x2．因

""xxf(x)3(xx)(xx)f(x)的符號(hào)如下：2，由12可判斷不妨設(shè)1"""xx時(shí)，xxx時(shí)，xx時(shí)，f(x)f(x)f(x)＞０1122當(dāng)＞０；當(dāng)＜０；當(dāng)

因此x1是極大值點(diǎn)，x2是極小值點(diǎn)．，當(dāng)b=1時(shí)，不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)。

題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象

/f1．如右圖：是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，(x)的圖象如右圖所示，則f（x）的圖象只可能是（D）

（A）（B）（C）（D）2．函數(shù)

642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的圖像為3(A)

o24-2-4xo24-2-4

323．方程2x6x70在(0,2)內(nèi)根的個(gè)數(shù)為(B)

A、0B、1C、2D、3

題型五：利用單調(diào)性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍

第4頁共10頁1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31．設(shè)函數(shù)

（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值.

（2）若當(dāng)x[a1,a2]時(shí)，恒有|f(x)|a，試確定a的取值范圍.

22xa,x23af(x)x4ax3a解：（1）=(x3a)(xa)，令f(x)0得1列表如下：

x（-∞，a）a

（a，3a）3a+

0極大

（3a，+∞）-

f(x)f(x)

-0極小

∴f(x)在（a，3a）上單調(diào)遞增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上單調(diào)遞減

4f極小(x)ba33，x3a時(shí)，f極小(x)bxa時(shí)，

22f(x)x4ax3a（2）∵0a1，∴對(duì)稱軸x2aa1，

∴f(x)在[a+1，a+2]上單調(diào)遞減

(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴，

|a|f|a，|fmin依題|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a

44a1[,1)解得5，又0a1∴a的取值范圍是5

22．已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3與x＝1時(shí)都取得極值（1）求a、b的值與函

數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（2）若對(duì)x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范圍。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b

－由f（

21241－a＋b＝0－3）＝93，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2

f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：

第5頁共10頁x22（－，－3）－302（－3，1）－1（1，＋）f（x）＋f（x）0＋極大值極小值22所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（－，－3）與（1，＋），遞減區(qū)間是（－3，1）1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x〔－1，2〕，當(dāng)x＝－3時(shí)，f（x）＝27＋c

為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2

題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

131．已知平面向量a=(3,－1).b=(2,2).

（1）若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，

試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t)；

(2)據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)－k=0的解的情況.

yxy解：(1)∵x⊥，∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.

22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0

122∵ab=0，a=4，b=1，∴上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)

11(2)討論方程4t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=4t(t2-3)與直線y=k的交點(diǎn)個(gè)

數(shù).

33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).

令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時(shí)，f′(t)、f(t)的變化情況如下表：tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10極大值(-1,1)-10極小值(1,+∞)+1當(dāng)t=－1時(shí)，f(t)有極大值，f(t)極大值=2.

第6頁共10頁1當(dāng)t=1時(shí)，f(t)有極小值，f(t)極小值=－21函數(shù)f(t)=4t(t2-3)的圖象如圖13－2－1所示，

可觀察出：

11(1)當(dāng)k＞2或k＜－2時(shí),方程f(t)－k=0有且只有一解；11(2)當(dāng)k=2或k=－2時(shí),方程f(t)－k=0有兩解；11(3)當(dāng)－2＜k＜2時(shí),方程f(t)－k=0有三解.

題型七：導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合

3a0,函數(shù)f(x)xax在[1,)上是單調(diào)函數(shù).1．設(shè)

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)

x0≥1，f(x)≥1，且f(f(x0))x0，求證：f(x0)x0.

22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,這解：（1）若在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須

樣的實(shí)數(shù)a不存在.故f(x)在1,上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).

2若f(x)在1,上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a≤3x，

2x1,,故3x3.從而0

3f(x)(x2)(xa)22．已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)

（1）若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍（2）若f"(1)0，（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間

（Ⅱ）證明對(duì)任意的

x1、x2(1,0)，不等式

|f(x1)f(x2)|516恒成立

f(x)x3ax2解：

333xaf"(x)3x22ax22，2

函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線，f"(x)0有實(shí)數(shù)解

4a243

39330a2（，2][2，）22，所以a的取值范圍是22，

399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24，222，11f"(x)0,1x2；由2

f"(1)0，

32a由f"(x)0,x1或

x11(,1),(,)(1,)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是22；單調(diào)減區(qū)間為

f(1)2514927f()f(0)8，f(x)的極小值為216，又82749m8，最小值16

2749581616

易知f(x)的最大值為

f(x)在[1，0]上的最大值

M對(duì)任意x1,x2(1,0)，恒有

|f(x1)f(x2)|Mm

題型八：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用

1．請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心o1的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？解：設(shè)OO1為xm，則1x4

第8頁共10頁由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為：

32(x1)282xx2，（單位：m）

6故底面正六邊形的面積為：

333((82xx2)22282xx)=24，（單位：m）

帳篷的體積為：

V（x）1333(1612xx3)(82xx2)[(x1)1]3322（單位：m）

V"（x）求導(dǎo)得

3(123x2)2。

（x）0，解得x2（不合題意，舍去）令V"，x2，（x）0，V（x）當(dāng)1x2時(shí)，V"為增函數(shù)；（x）0，V（x）當(dāng)2x4時(shí)，V"為減函數(shù)。

∴當(dāng)x2時(shí)，V（x）最大。

3答：當(dāng)OO1為2m時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為163m。

2．統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量

y（升）關(guān)于行駛速度x（千米/

y小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：

13x3x8(0x120).12800080

已知甲、乙兩地相距100千米。

（I）當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

1002.5x40解：（I）當(dāng)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了40小時(shí)，

13(403408)2.517.580要耗沒128000（升）。

100（II）當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了x小時(shí)，設(shè)耗油量為h(x)升，131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),12800080x1280x4依題意得

x800x3803h"(x)2(0x120).2640x640x

第9頁共10頁

令h"(x)0,得x80.

當(dāng)x(0,80)時(shí)，h"(x)0,h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x(80,120)時(shí)，h"(x)0,h(x)是增函數(shù)。

當(dāng)x80時(shí)，h(x)取到極小值h(80)11.25.

因?yàn)閔(x)在(0,120]上只有一個(gè)極值，所以它是最小值。

答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升。當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。

題型九：導(dǎo)數(shù)與向量的結(jié)合

3113a(，),b(，).2222若存在不同時(shí)為零的兩個(gè)實(shí)數(shù)s、t及實(shí)數(shù)k，使1．設(shè)平面向量

xa(t2k)b,ysatb,且xy，

（1）求函數(shù)關(guān)系式Sf(t)；

，上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍。（2）若函數(shù)Sf(t)在1a(解：（1）

3113,),b(,).ab1，ab02222

又xy,xy0，得2ab0，（tk）（satb）2222即sa（ttk）b-（tstsk）ab0。s（t2k）t0，故s（ft）t3kt。

（2）

f（t）3t2k且f（t）在1，上是單調(diào)函數(shù)，

0則在1,上有f(t)0或f（t）222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3；由

22f(t)03tk0k3t由。

因?yàn)樵趖∈1,上3t是增函數(shù)，所以不存在k，使k3t在1,上恒成立。故k的取值范

22圍是k3。

第10頁共10頁

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