高考函數題型小結

全國新課標

18．（本小題滿分12分）某花店每天以5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售．如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．

（Ⅰ）若花店一天購進16朵玫瑰花，求當天的利潤y（單位：元）關于當天需求量n（單位：枝，nN）的函數解析式；

（Ⅱ）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

日需求量n頻數141015201*16171618151913201*以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．

（）若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤（單位：元），求X的分布列、數學期望及方差；

（）若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由．

21．（本小題滿分12分）

已知函數f(x)滿足f(x)f"(1)ex1f(0)x12x．

12xaxb，求(a1)b的

22（Ⅰ）求f(x)的解析式及單調區(qū)間；（Ⅱ）若f(x)最大值．

理科數學解析（必修+選修Ⅱ）

9．已知

xln,ylog52,ze12，則

A．xyzB．zxyC．zyxD．yzx10．已知函數

yx3xc3的圖像與x軸恰有兩個公共點，則c

A．2或2B．9或3C．1或1D．3或119．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）

乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換，每次發(fā)球，勝方得1分，負方得0分。設在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負結果相互獨立，。甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球。

（1）求開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1比2的概率；（2）表示開始第4次發(fā)球時乙的得分，求的期望。20．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）設函數f(x)axcosx,x[0,]。（1）討論f(x)的單調性；

（2）設f(x)1sinx，求a的取值范圍。

北京卷

（11）在ABC中，若a2，bc7，cosB（18）（本小題共13分）

已知函數f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx．

（Ⅰ）若曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線，求a,b的值；（Ⅱ）當a24b時，求函數f(x)g(x)的單調區(qū)間，并求其在區(qū)間--1上的最大值．

答案

（18）【解析】（1）當n16時，y16(105)80當n15時，y5n5(16n)10n80

10n80(n15)(nN)得：y80(n16)70，80P(X60)0.1,P(X70)0.2,P(X80)0.7（2）（i）X可取60，

14，則b．

X的分布列為

XP600.1700.2800.7EX600.1700.2800.776DX1620.1620.2420.744

（ii）購進17枝時，當天的利潤為

y(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4

76.476得：應購進17枝

x1（21）【解析】（1）f(x)f(1)ef(0)x122x1xf(x)f(1)ef(0)x

令x1得：f(0)1

x1f(x)f(1)ex1221xf(0)f(1)e1f(1)e

得：f(x)ex

x122xxg(x)f(x)e1x

xg(x)e10yg(x)在xR上單調遞增

f(x)0f(0)x0,f(x)0f(0)x0得：f(x)的解析式為f(x)exx12x

2且單調遞增區(qū)間為(0,)，單調遞減區(qū)間為(,0)（2）f(x)12xaxbh(x)e(a1)xb0得h(x)e(a1)

2xx①當a10時，h(x)0yh(x)在xR上單調遞增x時，h(x)與h(x)0矛盾

②當a10時，h(x)0xln(a1),h(x)0xln(a1)得：當xln(a1)時，h(x)min(a1)(a1)ln(a1)b0(a1)b(a1)2(a1)2ln(a1)(a10)令F(x)x2x2lnx(x0)；則F(x)x(12lnx)F(x)00x當x當a

9.答案D

【命題意圖】本試題主要考查了對數、指數的比較大小的運用，采用中間值大小比較方法。

log52log5512，

e,F(x)0xee時，F(x)maxe1,be2

e2e時，(a1)b的最大值為

【解析】lnlne1，

ze121e1412，故選答案D。

10.答案A【命題意圖】本試題主要考查了導數在研究三次函數中的極值的運用。要是函數圖像與x軸有兩個不同的交點，則需要滿足極佳中一個為零即可。

【解析】因為三次函數的圖像與x軸恰有兩個公共點，結合該函數的圖像，可得極大值或者極小值為零即可滿足要求。而

2f(x)3x33(x)(x1)，當x1時取得極值

由f(1)0或f(1)0可得c20或c20，即c2。

19.【命題意圖】本試題主要是考查了獨立事件的概率的求解，以及分布列和期望值的問題。首先要理解發(fā)球的具體情況，然后對于事件的情況分析、討論，并結合獨立事件的概率求解結論。解：記

Ai為事件“第i次發(fā)球，甲勝”，i=1,2,3，則

P(A1)0.6,P(A2)0.6,P(A3)0.4。

（Ⅰ）事件“開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1比2”為由互斥事件有一個發(fā)生的概率加法公式得

A1A2A3A1A2A3A1A2A3，

P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3)0.60.40.60.40.60.60.40.40.40.352。

即開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1比2的概率為0.352（Ⅱ）由題意0,1,2,3。

P(0)P(A1A2A3)0.60.60.40.144P(1)P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3)0.40.60.40.60.40.40.60.60.6=0.408；

；

P(2)0.352；

P(3)P(A1A2A3)0.40.40.60.096

所以E0.40820.35230.0961.4

【點評】首先從試題的選材上來源于生活，同學們比較熟悉的背景，同時建立在該基礎上求

解進行分類討論的思想的運用，以及能結合獨立事件的概率公式求解分布列的問題。情景比較親切，容易入手，但是在討論情況的時候，容易丟情況。

20.【命題意圖】本試題考查了導數在研究函數中的運用。第一就是函數中有三角函數，要利用三角函數的有界性，求解單調區(qū)間。另外就是運用導數證明不等式問題的構造函數思想的運用。

解：f(x)asinx。

（Ⅰ）因為x[0,]，所以0sinx1。

當a1時，f(x)0，f(x)在x[0,]上為單調遞增函數；當a0時，f(x)0，f(x)在x[0,]上為單調遞減函數；當0a1時，由f(x)0得sinxa，

由f(x)0得0xarcsina或arcsinax；由f(x)0得arcsinaxarcsina。

所以當0a1時f(x)在[0,arcsina]和[arcsina,]上為為單調遞增函數；在

[arcsina,arcsina]

上為單調遞減函數。

（Ⅱ）因為f(x)1sinxaxcosx1sinxax1sinxcosx當x0時，01sin0cos00恒成立

ax1sinxcosxa1sinxcosxxa[1sinxcosxx]min當0x時，

g(x)

1sinxcosxx(0x)令

g(x)，則

2(cosxsinx)x1sinxcosxx(1x)cosx(x1)sinx1x2

又令c(x)(1x)cosx(x1)sinx1，則

c(x)cosx(1x)sinxsinx(x1)cosxx(sinxcosx)

x(0,34)則當

x(34時，sinxcosx0，故c(x)0，c(x)單調遞減

,]當

時，sinxcosx0，故c(x)0，c(x)單調遞增

34所以c(x)在x(0,]時有最小值

x0c()21，而

，

xlimc(x)(10)cos0(01)sin010limc(x)c()(1)10

綜上可知x(0,]時，c(x)0g(x)0，故g(x)在區(qū)間(0,]單調遞

[g(x)]ming()2所以

2故所求a的取值范圍為

a。

f()1a11a2另解：由f(x)1sinx恒成立可得

g(x)sinx2x(0x

令

x(0,arcsin22，則

)g(x)cosx2

當

時，g(x)0，當

)x(arcsin2,)2時，g(x)0

g(0)g(2)02又

a2，所以g(x)0，即2xcosxxsinx(0x2

)故當

時，有

f(x)

0x2①當

2時，xsinx，cosx1，所以f(x)1sinx

2(x②當2xf(x)2時，

xcosx12)sin(x2)1sinx

綜上可知故所求a的取值范圍為

a2。

【點評】試題分為兩問，題詞面比較簡單，給出的函數比較新穎，因為里面還有三角函數，這一點對于同學們來說有點難度，不同于平時的練習題，相對來說做得比較少。但是解決的關鍵還是要看導數的符號，求解單調區(qū)間。第二問中，運用構造函數的思想，證明不等式，一直以來是個難點，那么這類問題的關鍵是找到合適的函數，運用導數證明最值大于或者小于零的問題得到解決。11.4

18.18．解：（）由1，c為公共切點可得：

2f(x)ax1(a0)，則f(x)2ax，k12a，

g(x)xbx，則f(x)=3xb，k23b，

322a3b①

又f(1)a1，g(1)1b，

a11b，即ab，代入①式可得：2a3b314．

（2）a4b，設h(x)f(x)g(x)x3ax2a2x1

則h(x)3x22axa2，令h(x)0，解得：x1a0，a24a61a2，x2；

6a，

原函數在，aaaa，，單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增

2626①若1≤②若a2a2，即a≤2時，最大值為h(1)aa6a24；

a21a6，即2a6時，最大值為h1

a2③若1≥時，即a≥6時，最大值為h1．

2綜上所述：

當a0，2時，最大值為h(1)aa4；當a2,時，最大值為h1．

2a

擴展閱讀：高考函數題型總結

反函數

（201*陜西卷文）函數f(x)2x4(x4)的反函數為（A）f1121x4(x0)(B)f1(x)x24(x2)22121211（C）f(x)x2(x0)(D)f(x)x2(x2)

22(x)

學科

（201*全國卷Ⅱ文）函數y=x(x0)的反函數是

（A）yx2（x0）（B）yx2（x0）（B）yx（x0）（D）yx2（x0）

x(201*年廣東卷文)若函數yf(x)是函數ya的反函數，且f(2)1，（a0，且a1）2則f(x)A．log2xB．

1x2

C．log1xD．2x221ax1(xR,且x)的反函數是1axa1ax11ax1(xR,且x)B、y(xR,且x)A、y1axa1axa(201*湖北卷理)設a為非零實數，函數yC、y

（201*四川卷文）函數y2x11x1x(xR,且x1)D、y(xR,且x1)

a(1x)a(1x)(xR)的反函數是

A.y1log2x(x0)B.ylog2(x1)(x1)C.y1log2x(x0)D.ylog2(x1)(x1)

（201*全國卷Ⅰ文）已知函數f(x)的反函數為g(x)＝＋12lgxx＞0，則f(1)g(1)

（A）0（B）1（C）2（D）已知f(x)

2x11，求f14x33

（201*重慶卷文）記f(x)log3(x1)的反函數為yf1(x)，則方程f1(x)8的解x分段函數

(201*山東卷文)定義在R上的函數f(x)滿足f(x)=的值為()

x0log2(4x),，則f（3）

f(x1)f(x2),x0x24x6,x0（201*天津卷文）設函數f(x)則不等式f(x)f(1)的解集是（）

x6,x0A(3,1)(3,)B(3,1)(2,)C(1,1)(3,)D(,3)(1,3)

3x,x1,（201*北京文）已知函數f(x)若f(x)2，則x.

x,x1,1,x01x（201*北京理）若函數f(x)則不等式|f(x)|的解集為__________7__.

3(1)x,x03（201*遼寧卷文）已知函數f(x)滿足：x≥4,則f(x)＝()；當x＜4時f(x)＝f(x1)，則f(2log23)＝

（A）

抽象函數

（201*四川卷文）已知函數f(x)是定義在實數集R上的不恒為零的偶函數，且對任意實數

12x1131（B）（C）（D）248812x都有

xf(x1)(1x)f(x)，則f()的值是

A.0B.

15C.1D.22（201*遼寧卷文）已知偶函數f(x)在區(qū)間0,)單調增加，則滿足f(2x1)＜f()的x取值范圍是（A）（

已知函數yfx22x3的定義域為2,2，求f(x)的定義域。

已知f(2x1)的定義域是0,1，則f(13x)的定義域

2x1x11若f，求f(x)2xxx1312121212，）(B)［，）(C)（，）(D)［，）33332323已知fx1132x523x，則f(x)xxx1x已知3f(x)5f2x1，求f(x)單調性

（201*年廣東卷文)函數f(x)(x3)e的單調遞增區(qū)間是A.(,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,)

（201*全國卷Ⅱ文）設alge,b(lge)2,clge,則

（A）abc（B）acb（C）cab（D）cba

（201*天津卷文）設alog12,blog13,c()32x120.3，則

AaA．aR，f(x)在(0,)上是增函數

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B．aR，f(x)在(0,)上是減函數C．aR，f(x)是偶函數D．aR，f(x)是奇函數

（201*湖南卷文）設函數yf(x)在(,)內有定義，對于給定的正數K，定義函數

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f(x),f(x)K,fK(x)K,f(x)K.1時，函數fK(x)的單調遞增區(qū)間為2取函數f(x)2x。當K=

A．(,0)B．(0,)C．(,1)D．(1,)

（201*福建卷文）定義在R上的偶函數fx的部分圖像如右圖所示，則在2,0上，下列函數中與fx的單調性不同的是A．yx21B.y|x|1

C.y2x1,x0x1,x03

xe,xoD．yx

e,x0（201*江蘇卷）函數f(x)x15x33x6的單調減區(qū)間為

奇偶性和圖像平移對稱

321)與f(x1)都是奇函數，（201*全國卷Ⅰ理）函數f(x)的定義域為R，若f(x則(D)

(A)f(x)是偶函數(B)f(x)是奇函數(C)f(x)f(x2)(D)f(x3)是奇函數

(201*山東卷文)已知定義在R上的奇函數f(x)，滿足f(x4)f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數,則().

A.f(25)f(11)f(80)B.f(80)f(11)f(25)C.f(11)f(80)f(25)D.f(25)f(80)f(11)

（201*全國卷Ⅱ文）函數y=ylog22x的圖像2x（A）關于原點對稱（B）關于主線yx對稱（C）關于y軸對稱（D）關于直線yx對稱

（201*北京文）為了得到函數ylgx3的圖像，只需把函數ylgx的圖像上所有的點10（）

A．向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度B．向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度C．向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度D．向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度

（201*江西卷文）已知函數f(x)是(,)上的偶函數，若對于x0，都有

f(x2）f(x)，且當x[0,2)時，f(x)log2(x1，則f(201*)f(201*)的值）為

A．2B．1C．1D．2

(201*陜西卷理)定義在R上的偶函數f(x)滿足：對任意的x1,x2(,0](x1x2)，有(x2x1)(f(x2)f(x1))0.則當nN時,有

*(A)f(n)f(n1)f(n1)(B)f(n1)f(n)f(n1)

(C)(C)f(n1)f(n)f(n1)(D)f(n1)f(n1)f(n)(201*年廣東卷文)（本小題滿分14分）

已知二次函數yg(x)的導函數的圖像與直線y2x平行,且yg(x)在x=－1處取得最小值m－1(m0).設函數f(x)g(x)x(1)若曲線yf(x)上的點P到點Q(0,2)的距離的最小值為2,求m的值(2)k(kR)如何取值時,函數yf(x)kx存在零點,并求出零點.

（201*浙江文）（本題滿分15分）已知函數f(x)x3(1a)x2a(a2)xb

(a,bR)．

（I）若函數f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是3，求a,b的值；（II）若函數f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調，求a的取值范圍．．．．

（201*北京文）（本小題共14分）

設函數f(x)x33axb(a0).

（Ⅰ）若曲線yf(x)在點(2,f(x))處與直線y8相切，求a,b的值；（Ⅱ）求函數f(x)的單調區(qū)間與極值點.

（201*江蘇卷）(本小題滿分16分)設a為實數，函數(1)若(2)求

f(x)2x2(xa)|xa|.f(0)1，求a的取值范圍；f(x)的最小值；(不需給出演算步驟)不等式h(x)1的解集.f(x),x(a,)，直接寫出．．．．

(3)設函數h(x)

(201*山東卷文)（本小題滿分12分）已知函數f(x)13axbx2x3,其中a03（1）當a,b滿足什么條件時,f(x)取得極值?

（2）已知a0,且f(x)在區(qū)間(0,1]上單調遞增,試用a表示出b的取值范圍.

.設函數f(x)13x(1a)x24ax24a，其中常數a>13(Ⅰ)討論f(x)的單調性;

(Ⅱ)若當x≥0時，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。

（201*安徽卷文）（本小題滿分14分）已知函數（Ⅰ）討論

的單調性；

在區(qū)間{1，

，a＞0，

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（Ⅱ）設a=3，求

}上值域。期中e=2.71828…是自然對數的底數。

（201*江西卷文）（本小題滿分12分）設函數f(x)x392x6xa．2（1）對于任意實數x，f(x)m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f(x)0有且僅有一個實根，求a的取值范圍．

（201*天津卷文）（本小題滿分12分）

設函數f(x)13xx2(m21)x,(xR,)其中m03（Ⅰ）當m1時，曲線yf(x)在點（處的切線斜率1，f（1））（Ⅱ）求函數的單調區(qū)間與極值；（Ⅲ）已知函數f(x)有三個互不相同的零點0，且x1x2。若對任意的x[x1,x2]，x1,x2，

f(x)f(1)恒成立，求m的取值范圍

（201*四川卷文）（本小題滿分12分）

已知函數f(x)x2bxcx2的圖象在與x軸交點處的切線方程是y5x10。（I）求函數f(x)的解析式；（II）設函數g(x)f(x)321mx，若g(x)的極值存在，求實數m的取值范圍以及函數3g(x)取得極值時對應的自變量x的值.

（201*湖南卷文）（本小題滿分13分）

已知函數f(x)xbxcx的導函數的圖象關于直線x=2對稱.（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）若f(x)在xt處取得最小值，記此極小值為g(t)，求g(t)的定義域和值域。

（201*遼寧卷文）（本小題滿分12分）

設f(x)ex(ax2x1)，且曲線y＝f（x）在x＝1處的切線與x軸平行。（I）（II）

求a的值，并討論f（x）的單調性；證明：當[0,2]時，f(cos)f(sin)2

（201*陜西卷文）（本小題滿分12分）已知函數f(x)x33ax1,a0

求f(x)的單調區(qū)間；

若f(x)在x1處取得極值，直線y=my與y的取值范圍。（201*四川卷文）（本小題滿分12分）

已知函數f(x)x32bx2cx2的圖象在與x軸交點處的切線方程是y5x10。（I）求函數f(x)的解析式；（II）設函數g(x)f(x)f(x)的圖象有三個不同的交點，求m

1mx，若g(x)的極值存在，求實數m的取值范圍以及函數3g(x)取得極值時對應的自變量x的值.

（201*湖北卷文）（本小題滿分14分）

已知關于x的函數f(x)+

13xbx2cxbc,其導函數為f+(x).令g(x)＝34，試確定b、c的值：3f(x),記函數g(x)在區(qū)間[-1、1]上的最大值為M.(Ⅰ)如果函數f(x)在x＝1處有極值-

（Ⅱ）若b>1,證明對任意的c,都有M>2:

(Ⅲ)若MK對任意的b、c恒成立，試求k的最大值。

（201*寧夏海南卷文）（本小題滿分12分）

已知函數f(x)x3ax9axa.(1)設a1，求函數fx的極值；

32(2)若a

1"，且當x1,4a時，f(x)12a恒成立，試確定a的取值范圍.4（201*福建卷文）（本小題滿分12分）

13xax2bx,且f"(1)03（I）試用含a的代數式表示b；

已知函數f(x)（Ⅱ）求f(x)的單調區(qū)間；

（Ⅲ）令a1，設函數f(x)在x1,x2(x1x2)處取得極值，記點

M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2))，證明：線段MN與曲線f(x)存在異于M、N的公共點；

（201*重慶卷文）（本小題滿分12分，（Ⅰ）問7分，（Ⅱ）問5分）

已知f(x)x2bxc為偶函數，曲線yf(x)過點(2,5)，g(x)(xa)f(x)．（Ⅰ）求曲線yg(x)有斜率為0的切線，求實數a的取值范圍；（Ⅱ）若當x1時函數yg(x)取得極值，確定yg(x)的單調區(qū)間

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