數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用總結(jié)

數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.類比與猜想是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應(yīng)用的一種主要思想方法.

(1)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P(n0)成立(奠基)

2°假設(shè)P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對(duì)一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立.

(2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

具體常用數(shù)學(xué)歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計(jì)算問(wèn)題，數(shù)列的通項(xiàng)與和等.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()

A.30B.26C.36D.62.(★★★★)用數(shù)學(xué)歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應(yīng)驗(yàn)證()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4二、填空題

1311511173.(★★★★★)觀察下列式子：1,122,1222…則可歸

223423234納出_________.

4.(★★★★)已知a1=an=_________.

三、解答題

5.(★★★★)用數(shù)學(xué)歸納法證明42n1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.6.(★★★★)若n為大于1的自然數(shù)，求證：

3an1,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_(kāi)________，由此猜想

an3211113.n1n22n247.(★★★★★)已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.

(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn;(2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=loga(1+

1)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試bn比較Sn與

1logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.3第1頁(yè)共5頁(yè)8.(★★★★★)設(shè)實(shí)數(shù)q滿足|q|＜1,數(shù)列{an}滿足：a1=2,a2≠0,anan+1=－qn,求an表達(dá)式，又如果limS2n＜3,求q的取值范圍.

n

參考答案

難點(diǎn)磁場(chǎng)

14(abc)6a31b11解：假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，這時(shí)令n=1,2,3,有22(4a2bc)2c10709a3bc于是，對(duì)n=1,2,3下面等式成立122+232+…+n(n+1)2=

n(n1)(3n211n10)12記Sn=122+232+…+n(n+1)2

k(k1)(3k2+11k+10)12k(k1)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

2(k1)(k2)=(3k2+5k+12k+24)

12(k1)(k2)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］

12設(shè)n=k時(shí)上式成立，即Sk=

也就是說(shuō)，等式對(duì)n=k+1也成立.

綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10時(shí)，題設(shè)對(duì)一切自然數(shù)n均成立.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)，f(k+1)－f(k)=(2k+9)3k+1－(2k+7)3k=(6k+27)3k－(2k+7)3k

－

=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k≥2)f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C

2.解析：由題意知n≥3，∴應(yīng)驗(yàn)證n=3.答案：C二、3.解析：1131211即1222112(11)111511221,即1

2122323(11)2(21)2第2頁(yè)共5頁(yè)歸納為11112n1*

(n∈N)

n12232(n1)2答案:11112n1(n∈N*)222n123(n1)13a1233同理,4.解析:a2a131725323a23333333a3,a4,a5,猜想ana238359451055n5333333答案:、、、

78910n5三、5.證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，421+1+31+2=91能被13整除

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23－42k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2)

∵42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.

由①②知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n+1+3n+2能被13整除.

×

117132122122411113(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即k1k22k241111111則當(dāng)nk1時(shí),k2k32k2k12k2k1k1131111311242k12k2k1242k12k213113242(2k1)(k1)246.證明：(1)當(dāng)n=2時(shí)，

b11b117.(1)解：設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得,∴bn=3n－210(101)d310bd14512(2)證明：由bn=3n－2知

11)+…+loga(1+)43n211=loga［(1+1)(1+)…(1+)］

43n2111而logabn+1=loga33n1,于是，比較Sn與logabn+1的大小比較(1+1)(1+)…3341(1+)與33n1的大小.

3n2Sn=loga(1+1)+loga(1+

第3頁(yè)共5頁(yè)取n=1，有(1+1)=38343311取n=2，有(1+1)(1+)38373321推測(cè)：(1+1)(1+

1411)…(1+)＞33n1(*)43n2①當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證(*)式成立.

11)…(1+)＞33k143k21111)(1)33k1(1)則當(dāng)n=k+1時(shí)，(11)(1)(143k23(k1)23k1②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)(*)式成立，即(1+1)(1+

3k233k1

3k1(3k233k1)3(33k4)33k1(3k2)3(3k4)(3k1)29k40

(3k1)2(3k1)233k1(3k2)33k433(k1)13k1111從而(11)(1)(1)(1)33(k1)1,即當(dāng)n=k+1時(shí)，(*)式成立

43k23k1由①②知，(*)式對(duì)任意正整數(shù)n都成立.于是，當(dāng)a＞1時(shí)，Sn＞

11logabn+1,當(dāng)0＜a＜1時(shí)，Sn＜logabn+1338.解：∵a1a2=－q,a1=2,a2≠0,∴q≠0,a2=－

9,2an1,即an+2=qanan2q∵anan+1=－qn,an+1an+2=－qn+1兩式相除，得

于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn…猜想：a2n+1=－

1n

q(n=1,2,3,…)22qk1n2k1時(shí)(kN)綜合①②，猜想通項(xiàng)公式為an=1k

qn2k時(shí)(kN)2下證：(1)當(dāng)n=1,2時(shí)猜想成立

－

(2)設(shè)n=2k－1時(shí)，a2k－1=2qk1則n=2k+1時(shí)，由于a2k+1=qa2k－1∴a2k+1=2qk即n=2k－1成立.可推知n=2k+1也成立.設(shè)n=2k時(shí)，a2k=－

1k

q,則n=2k+2時(shí)，由于a2k+2=qa2k,2第4頁(yè)共5頁(yè)所以a2k+2=－

1k

q+1,這說(shuō)明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.2綜上所述，對(duì)一切自然數(shù)n,猜想都成立.

2qk1當(dāng)n2k1時(shí)(kN)這樣所求通項(xiàng)公式為an=1k

q當(dāng)n2k時(shí)(kN)2S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=2(1+q+q2+…+qn-1)－

1(q+q2+…+qn)22(1qn)1q(1qn)1qn4q()()

1q2(1q)1q21qn4q)()由于|q|＜1,∴l(xiāng)imq0,故limS2n=(nn1q2n依題意知

4q2＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

2(1q)5第5頁(yè)共5頁(yè)

擴(kuò)展閱讀：數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用習(xí)題

第2課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)20分鐘

1111

1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明n＋＋＋＋2n()．

A．f(n)＋n－1C．f(n)＋n＋1

B．f(n)＋nD．f(n)＋n＋2

解析要使這n條直線將平面所分割成的部分最多，則這n條直線中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)．因?yàn)榈趎＋1條直線被原n條直線分成n＋1條線段或射線，這n＋1條線段或射線將它們所經(jīng)過(guò)的平面區(qū)域都一分為二，故f(n＋1)比f(wàn)(n)多了n＋1部分．答案C

111

4．已知Sn＝1＋＋33557＋＋

1

，則S1＝________，S2＝________，

2n－12n＋1

S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________.n

解析分別將1,2,3,4代入觀察猜想Sn＝.

2n＋11234n

答案3579

2n＋1

5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)xn－yn能被x＋y整除”第一步應(yīng)驗(yàn)證n＝________時(shí)，命題成立；第二步歸納假設(shè)成立應(yīng)寫(xiě)成________________．解析因?yàn)閚為正偶數(shù)，故第一個(gè)值n＝2，第二步假設(shè)n取第k個(gè)正偶數(shù)成立，即n＝2k，故應(yīng)假設(shè)成x2k－y2k能被x＋y整除．答案2x2k－y2k能被x＋y整除6．用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1111

1＋22＋32＋＋n2＜2－n(n≥2)．

1513

證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，1＋22＝4＜2－2＝2，命題成立．

1111

(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立，即1＋22＋32＋＋k2＜2－k，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1111＋22＋32＋＋k2＋

1111111

＜2－＋＜2－＋＝2－kk＋12kkk＋1k＋k－k＋1211

＝2－，命題成立．k＋1k＋1

由(1)、(2)知原不等式在n≥2時(shí)均成立．

綜合提高限時(shí)25分鐘7．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

11111＋＋＋2n>24(n∈N*)的過(guò)程中，由n＝kn＋1n＋2

遞推到n＝k＋1時(shí)，下列說(shuō)法正確的是

()．

A．增加了一項(xiàng)B．增加了兩項(xiàng)

1

2k＋1

11和2k＋12k＋1

1k＋11k＋1

C．增加了B中的兩項(xiàng)，但又減少了一項(xiàng)

D．增加了A中的一項(xiàng)，但又減少了一項(xiàng)解析當(dāng)n＝k時(shí)，不等式左邊為當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式左邊為答案C

111＋＋＋2k，k＋1k＋2

11111＋＋＋2k＋＋.k＋2k＋32k＋12k＋2

8．命題P(n)滿足：若n＝k(k∈N*)成立，則n＝k＋1成立，下面說(shuō)法正確的是()．A．P(6)成立則P(5)成立B．P(6)成立則P(4)成立C．P(4)成立則P(6)成立D．對(duì)所有正整數(shù)n，P(n)都成立

解析由題意知，P(4)成立，則P(5)成立，若P(5)成立，則P(6)成立．所以P(4)成立，則P(6)成立．答案C

9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對(duì)一切n∈N*都成立，則a、b、c的值為_(kāi)_______．

解析∵等式對(duì)一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3時(shí)等式成立，即：c，

1＝3a－b＋

1＋2×3＝322a－b＋c，

1＋2×3＋3×32＝333a－b＋c，

3a－3b＋c＝1，

整理得18a－9b＋c＝7，

81a－27b＋c＝34，

11

答案a＝2，b＝c＝4

11

解得a＝2，b＝c＝4.

an

10．?dāng)?shù)列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次計(jì)算出a2，a3，a4后，

3an＋1歸納、猜測(cè)得出an的表達(dá)式為_(kāi)_______．222

解析a1＝2，a2＝7，a3＝13，a4＝19，猜測(cè)an＝2

答案an＝

6n－5

n1111

11．求證：1＋2≤1＋2＋3＋＋2n≤2＋n.

1

證明(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1＋2，原不等式成立；(2)設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，原不等式成立k1111

即1＋2≤1＋2＋3＋＋2k≤2＋k成立，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝f(k)＋

k111111

＋＋＋≥1＋＋＋＋＋>1＋

22k＋12k＋22k＋12k＋22k＋12k＋12

.6n－5

k2＋

k＋1k1

＝1＋2＋2＝1＋2，f(k＋1)＝f(k)＋

11111111＋k＋＋k＋1≤2＋k＋k＋k＋＋k＋112．(創(chuàng)新拓展)數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an，n∈N*，先計(jì)算前4項(xiàng)后猜想an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

證明當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2－a1，∴a1＝1，3

n＝2時(shí)，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝2，7

n＝3時(shí)，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝4，15

n＝4時(shí)，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝8.2n－1

∴猜想an＝n－1.

2

用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，猜想成立，2k－1

②假設(shè)n＝k時(shí)猜想成立，即ak＝k－1成立．

2

那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1＝Sk＋ak＋1＝2k－ak＋ak＋1，∴2ak＋12k－12k＋1－1

＝2＋ak＝2＋k－1＝k－1，

22

2k＋1－1

∴ak＋1＝2k，即n＝k＋1時(shí)猜想成立．由①②可知，對(duì)n∈N*猜想均成立．

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